专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解 题型八 一元二次方程估值计算 题型九 一元一次方程解的新定义问题 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是 ．（写出一个方程即可） 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 3．（24-25九年级上·湖北黄冈·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）若是方程的一个实数根，则的值为 . 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【经典例题七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解】 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【经典例题八 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【经典例题九 一元二次方程解的新定义问题】 【例9】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 3．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 3．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 4．（湖南省长沙市雅礼中学教育集团2024—2025学年下学期九年级数学3月检测卷）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 7．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 13．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 15．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解 题型八 一元二次方程估值计算 题型九 一元一次方程解的新定义问题 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式； ①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程； ②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程； ③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程； ④有2个未知数，故④不是一元二次方程； ⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程， 综上所述，共有2个一元二次方程， 故选：B． 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、当时，不是关于的一元二次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，故选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，故选项不符合题意； D、整理得：，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，其中a、b、c都是常数且的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、整理后为不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数，则符合条件的一元二次方程可以是 ．（写出一个方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接利用一元二次方程的解写成符合题意的一个方程即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，且二次项系数为正整数的一个一元二次方程可以是： ， 整理得． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、方程的根等知识点，正确掌握一元二次方程解是解题关键． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：B 2．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1 3．（2022九年级上·全国·专题练习）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】(1)m＝﹣3 (2)3或±2或± 【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案； （2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程， ∴且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故m为﹣3时，原方程是一元二次方程； （2）解：根据题意，则 ∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程， ∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或， 解得m＝3或m＝±2或m＝± 故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为． 先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵原方程化为一般形式后为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（24-25九年级上·湖北黄冈·开学考试）已知是一元二次方程的一个根．求的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式． 【答案】，一般形式是： 【分析】把代入一元二次方程，求出的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， 解得或， ， ， ， 此时的一元二次方程的一般形式是：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）若是方程的一个实数根，则的值为 . 【答案】4055 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案为：4055． 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义．根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得， 故答案为： 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个解，求值： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．将代入即可求解． 【详解】解：已知是一元二次方程的一个解 ，即， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【经典例题七 已知一元二次方程的解，求另一个方程的解】 【例7】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型． 因为满足方程，所以，两边同时除以即可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ， 是一元二次方程的一根， 故选：C． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是2024． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是2024． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程变形为，结合题意得出或，求解即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，， ∴方程变形为，即此方程中或， 解得：，， 故答案为：，． 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 【经典例题八 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与， ∴一元二次方程的一个解的范围是： ， 故选：C． 【经典例题九 一元二次方程解的新定义问题】 【例9】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义，得出的值代入计算即可判断①，根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断②，根据题意得出，即可判断③ 【详解】解：①∵，， 依题意 解得：，， ∴，故①正确； ②的方程与的解相同，即与的解相同， ∴ ∴，故②正确； ③ ∵的最小值为， 当 ∴的最小值为， ∴有最小值，且最小值为． 当，有最大值，且最大值为1 ． 故③不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新新定义是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 3．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 1．（24-25九年级上·河南漯河·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D．1和3 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键，利用一元二次方程的定义判断即可确定出的值． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：：C． 3．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 4．（湖南省长沙市雅礼中学教育集团2024—2025学年下学期九年级数学3月检测卷）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 6．（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【详解】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 8．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 9．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得， 故答案为： 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根，解题的关键是掌握利用整体代换法求解一元二次方程的根的方法． 首先将变形为，由题意可得：或，再进行转化即可得出根． 【详解】解：∵可变形为， 由题意可得：或， ∴或， 即方程的根为或． 故答案为：，． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．先将a代入得到，对化简得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 13．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 15．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 学科网（北京）股份有限公司 $$