专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解 题型八 一元二次方程估值计算 题型九 一元一次方程解的新定义问题 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（       ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）把方程化成一般形式后，的值是（    ） A．8 B．9 C． D． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）把一元二次方程化为一般式为 ，它的一次项系数是 . 9．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 10．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知、、均为实数且，则方程的根为 12．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 13．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 14．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是 ； 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 16．（2023·福建泉州·二模）若m是一元二次方程的根，则的值为 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）若m是方程的根，则 ． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值为 ． 【经典例题七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解】 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 19．（2022·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 20．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 21．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 【经典例题八 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·山东青岛·期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（   ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）观察下面的表格，确定关于的方程的解的取值范围是（    ） … 1 2 3 12 3 … 3 12 A．或 B．或 C．或 D．或 【经典例题九 一元二次方程解的新定义问题】 【例9】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 3．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程  的一个解是，则 ． 7．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 8．（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 10．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程和是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 ． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【发现】在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0 【探索】解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解． 【归纳】若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝　 　q＝　 　； 【应用】 （1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0； （2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解 题型八 一元二次方程估值计算 题型九 一元一次方程解的新定义问题 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式； ①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程； ②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程； ③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程； ④有2个未知数，故④不是一元二次方程； ⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程， 综上所述，共有2个一元二次方程， 故选：B． 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中，一定是关于x的一元二次方程有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．熟练掌握定义，是解题的关键．一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一进行判断即可． 【详解】（1），不是关于x的一元二次方程； （2），一定是关于x的一元二次方程； （3）， ∵ ∴，不是关于x的一元二次方程； （4）， ∵， ∴，一定是关于x的一元二次方程； （5），不是关于x的一元二次方程； （6）， 当时，方程为，不是关于x的一元二次方程． ∴有2个方程一定是关于x的一元二次方程． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：是一元一次方程，此项错误； 符合定义，是一元二次方程，此项正确； 含有两个未知数，不是一元二次方程，此项错误； 不是整式方程，此项错误； 是一元二次方程，此项正确； ，当时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误； 其中一元二次方程的个数为：2； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论． 【详解】A.该方程为分式方程，故本选项不符合题意； B.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.整理后为，是一元二次方程，故本选项符合题意； D.该方程整理可得，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义、解一元一次不等式．根据一元二次方程的定义即可求得的值，将其代入求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m=-2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 6．（24-25九年级上·江苏·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【详解】解：由得到． 根据题意，得m-2≠0． 解得m≠2． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）把方程化成一般形式后，的值是（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一般式是解题的关键．根据运算法则将方程化为一般式得出的值即可得到答案． 【详解】解：化为一般形式为：， 故． 故选D． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）把一元二次方程化为一般式为 ，它的一次项系数是 . 【答案】 x2+5x+5=0 5 【分析】把方程两边利用多项式乘以多项式法则及完全平方公式展开，移项、合并、整理成ax2+bx+c=0的形式，即可得答案. 【详解】∵， ∴3x2-x-4=4x2+4x+1， 移项、整理成一般形式为：x2+5x+5=0，它的一次项系数是5 故答案为x2+5x+5=0，5 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项；在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号是解题关键. 9．（2023八年级下·浙江·专题练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； (2)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (3)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (4)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； (5)，二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； (6)，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可； （6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：将化为一般形式为： ， 则：二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2； （2）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （3）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （4）将化为一般形式为： 则：二次项系数为1，一次项系数为，常数项为； （5）将化为一般形式为： 则：二次项系数为4，一次项系数为，常数项为； （6）将化为一般形式为： 则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 10．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可将原一元二次方程化为，再逐项分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴原方程可化为：， 、当时，，故不符合题意； 、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 11．