专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程解法与三角形结合 题型十二 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）对于实数，，我们用符号表示两数中较大的数，如．若，则 ． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，……，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为(   )    A．44 B．45 C．46 D．47 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． （）写出方程的“再生韦达方程” ． （）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化： 第1个图形：  →； 第2个图形：  →； 第3个图形：  →； 第4个图形：  →； …… 若第个图形有81个小圆，则的值为 ． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）芳芳解方程的过程如表所示 解方程：． 解：，    第一步 ，       第二步 ，．第三步 (1)芳芳是用______（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的． (2)芳芳的解题过程是否正确？如果正确，请写出每一步的依据；如果不正确，请你写出正确的求解过程． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（24-25九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）定义：如果关于x的方程 是常数)与 是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）方程的“对称方程”为 （2）若关于的方程与互为“对称方程”，则的解为 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 1．（2025·河南开封·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．（2024九年级上·全国·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次方程（其中）． (1)若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； (2)当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的共生点． (1)直接写出方程的共生点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程共生点的坐标． (3)是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的共生点始终在直线的图象上，若有，请求出，的值；若没有，说明理由． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）对于实数 a，b，定义运算“﹡”：．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成问题（1）、（2）． 解： 方程两边同时除以，得：．……第一步 去括号，得：．……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 (1)以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______ (2)请你写出正确的解答过程． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 【经典例题十一 一元二次方程解法与三角形结合】 【例11】（2024九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 2．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． 【经典例题十二 一元二次方程的新定义解法】 【例12】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或0.5 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：； 例题2：， 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 5．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 7．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ． 11．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·河南商丘·期末）解方程 (1) (2) 13．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 14．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，则的值为______； (2)若方程有相等的实数根，求的值． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程解法与三角形结合 题型十二 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得； 当时，，方程没有实数解； 所以在该范围内方程的解有两个：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键．也考查了实数的大小比较． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）对于实数，，我们用符号表示两数中较大的数，如．若，则 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，当时，则，当时，则，两种情况分解解方程，然后验证即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，；当，； ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， 当，；当，； ∴； 综上所述，或， 故答案为：0或1． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， 两边直接开平方得：， 解得：， ∴“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 直接开平方法得：， 解得：． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，， ∴ ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，……，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为(   )    A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律利用规律求解即可． 【详解】第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成，……， 按照此规律继续下去，可以发现：第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得， 解得（不合题意，舍去），； 故选B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律难度不大． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． （）写出方程的“再生韦达方程” ． （）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（）求出方程的解，再求出、，进而即可求解； （）由“原生方程”和“再生韦达方程”的定义可得，即得，得到方程的一个根为，另一个根为，据此即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，理解方程的新定义是解题的关键． 【详解】解：（）由方程得，， ∴，， ∴，， ∴方程的“再生韦达方程”为， 即， 故答案为：； （）由题意可得， ∴， 即， ∴，， ∴方程的一个根为，另一个根为， ∴符合题意的一元二次方程可以为，即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化： 第1个图形：  →； 第2个图形：  →； 第3个图形：  →； 第4个图形：  →； …… 若第个图形有81个小圆，则的值为 ． 【答案】8 【分析】可得第个图形表示的代数式为：，由即可求解． 【详解】解：由题意得 第个图形表示的代数式为：， ， 即， 解得， （舍去）， 第8个图形有81个小圆； 故答案：8． 【点睛】本题考查了数字型规律探究，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． 2．