专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 题型九 一元二次方程根与系数的关系新定义 知识点01 韦达定理 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 1．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 2．（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式 ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知实数，满足，且，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 3．（24-25九年级上·吉林白城·期末）材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值． 解：∵一元二次方程．的两个实数根分别为m、n， ， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为：，则_____；____． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求出的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是 ．（填写序号） 2．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的是有 ． 3．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【经典例题九 一元二次方程根与系数的关系新定义】 【例9】（24-25九年级上·辽宁·期中）阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：①______；②______． (2)若实数，满足：，．则______；______． (3)已知实数，满足，，且，求的值． (4)已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【定义】若是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，其中，则是三等分根方程． 【问题】 (1)试判断是否为三等分根方程，并说明理由； (2)若点在函数的图象上，且关于的一元二次方程是三等分根方程，求的值． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 6．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ． 9．（2025·江苏·模拟预测）已知方程的两根为a，c，方程的两根为b，d，其中a，b，c，d互不相同，则 ． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 11．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 12．（辽宁省丹东市第十四中学等协作校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 13．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）定义：若关于x的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以和为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)求出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求k的值． 15．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； (2)因式分解：的结果是__________； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：； (4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 题型九 一元二次方程根与系数的关系新定义 知识点01 韦达定理 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（24-25九年级上·河南周口·期末）若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数关系，方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+．利用根与系数关系，变形计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据a、b是一元二次方程的两个根可求出，，再根据即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ， 故答案为：． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，是一元二次方程的两个实数根，得到，，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）阅读材料：如果是一元二次方程的两个实数根，则有．创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（   ） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键．利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 2．（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24·广东深圳·一模）已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 给左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的定义，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根的定义，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由题意得，，，则，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键． 利用根的性质确定和满足的方程，再根据根与系数的关系求出和，将代数式化简代入求值即可解答． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个实数根，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知实数，满足，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对根与系数的关系的理解和掌握，将原方程变为，得到，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 【详解】∵方程可变为， 又∵实数，满足，且， ，是方程的两个根， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________； (2)若，是方程的两根，求，的值； (3)已知两个不同的实数，满足，，求的值． 【答案】(1)   (2)， (3)的值为 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， ∴，是方程的两根，；； 故答案为：；． （2）解：∵，是方程的两根 ∴， ∴，． （3）解：∵两个不同的实数，满足，， ∴，，，可看作方程的两根， ∴，， ∴， 即的值为． 3．（24-25九年级上·吉林白城·期末）材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m、n，求的值． 解：∵一元二次方程．的两个实数根分别为m、n， ， 则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为：，则_____；____． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，且，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的化简求值，完全平方公式等知识，理解材料中关于x的一元二次方程的两个根为，则是解题关键． （1）根据材料1中一元二次方程根和系数的关系即可求解； （2）根据材料1中一元二次方程根和系数的关系，得到，，，再将分式通分化简求值即可； （3）由题意可知，实数s、t是方程的两根，进而得到，，再结合完全平方公式，得出，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为：， 则；， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为m、n， ，， ． （3）解：实数s、t满足，， 实数s、t是方程的两根， ，， ， ，即或 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：D． 1．（24-25九年级上·四川内江·期中）关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再代入方程检验即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或， 当时，方程为， 而，符合题意； 当时，方程为， 而， ∴不合题意，舍去， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得：、，根据可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 又， ， 解得： 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为：； （2）由题意，得：， 即， 解得； ， ， ， 当时，，解得：， ， ， ； 当时，，解得：， ， ， ； 综上：或． 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 【答案】(1)一元二次方程是“特优方程”，理由见解析 (2) (3)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“特优方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“特优方程”的定义判断即可； （2）由可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求解； （3）解该一元二次方程，得出或，再根据此方程为“特优方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，分两种情况：当时，当时，根据可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程是“特优方程”，理由如下： ，，满足，， 一元二次方程是“特优方程”； （2）关于的一元二次方程为， ，， ， ， ， 整理得：， ， ， （不合题意，舍去），， 当时，原一元二次方程为， 解得：，， 满足，， ； （3） 或 解得：或， 是“特优方程”， ，， ， ，且， 当时，或， ， ， 解得：， 当时，或， ， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为：①②； （2）解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； （3）解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例7】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根； ③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程的根和十字相乘法因式分解，判断①，根的判别式判断②，方程的解判断③，根与系数的关系，判断④． 【详解】解：若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误； 若，则：，则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当时，， ∴若，则方程一定有一个根为；故③正确； ∵方程有两个不等于0的实数根， ∴， ∴， ∴方程为一元二次方程， ∵， ∴， ∴方程一定有两实数根．故④正确； 故选C． 1．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②． 【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为， ∴；故①正确； ②若方程两根为1和2，则：，即：， ∴；故②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则：， ∴， ∴方程必有实根；故③正确； ④，则：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如果关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的是有 ． 【答案】①②③④ 【分析】①若，那么为一个实数根，根据判别式即可判断；②根据根与系数的关系即可得到；③方程有两个不相等的实根，则，得出，即可判断方程必有两个不相等的实数根；④若，计算根的判别式的值得到，于是根据根的判别式的意义可对其进行判断． 