第九章 平面直角坐标系（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第九章 平面直角坐标系（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若的坐标分别为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系，如图： ∴点的坐标为． 故答案为：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 B．点（1，﹣a2）一定在第四象限 C．已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴 D．已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） 【答案】C 【解析】解：A、若ab＝0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故此选项不符合题意； B、点（1，﹣a2）一定在第四象限或x轴上，故此选项不符合题意； C、已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，符合题意； D、已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）或（1，﹣7），故此选项不符合题意． 故答案为：C． 3．在某台风多影响地区，有互相垂直的两条主干线，以这两条主干线为轴建立直角坐标系，单位长为1万米。最近一次台风的中心位置是P（-1，0），其影响范围的半径是4万米，则下列四个位置中受到了台风影响的是（　　） A．（4，0） B．（-4，0） C．（2，4） D．（0，4） 【答案】B 【解析】最近一次台风的中心位置是P（-1，0），其影响范围的半径是4万米，单位长为1万米，根据平面直角坐标系的特点，其影响的范围应该在（﹣5，0）、（﹣1，4）、（3，0）、（﹣1，﹣4）这四个点围成的圆之中，在上述选项中，处于这个范围内的点为（-4，0），所以选B 4．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点在坐标轴上，则；②若为任意实数，则点一定在第一象限；③若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则符合条件的点有2个；④已知点，点，则轴．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【解析】①∵点A（a，b）在坐标轴上， ∴a=0或b=0， ∴ab=0，故①正确； ②∵m2≥0， ∴点在第一象限或x轴正半轴上，故②不正确； ③∵点到轴的距离与到轴的距离均为2， ∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）或（-2，2）或（-2，-2）， ∴P点共有4个，故③不正确； ④∵点，点， ∴点M、N两点在y=3的直线上， ∴MN//x轴，故④正确， 综上，正确的命题有 ①④， 故答案为：A. 5．已知平面直角坐标系内的点的纵坐标、横坐标满足下列条件：，则点位于（　　） A．轴上方（含轴的一点） B．轴下方（含轴的一点） C．轴右方（含轴的一点） D．轴左方（含轴的一点） 【答案】B 【解析】∵y=x2， ∴y≤0， ∴点位于轴下方（含轴的一点）． 故答案为：B． 6．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点，同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动.物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意知：长方形的边长为8和4， ①第一次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（秒）， ∴第一次相遇地点的坐标是； ②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为（秒）， ∴第二次相遇地点的坐标是； ③第三次相遇地点的坐标是； ④第四次相遇地点的坐标是； … 则每相遇三次，为一个循环， ∵5， 故两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标为：， 故答案为：C. 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B坐标为　 　。 【答案】（-4，2）或（6，2） 【解析】解：∵点A的坐标为(1，2)，直线AB//x轴，且AB=5， 当点B在点A的左边时，点B坐标为(-4，2）； 当点B在点A的右边时，点B的坐标为(6，2). ∴点B坐标为(-4，2)或(6，2). 故答案为：（-4，2）或（6，2）. 8．已知两点，的距离为4，且直线轴，则的算术平方根为　 　； 【答案】1或3 【解析】解： 直线轴， 且点，的距离为4， ∴b=5，=4， ∴a=， ∴b-a=1或9， ∴的算术平方根为1或3； 故答案为：1或3. 9．在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位得到点，则代数式的值为　 　． 【答案】5 【解析】解：∵把点P（3，a-1）向下平移5个单位得到Q（3，2-2b）， ∴a-1-5=2-2b， ∴a+2b=8， ∴=×8+3=5. 故答案为：5. 10．如图，在平面直角坐标系中，将三角形平移至三角形，点是三角形内一点，经平移后得到三角形内对应点，若点的坐标为，则点A的坐标为　 　 【答案】 【解析】解：∵点是三角形内一点，经平移后得到三角形内对应点 设 解得， 故答案为： 11．在平面直角坐标系中，点、，，若在平面直角坐标中存在一点，使得，且，则点的坐标为　 　 ． 【答案】或 【解析】解：∵点A的坐标为（-5，3），点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（4，1）， ∴AB//x轴， ∵AB⊥CD， ∴CD⊥x轴， ∴点D的横坐标为4， ∵AB=2CD， ∴CD=4， ∴点D的坐标为 或， 故答案为：或. 12．已知平面直角坐标系下，点A，C的坐标为，点B在坐标轴上．若的面积为3，则点B的坐标为　 　． 【答案】或或 【解析】解：当点B在x轴上， ∵， ∴， ∴， 当点B在点C左侧时，；当点B在点C右侧时，， 当点B在y轴负半轴上， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．如图，平面直角坐标系中，C(0，5)，D(a，5)（a ＞0），A、B 在 x 轴上，∠1=∠D，求证：∠ACB+∠BED=180°. 【答案】证明：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0）， ∴CD∥x轴，即CD∥AB， ∴∠1＋∠ACD＝180°， ∵∠1＝∠D， ∴∠D＋∠ACD＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEC， ∵∠DEC＋∠BED＝180°， ∴∠ACB＋∠BED＝180°. 