（24-25九年级上·广东梅州·期中）把方程配方成为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）芳芳解方程的过程如表所示 解方程：． 解：，    第一步 ，       第二步 ，．第三步 (1)芳芳是用______（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的． (2)芳芳的解题过程是否正确？如果正确，请写出每一步的依据；如果不正确，请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)配方法 (2)不正确，求解过程见解析 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：芳芳是用配方法来求解的； 故答案为：配方法 （2）解：芳芳的解题过程中，第一步是移项，将左边的移到右边，故第一步正确； 而第二步是配方，芳芳的解题错误． 正确的求解过程为： 解：移项，得， 配方，得 ， 即， 开方，得 ∴，． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（24-25九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答． 【详解】解：∵点和点， ∴， ∴的最小值为1，此时最长， ∴， 解得． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值 ． 【答案】1 【分析】由已知等式变形表示出，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：， ， ，即， ， ， 当，即时，的最小值为 故答案为： 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】若， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，且中最小值为，则，； 故选：B． 1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据新定义算法，得到，即可求解， 本题考查了，新定义运算，解一元二次方程，解题的关键是：理解新定义运算法则． 【详解】解：， 即：，解得：或， 故选：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）定义：如果关于x的方程 是常数)与 是常数)，其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： （1）方程的“对称方程”为 （2）若关于的方程与互为“对称方程”，则的解为 【答案】 ， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“对称方程”是； （2）由，移项可得：， ∵关于的方程与互为“对称方程”， ，， 解得：，， 化为， ， ， 故答案为：；， 3．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明由： ①； ②； (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数）是“差1方程”，设，若的值为9，求此时和的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程”；理由见解析 (2)或 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． （1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为 1 ，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为 1 ，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】（1）解：①解方程， ∴， ∴或， 解得：或 6 ， ， 不是“差1方程”； ②解方程， ∴， ， ， 是“差1方程”． （2）解：解方程（是常数）得：， ∴或， ∵方程是常数）是“差1方程”， 或， ∴或； （3）解：由题可得：， 解方程得， ∵关于的方程是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， 解得：， ． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法、一元二次方程的定义即判别式等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分和两种情况，结合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判别式，即可获得答案． 【详解】解：①当时，即， 代入方程得，解， ②当时，， ∵，此时方程总有实数根． 综上所述，无论为何值，方程总有实数根． 1．（2025·河南开封·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， 则这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键． 根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据判别式的意义得到，然后解关于的方程得到，则原方程变形为，然后利用因式分解法解此一元二次方程． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：根据题意得， 解得：， 原方程变形为， ∴， 所以． 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式列方程求解是解题的关键．因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解方程即得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得或． 故选：C． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于x的一元二次方程（其中）． (1)若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值； (2)当该方程有实数根时，求m的取值范围． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 解得： ∴原方程为 ∴ ∴或 解得， ∴方程的另一个根为； （2）解：当该方程有实数根时， ， 解得：， ∵是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根 （2）解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）利用公式法解一元二次方程，求出，，，再由方程的实数根都是整数，且异号，由m是整数求出m的值即可． 【详解】（1）证明：依题意，得 ，，， ， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ，， 方程有两个异号的整数根，且m是整数． 或， 或． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 【答案】(1)2， (2)． 【分析】本题主要考查了新定义虚数，求一元二次方程的虚数根． （1）将代入，利用乘法公式求解即可得到答案； （2）将方程的根代入，结合，是实数，求出m，n即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∴， ∵，是实数， ∴， 解得：，， ∴． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的共生点． (1)直接写出方程的共生点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程共生点的坐标． (3)是否存在，，使得不论为何值，关于的方程的共生点始终在直线的图象上，若有，请求出，的值；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)有，， 【分析】（1）解方程得到方程的解，根据共生点的定义即可得到点的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据共生点的定义即可得到点的坐标； （3）将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，，将根代入方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 方程的共生点为； 故答案为：； （2）解：①， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， 解得：，， 方程的共生点为； （3）解：存在，理由如下： 直线过定点， 两个根为，， ， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象与性质，解二元一次方程组，理解共生点的定义并熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．先判断出，且，再把已知等式化成，将看作一个整体，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故答案为：或1． 1．