【详解】解：若，则方程有一根为1， 又∵， ∴，故①正确； 由根与系数的关系可知，，整理得：，故②正确； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故③正确； 若，则， 即方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力． 3．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则方程必有一根为1；②若方程的两根为和，则；③若，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①根据方程的解得定义即可判断；②根据方程的根的定义得到，，进而得到答案；③根据得到，结合一元一次方程根与系数关系得到两根之和为2，即可得到答案；④根据是一元二次方程的根，得到，根据等式性质得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：①若，那么一定有一个根是1，故①正确； ②若方程的两根为和2，则，， ， ， ， ，故②正确； ③若，则，即两根之和为2， 方程有一根大于2， 另一个根必是负数，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，， ， ， ，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系，等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论是解题的关键． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)，且（n为正整数） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 【经典例题九 一元二次方程根与系数的关系新定义】 【例9】（24-25九年级上·辽宁·期中）阅读材料． 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ① ， ② ． 材料2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将，看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：①______；②______． (2)若实数，满足：，．则______；______． (3)已知实数，满足，，且，求的值． (4)已知实数，分别满足，，且，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查韦达定理的应用， （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将a和b看作方程的两个根，结合韦达定理即可求得答案； （3）将，看作方程的两个根，结合韦达定理求得，利用完全平方公式将所求分式通分变型即可； （4）将实数，看作方程的两个根，则，将所求分数通分变形即可． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：根据题意知可以将a和b看作方程的两个根，则， 故答案为：； （3）解：根据题意知可以将，看作方程的两个根，则， ∴， （4）解：根据题意知可以将实数，看作方程的两个根，则， ∴． 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）定义：①如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． ②如果关于的一元二次方程（a，b，c为常数且）有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是 （填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)“倍根方程” (2) (3)这个方程的根是2，4或， 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用， （1）根据方程的解，判断是否是倍根方程； （2）设方程的两个根是，根据定义可知，再根据根与系数的关系求出答案； （3）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∵， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：“倍根方程”； （2）解：设是“倍根方程”的两个根，且． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：设一元二次方程的两个实数根分别是． ∵这个方程即是“倍根方程”又是“方根方程”， 当，即， 解得或（舍）， ∴； 当， 即， 解得或（舍）， ∴． ∴这个方程的根是2，4或，． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) (4)的值为0． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：设方程的两个根分别为：， ∴， 解得：或（舍去） 故答案为：2； （3）解：设方程的两个根分别为：， 则由根与系数的关系可得：， 消去得：， 故答案为：； （4）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）【定义】若是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，其中，则是三等分根方程． 【问题】 (1)试判断是否为三等分根方程，并说明理由； (2)若点在函数的图象上，且关于的一元二次方程是三等分根方程，求的值． 【答案】(1)是三等分根方程，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和一次函数图象上点的坐标特征．理解新定义是解题的关键． （1）求出方程的两个实数根，根据三等分根方程判断即可； （2）先根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系得，，消去t整理得关于m的方程，解方程可得到m的值． 【详解】（1）解：是三等分根方程，理由如下： 解得，且， 故是三等分根方程； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴； ∵关于的一元二次方程是三等分根方程， ∴设方程的两根分别为，， 由根与系数的关系得：，， 消去t，并整理得：， 解得：； ∴m的值为或． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ，， ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：A． 4．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可确定的值，此题得解． 【详解】解：关于的方程有两个实数根为，， ，， ，即， ， 解得：， 关于的方程有两个实数根， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ． 故选：D． 6．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试）已知关于的方程的两根分别为和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程的两根时， ， ． 先根据a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求出，由一元二次方程根与系数关系得到，利用，求出k的值，再代入验证即可． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ， ， ∴， 解得，， 当时， ， ∴符合题意； 当时， ， ∴不符合题意，应舍去； 综上，k的值是． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 9．（2025·江苏·模拟预测）已知方程的两根为a，c，方程的两根为b，d，其中a，b，c，d互不相同，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，若，求得，若，则，，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵方程的两根为a，c， ∴，， ∵方程的两根为b，d， ∴，， 若，则，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d互不相同， ∴， ∴，，，， ∴； 若，则，， 把，代入，， 解得：， ∴当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述：或， 故答案为：1或． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；由方程解得、是方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；能将看作、是一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：，， 、是方程的根， ， ， ； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)______，______； (2)； (3)． 【答案】(1)2，； (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可得到答案； （3）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：2，； （2） （3）∵方程的两根为，， ∴，则， ∴ 12．（辽宁省丹东市第十四中学等协作校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根和，那么．据此解决下列问题： (1)如果和方程的两根，则 ； ； (2)如果和是关于的一元二次方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根与系数的关系：，来解题； （2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系结合已知得出关于的一元二次方程，解方程求的值． 【详解】（1）解：、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 故答案为：，； （2）解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：或， 、是关于的方程的两个实数根， ，， 又∵， ，即， 解得，或， 又∵或， ∴的值是． 13．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两根，且，求的值 【答案】(1)详见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键． （1）求该方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：，是方程的两根， ，， ， ， 解得，，． 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）定义：若关于x的一元二次方程（）的两个实数根为和（），分别以和为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)求出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程的解法，根与系数的关系、新定义、一次函数上点的坐标，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）解方程的两根，即可得出结果； （2）设方程两根为和（），可得，由点P在直线上，即，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，，     ∵， ∴； （2）解：设方程两根为和（）， 则， ∵点P在直线上， ∴即， 解得，； 15．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如（是常数，）的多项式叫做关于的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：． 下面是代数推理过程： 解： 即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： (1)已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则二次三项式分解因式的结果是__________； (2)因式分解：的结果是__________； (3)请用阅读内容中的方法，因式分解：； (4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系． （1）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （4）根据题意结合因式分解即可得到根与系数的关系． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， 解得，，， ∴， 故答案为：； （3）由题意可得， 解得， ， ∴，， ∴； （4）∵， ∴， ∴一元二次方程（）的两个实数根为，则； 一元二次方程（）的两个实数根为，则等等． 学科网（北京）股份有限公司 $$