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知、、均为实数且，则方程的根为 【答案】， 【分析】此题主要考查根据参数的求解来求一元二次方程的根，熟练掌握，即可解题； 本题可根据“非负数相加和为时，则必满足其中的每一项都等于”解出、、的值，再把它们代入方程中，运用公式法解出的值． 【详解】解：依题意得：且且 ，，， 代入方程可得：， ， 故答案为：， 12．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，． 【分析】根据解的定义得，然后根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项运算化简，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 原式， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，代数式化简求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 13．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的方程两根分别为，，则方程的两根为或，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于的方程两根分别为，， ∴方程的两根为或， 解得，， 故选：A． 14．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，； ∴方程的根是或， 故选：C 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是 ； 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于a的方程，解方程可求a的值，将a的值代入方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数， 则设这两个根依次分别为：，， ∴， 即：， 则有：， 解得（舍去），， 把代入得， 解得，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于a的方程，解方程求得a的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 16．（2023·福建泉州·二模）若m是一元二次方程的根，则的值为 【答案】6 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键． 17．（23-24九年级上·四川内江·期中）若m是方程的根，则 ． 【答案】14 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形，依次代入化简即可，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：14． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的整体代入法，将代数式化简整理成已知的整式的形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，，将代数式化简整理成含有，的式子，最后整体代入得到答案． 【详解】解：、是方程的两根， ，， ，， 代数式                      故答案为 【经典例题七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解】 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型． 因为满足方程，所以，两边同时除以即可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ， 是一元二次方程的一根， 故选：C． 19．（2022·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 21．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为 【答案】 【分析】一元二次方程变形为，由于关于x的一元二次方程的一个根是，则关于的一元二次方程的一个根是，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程变形为， 所以此方程可看作关于的一元二次方程， 因为关于x的一元二次方程的一个根是， 所以关于的一元二次方程的一个根是， 即， 解得， 所以一元二次方程必有一根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【经典例题八 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 22．（24-25九年级上·河南郑州·期末）我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（   ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 23．（24-25九年级上·山东青岛·期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（   ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键，根据表格中的数据发现，在到2之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在18和10之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为． 故选． 24．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）观察下面的表格，确定关于的方程的解的取值范围是（    ） … 1 2 3 12 3 … 3 12 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律是解题关键．观察表格，根据第二行的值的变化，即可确定出方程解的范围． 【详解】解：由表格可知， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ∵， ∴方程的取值范围为或． 故选：C． 【经典例题九 一元二次方程解的新定义问题】 【例9】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义，得出的值代入计算即可判断①，根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断②，根据题意得出，即可判断③ 【详解】解：①∵，， 依题意 解得：，， ∴，故①正确； ②的方程与的解相同，即与的解相同， ∴ ∴，故②正确； ③ ∵的最小值为， 当 ∴的最小值为， ∴有最小值，且最小值为． 当，有最大值，且最大值为1 ． 故③不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新新定义是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 3．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 1．（24-25九年级上·全国·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：A．未知数的最高次数是三次，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．，化为，是一元二次方程，符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D．当时，未知数的最高次数是一次，不一定是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可． 根据一元二次方程的解的定义可得，然后对变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或3， 即， 故． 故选A． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程  的一个解是，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是利用整体代入的思想解决问题． 首先把代入已知方程中，然后利用整体代值的方法即可求解． 【详解】解：把代入， ， 即， ； 故答案为： 7．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为可得，可得的值，再根据二次项系数不等于即可求解，掌握一元二次方程的定义及一般式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得或， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 10．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程和是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 ． 【答案】 【分析】先利用新定义得到可表示为，整理得，所以，，然后先求出a的值，从而得到c的值． 本题考查了配方法的运用：灵活运用完全平方公式和正确理解题中的新定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程和是关于y的“同族二次方程”， 可表示为， 整理得， ，， 解得， ． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．先将a代入得到，对化简得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【发现】在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0 【探索】解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解． 【归纳】若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝　 　q＝　 　； 【应用】 （1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0； （2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解． 【答案】归纳：m+n，m；应用（1）：x1＝﹣2，x2＝4；（2）x＞3或x﹣1 【分析】归纳：根据题意给出的方法即可求出答案． 应用：（1）根据题意给出的方法即可求出答案； （2）根据题意给出的方法即可求出答案； 【详解】解：归纳：故答案为：m+n，m； 应用：（1）x2+6x+8＝0， ∴（x+2）（x+4）＝0 ∴x+2＝0，x+4＝0 ∴x1＝﹣2，x2＝4； （2）∵x2﹣2x﹣3＞0 ∴（x﹣3）（x+1）＞0 ∴或 解得：x＞3或x﹣1 【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次不等式的解及题目所给信息的总结归纳能力 学科网（北京）股份有限公司 $$