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）对于实数 a，b，定义运算“﹡”：．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成问题（1）、（2）． 解： 方程两边同时除以，得：．……第一步 去括号，得：．……第二步 移项、合并同类项，得：．……第三步 (1)以上解方程的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______ (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，方程两边同时除以一个可能为0的代数式 (2)，，过程见解析 【分析】此题考查了一元二次方程． （1）根据解方程的方法得到错误之处和错因； （2）利用因式分解法进行正确求解即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个可能为0的代数式， 故答案为：一，方程两边同时除以一个可能为0的代数式； （2）解：移项得：， ∴， 则， ∴或， ∴，． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【答案】（1），；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法 （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）由于可能小于0，所以不能两边开方． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，可能小于0，而负数没有平方根． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2022， ∴必有一根为，解得：； 故选B． 1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 【答案】(1)18 (2)或1 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)，． 【分析】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解分式方程必须检验． （1）设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可； （2）方程整理得，设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：设，得方程， 解这个方程得，， 当时，，解得， 经检验，，是原方程的解； 当时，， 解得， 经检验，，是原方程的解； ∴原方程的解为或； （2）解：原方程变形为， 设，得方程， 整理得， 解这个方程得，， 当时，，即， 解得，； 当时，，即， ， 方程没实数解，舍去， ∴原方程的解为，． 【经典例题十一 一元二次方程解法与三角形结合】 【例11】（2024九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系．本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式底高求出面积． 【详解】解：， ， ∴或， 当时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形， ∴底边上的高， ∴面积； 当时，，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形， ∴面积， ∴面积或． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 2．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②或 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根得到3为方程的一个根，据此代入方程求出k的值即可；②先利用因式分解法解方程得到或，再分5为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； （2）解：①∵方程总有不相等的两个实数根， ∴， ∵、、3为三边的三角形为等腰三角形， ∴等腰三角形的腰长为3， ∴， ∴， ∴或， 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或； ②∵， ∴， 解得或， ∵直角三角形的两边分别为、，第三边为5， ∴当5为斜边时，则， ∴ ∴，即，解得或， 当时，或，此时不符合题意； 当5为直角边时，则， ∴，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理，构成三角形的条件，等腰三角形的定义等等，正确利用因式分解法求出方程的两根是解题的关键． 【经典例题十二 一元二次方程的新定义解法】 【例12】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或0.5 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ， 整理得， ∴， 解得或． 故选：D． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【答案】B 【分析】根据题意，分两边情况：时，，；时，，，据此分别求出的值即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 【详解】解：表示，中的较大值，， 当时，，， ， 解得或，舍去）． 当时，，， ， 解得或，舍去）． 综上，可得若， 则的值是5或． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查新运算下的实数运算，解一元二次方程，分情况讨论是关键．首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，或者， 当，时， 当，时， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：； 例题2：， 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题主要考查虚数单位的定义，完全平方公式以及一元二次方程的解法，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）利用一元二次方程解答法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解： （3）解： ， 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：依题意可得，，解得 关于的一元二次方程， 且． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②， ， 又， ， ， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②③④． 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海·阶段练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，利用换元法将原方程化为关于y的方程，再通过去分母得到整式方程，即可得出答案． 【详解】解：， ，， 原方程可化为， 去分母，得：， 整理得：， 原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式，分别得到①；②；③；把②分别代入①③得不等式组，解之即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 即①； ， 即②； ， 即③； 把②分别代入①③得，， 解不等式组得；，而a为整数， 所以，再代入②得，， 解得， 所以． 故答案为：5 11．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）根据公式法解答即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）整理得， 或， 解得，． 12．（24-25九年级上·河南商丘·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握根据方程特点选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， 或， ∴，． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 14．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，则的值为______； (2)若方程有相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式求法，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键． （1）将代入一元二次方程，即可求出的值； （2）根据“方程有相等的实数根”可得，再结合二次项系数，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程的一个根为， ， 解得：； （2）解：根据题意，可得且， 解得：． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$