6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第3课时） 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 用余弦定理、正弦定理解决实际问题 会应用余弦定理，掌握余弦定理的应用条件. 重点 数学运算 会应用正弦定理，掌握正弦定理的应用条件. 能够灵活应用正余弦定理解决实际问题. 难点 数学建模 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念： 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时叫仰角, 目标视线在水平视线下方时叫俯角. 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如北偏西60°，即以正北方向为始边，逆时针方向向西旋转60°. (如图所示) 铅垂线 目标视线 目标视线 水平视线 仰角 俯角 西 北 南 东 60° 目标方向线 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2. 方向角 1. 仰角和俯角 1 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况. 需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离. 分析：若测量者在A, B两点的对岸取定一点C （称作测量基点），则在点C处只能测出∠ACB的大小，因而无法解决问题. 为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以 及∠ACD, ∠CDB, ∠BDA，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离. 在△ADC中，由正弦定理，得 解：如图,在A, B两点的对岸选定两点C, D, 测得CD= ,并且在C, D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β，∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在△BDC中，由正弦定理，得 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离. 于是，在△ABC中，由余弦定理可得A, B两点间的距离 解：由于 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 思考1：在上述测量方案下，还有其他计算两点间距离的方法吗？ 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线，如例9中的.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.如图，早在1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点)与好望角(点)为基底，测量出的大小，并计算出两地之间的距离，进而算出了地球与月球之间的距离约为. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴.当然，随着科学技术的发展，人们会不断发现更加先进的测量距离的方法. 下面看一个测量高度的问题. 6 例10 如图, AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得 一点C(点C到地面的距离可求）到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角， 就可以计算出建筑物的高度. 为此，应再选取一点D，构造另一个含有CA的△ACD，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方 法计算出CA. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 例10 如图, AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 那么，在△ACD中，由正弦定理，得 解：如图,选择一条水平基线HG, 使H, G, B三点在同一条直线上. 在G, H两 点用测角仪器测得A的仰角分别是α, β，CD = ，测角仪器的高DH= . 所以，这座建筑物的高度为 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 例11 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点 看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到D? 需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）? 分析：首先应根据“正东方向''“南偏西30°”“目标方向线"等信息，画出示意图. 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 解： 根据题意，画出示意图. 由余弦定理，得 于是BC≈24(n mile) 由0°<C<90°，得C≈46° 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 46°+ 30°=76°, 大约需要航行24 n mile. 由正弦定理，得 ，则 得 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 10 1. 如图, 一艘船向正北航行, 航行速度的大小为32.2 n mile/h，在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向上. 30 min后，船航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向上，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗? 北 A 20° S B 65° 解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°. ∴S到直线AB的距离为 ∴这艘船可以继续沿正北方向航行 . 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11 2. 如图示，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ. 求证: 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 12 ∴此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行约为113.15海里. 3. 如图示，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54 n mile后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少? 北 A 75° C B 32° 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 13 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 14 正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤: (1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． (4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 15 1.完成习题复习参考题第12、19题 感谢观看 $$