14．已知点A（a﹣2，﹣2），B（﹣2，2b+1），根据以下要求确定a、b的值． （1）直线AB∥x轴； （2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上． 【答案】（1）解：∵直线AB∥x轴， ∴2b+1=﹣2，a﹣2≠﹣2， 解得a≠0，b=﹣ ； （2）解：∵A、B两点在第一、三象限的角平分线上， ∴a﹣2=﹣2，2b+1=﹣2， 解得a=0，b=﹣ ． 15．已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，则点的坐标为　 　； （2）若，且轴，则点的坐标为　 　； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3）根据题意可得：， 解得：， 把代入，得 . 【解析】（1）解：由题意可得：， 解得： ∴， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：； 16．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积。 【答案】解：过C点作x轴的平行线，与AD的延长线交于F，作BE⊥CF，交FC的延长线于E， 根据点的坐标可知，AF=7，DF=2，EF=7，CE=3，CF=4，BE=6， ∴S四边形ABCD=S梯形BEFA-S△BEC-S△CDF = （6+7）×7- ×3×6- ×2×4 =32.5 17．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． （1）请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； （2）办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； （3）小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 【答案】（1）如图： 该学校平面示意图所在的坐标系如下： （2）标出办公楼和教学楼的位置如（1）题图； （3）解：报告厅的位置的坐标为． 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上． （1）平移△ABC，使点C与坐标原点O是对应点，请画出平移后的△A1B1O； （2）请写出A、B两点的对应点A1、B1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）解：如图所示，△A1B1O即为所求作的三角形： ． （2）解：点A1的坐标为（1，﹣3），B1的坐标为（3，1） （3）解：S△ABC=3×4﹣ ×3×1﹣ ×2×4﹣ ×3×1=5 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”． （1）点A（﹣1，4）的“长距”为 　 　； （2）若点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”，求a的值； （3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点D（9﹣2b，﹣5）是“龙沙点”． 【答案】（1）5 （2）解：点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”， ∴|2a﹣6|＝|a+3|， ∴2a﹣6＝a+3或2a﹣6＝﹣a﹣3， 解得a＝9或a＝1； （3）解：点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， 3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D 的坐标为（5，﹣5）， 点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“龙沙点”． 20．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． （1）的值为　 　？ （2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； 【答案】（1）20 （2）解：由（1）可知，， ，， 由题知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， ， 存在时，使得与的面积相等． 【解析】解：（1）， ，， ，， ∴； 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ； （2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）解：①当点在轴上时， 设，由题意得， 解得， ． ②当点在轴上时， 设， 由题意得， 解得， ． 综上所述：的“等差点”点的坐标为或． （3）由题意得， ． 、互为相反数， ， 解得， ，． ，． 【解析】（1）解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”； 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”． 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”． 因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”． 故答案为：，； 22．如图1，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，，，点在第一象限． （1）点的坐标为　 　； （2）如图2，点是线段延长线上的点，连接，，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由； （3）在（2）的基础上，已知：，，在第一象限内取一点，连接，，满足，，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：，理由是： 设与交于D， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）或2或 【解析】（1）、∵OA=2，OC=4，四边形OABC为长方形，∴点B的横坐标为4，纵坐标为2，即点B的坐标为（4，2）. （3）、当点F在图①的位置时，∵，，， ，∴由（2）可知，∠APO=∠POC-∠PAB=50°-20°=30°，∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°+10°=100°，∠AOF=∠AOC-∠FOC=90°-25°=65°， ∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=15°，∴. 当点F在图②的位置时，同理可得，∠OAF=120°，∠AOF=15°，∴∠AFO=45°，∴. 当点F在图③的位置时，同理可得，∠OAF=100°，∠AOF=15°，∴∠AFO=65°，∴. ∴综上所述，的值为 或2或 . 