2.2.2 平行四边形的判定（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

2.2.2 平行四边形的判定 题型一 判断能否构成平行四边形 1．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是 ． 3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，点D为BC的中点． （1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹： ①过点B作AC的平行线BP； ②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G． （2） 在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形． 题型二 添加一个条件成为平行四边形 1．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 2．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 3．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题： （1）你添加的条件是　 ． （2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF． 题型三 数平行四边形的个数 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    题型四 求与已知三点组成的平行四边形的个数 1．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ） A．3 B．6 C．7 D．9 2．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 3．小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    题型五 证明四边形是平行四边形 1．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则还应满足（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABFD中，E，C是边BF上的两点．若，则图中的平行四边形是 ．    3．如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    题型六 全等三角形拼平行四边形问题 1．用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（     ） A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 2．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 3．图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 1．在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝ 度． 3．如图，在四边形中，交于点，交于点，. （1）求证：. （2）若 平分 ， .求 的度数. 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 1．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 3．如图，在四边形中，． (1)试猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 题型九 平行四边形的性质和判定的应用 1．如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是▱ABCD面积的(  ) A． B． C． D． 2．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 3．如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程． 已知：平行四边形． 求作：点，使点为边的中点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧， 交的延长线于点； ③连接交于点． 所以点就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 四边形是平行四边形， ． 　　 ， 四边形是平行四边形　　 （填推理的依据）． 　　（填推理的依据）． 点为所求作的边的中点． 1．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 2．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 4．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 5．已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 6．如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求点D到的距离． 7．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 8．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 9．如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 10．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分． 求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 11．如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 12．如图，在四边形中，，，，， ，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 平行四边形的判定 题型一 判断能否构成平行四边形 1．如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据题意先证明，，再由平行四边形的判定，即可得出结论． 【详解】解：∵要使四边形为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为，，，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 2．如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是 ． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形， 判断的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝BC，点D为BC的中点． （1）用圆规和没有刻度的直尺作图，并保留作图痕迹： ①过点B作AC的平行线BP； ②过点D作BP的垂线，分别交AC，BP，BQ于点E，F，G． （2）在（1）所作的图中，连接BE，CF．求证：四边形BFCE是平行四边形． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【详解】试题分析：（1）①作∠CBQ的平分线BP；②过点D作BP的垂线； 由BP//CE，可得∠ECD=∠FBD，∠CED=∠BFD，又CD=BD，从而△CDE≌△BDF，可得CE=BF，从而可得BF//CE，BF=CE，判定出四边形BFCE是平行四边形． 试题解析：（1）①作∠CBQ的平分线BP；②过点D作BP的垂线； （2）∵BP//CE，∴∠ECD=∠FBD，∠CED=∠BFD，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴△CDE≌△BDF，∴CE=BF，∵BF//CE，BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形． 考点：1．尺规作图；2．平行四边形的判定． 题型二 添加一个条件成为平行四边形 1．如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 2．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 3．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出AE∥CF．请完成以下问题： （1）你添加的条件是　． （2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明AE∥CF． 【答案】（1）BE＝DF；（2）见解析 【分析】（1）可添加BE＝DF； （2）连接AC交BD于点O，连接AF、CE，由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC、OB＝OD，结合BE＝DF得OE＝OF，据此可证四边形AECF是平行四边形，从而得出答案． 【详解】解：（1）添加的条件是：BE＝DF， 故答案为：BE＝DF； （2）如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF． 题型三 数平行四边形的个数 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 2．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【答案】5，图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：    故答案为：5． 题型四 求与已知三点组成的平行四边形的个数 1．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【详解】解：如图所示： ∵矩形AD4C1B，平行四边形ACDB，平行四边形AC1D1B，上下完全一样的各有3个，还有正方形ACBC3，还有两个以AB为对角线的平行四边形AD4BD2，平行四边形C2AC1B． ∴一共有9个面积为2的阵点平行四边形． 故选D． 2．以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 3．小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    题型五 证明四边形是平行四边形 1．