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接 问题提出： （1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔ 拓展延伸： （2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由. 迁移应用： （3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值. 【答案】解：（1）； 解：（2）存在 ，且 ①当点在轴上时，令 或 此时点的坐标为 ②当点在轴上时，令 或b=1 此时点的坐标为 综上，点M的坐标为 （3）结论①正确 过点作交与点 ∵AB∥CD 【解析】解：（1）由题意可知：C点坐标为，D点坐标为（4，2） ∴AB=4，OC=2 S四边形ABDC=AB×OC=4×2=8 故答案为：（0，2）；（4，2）；8 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 平面直角坐标系（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若的坐标分别为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 B．点（1，﹣a2）一定在第四象限 C．已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴 D．已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） 3．在某台风多影响地区，有互相垂直的两条主干线，以这两条主干线为轴建立直角坐标系，单位长为1万米。最近一次台风的中心位置是P（-1，0），其影响范围的半径是4万米，则下列四个位置中受到了台风影响的是（　　） A．（4，0） B．（-4，0） C．（2，4） D．（0，4） 4．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点在坐标轴上，则；②若为任意实数，则点一定在第一象限；③若点到轴的距离与到轴的距离均为2，则符合条件的点有2个；④已知点，点，则轴．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 5．已知平面直角坐标系内的点的纵坐标、横坐标满足下列条件：，则点位于（　　） A．轴上方（含轴的一点） B．轴下方（含轴的一点） C．轴右方（含轴的一点） D．轴左方（含轴的一点） 6．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点，同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动.物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B坐标为　 　。 8．已知两点，的距离为4，且直线轴，则的算术平方根为　 　； 9．在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位得到点，则代数式的值为　 　． 10．如图，在平面直角坐标系中，将三角形平移至三角形，点是三角形内一点，经平移后得到三角形内对应点，若点的坐标为，则点A的坐标为　 　 11．在平面直角坐标系中，点、，，若在平面直角坐标中存在一点，使得，且，则点的坐标为　 　 ． 12．已知平面直角坐标系下，点A，C的坐标为，点B在坐标轴上．若的面积为3，则点B的坐标为　 　． 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．如图，平面直角坐标系中，C(0，5)，D(a，5)（a ＞0），A、B 在 x 轴上，∠1=∠D，求证：∠ACB+∠BED=180°. 14．已知点A（a﹣2，﹣2），B（﹣2，2b+1），根据以下要求确定a、b的值． （1）直线AB∥x轴； （2）A、B两点在第一、三象限的角平分线上． 15．已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，则点的坐标为　 　； （2）若，且轴，则点的坐标为　 　； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 16．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（5，2）、C（2，4）、D（2，2），求这个四边形的面积。 17．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． （1）请你画出该学校平面示意图所在的坐标系； （2）办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置； （3）小明同学发现从旗杆到图书馆行走的方向和距离正好与他从宿舍楼到报告厅行走的方向和距离相同，请你在图中标出报告厅的位置，并写出报告厅位置的坐标． 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上． （1）平移△ABC，使点C与坐标原点O是对应点，请画出平移后的△A1B1O； （2）请写出A、B两点的对应点A1、B1的坐标； （3）求△ABC的面积． 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“龙沙点”． （1）点A（﹣1，4）的“长距”为 　 　； （2）若点B（2a﹣6，a+3）是“龙沙点”，求a的值； （3）若点C（﹣3，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点D（9﹣2b，﹣5）是“龙沙点”． 20．如图1，以直角的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，并且满足． （1）的值为　 　？ （2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段的中点D的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ； （2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标． 22．如图1，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，，，点在第一象限． （1）点的坐标为　 　； （2）如图2，点是线段延长线上的点，连接，，则，，三个角满足的关系是什么？并说明理由； （3）在（2）的基础上，已知：，，在第一象限内取一点，连接，，满足，，请直接写出的值． 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接 问题提出： （1）请直接写出点的坐标 ， ，及四边形的面积 ﹔ 拓展延伸： （2）如图①，在坐标轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，试说明理由. 迁移应用： （3）如图②，点是线段上的个动点，连接，当点在上移动时(不与重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$