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则还应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知，当时，可得，再由，即可证明四边形是平行四边形， 其他三个条件都无法证明四边形是平行四边形， 故选：C． 2．如图，在四边形ABFD中，E，C是边BF上的两点．若，则图中的平行四边形是 ．    【答案】， 【解析】略 3．如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 题型六 全等三角形拼平行四边形问题 1．用两块全等的含角的直角三角板拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形,其中一定能拼成的图形是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形、等腰三角形的性质判断． 【详解】解：由于菱形和正方形中都四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的含角的直角三角形不能拼成菱形和正方形； 矩形，平行四边形，等腰三角形可以拼成．如图： 故选：B． 2．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个. 【答案】3 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼接即可得． 【详解】解：如图，可拼成如下的三种平行四边形： 故答案为：3． 3．图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形画图． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了图形的拼接，以及平行四边形和特殊平行四边形的概念和性质，要灵活运用小三角形进行拼接，可以动手试一试． 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 1．在四边形中，且，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是平行四边形，则，即可求得． 【详解】解：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在▱ABCD中（AD＞AB），用尺规作图作射线BP交AD于点E，若∠D＝50°，则∠AEB＝ 度． 【答案】25． 【分析】由平行四边形的性质可知：AD∥BC，推出∠AEB＝∠EBC，求出∠EBC即可； 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝50°，AD∥BC， 由作图可知，BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝25°， ∴∠AEB＝∠EBC＝25°， 故答案为25． 3．如图，在四边形中，交于点，交于点，. （1）求证：. （2）若 平分 ， .求 的度数. 【答案】（1）详见解析；（2）24°. 【分析】（1）可由平行线的性质先求出的度数，根据直角三角形中两锐角互余可表示出，等量代换可得，可得； （2）由平行的性质可知的度数，由角平分线的性质可求出的度数，根据直角三角形中两锐角互余求解即可. 【详解】解：（1）证明：       又 ∴在直角三角形中， 又 ，       （2） 又 又由（1）知：. . 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 1．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】解：、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； 、，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 故选：． 2．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解： ， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 3．如图，在四边形中，． (1)试猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)试猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定即可判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ． （2）解：，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ． 题型九 平行四边形的性质和判定的应用 1．如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是▱ABCD面积的(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角线互相平分,中线将三角形面积平分这一性质解题. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,EF经过对角线交点O, ∴易得S△BEO=S△DFO, ∴S阴影部分=S△AOB=S▱ABCD 故选C. 2．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程． 已知：平行四边形． 求作：点，使点为边的中点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，长为半径画弧， 交的延长线于点； ③连接交于点． 所以点就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 四边形是平行四边形， ． 　　， 四边形是平行四边形　　 （填推理的依据）． 　　 （填推理的依据）． 点为所求作的边的中点． 【答案】（1）见解析；（2），一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分． 【分析】（1）根据尺规作图的方法，补全图形即可； （2）如图（见解析），根据平行四边形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）根据尺规作图的方法，点即为所求，补全图形如下： （2）如图，连接， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） （平行四边形的对角线互相平分） 点为所求作的边的中点 故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分． 1．如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，已知，B，D分别是和上的点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，根据平行线的性质和判定证得是解决问题的关键．根据平行线的性质和判定证得，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 4．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴，        ∴四边形是平行四边形， ∴． 5．已知：互不重合的点、、、按图中顺序依次在同一条直线上，且，，，为锐角． (1)求证：； (2)连接、，若，求证：与互相平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． （1）由可得，再利用即可证得； （2）连接，，，只要证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明： ， ，即， ，， ； （2）证明：如图，连接，，， ， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 6．如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求点D到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）由得，证明 ，推出， ，即可证明四边形是平行四边形； （2）设点D到的距离为h，根据求解． 【详解】（1）证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：设点D到的距离为h， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D到的距离是 7．如图，在中，，是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，．求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接交于点，根据平行四边形对角线互相平分，得到与的数量关系即可证明，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明． （2）根据勾股定理可求出的长度，则可得到和．最后求出的长度即可． 【详解】（1）证明：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 9．如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 的面积． 10．在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；平行四边形的性质与判定；根据题意用尺规作的平分线交于，作的平分线交于，进而根据全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理完成填空，即可求解． 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点，      ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 11．如图，在平行四边形中，于． (1)尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 【答案】(1)作图见详解 (2)①，②，③，④ 【分析】本题主要考查尺规作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，可证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求线段， （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ①， ，， ②， 在、中， ， ， ④， ． 故答案为：①；②；③；④． 12．如图，在四边形中，，，，， ，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$