【专项练】旋转角问题-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

命学科网·橙子学 Www,2××k,C0m 让学习更高效 旋转角问题 中等题 1.一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°，另一个是30°，60°，90°） 图① 图② 图③ (1)如图①放置，AB⊥AD,∠CAE= (2)在(1)的基础上，再拿一个30°，60°，90°的直角三角板，如图②放置，将AC边和AD边重合， AB是∠C4B的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由. (3)根据(1)(2)的计算，请解决下列问题： 如图③∠BAD=90%∠BAC=∠FAD=20,将一个45°，45°，90°直角三角板的一直角边与AD边重合， 锐角顶A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不 是，请说明理由 2.三角板是我们日常学习数学必备的文具.如图，三角板的直角顶点O放置在直线AB上，三 角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边均在直线AB的上方），OM,OW分别平分∠AOC和 ∠BOD 0 B (1)在三角板旋转过程中，当∠AOC=40°时，求∠BOD和∠MON的度数： (2)随着三角板的旋转，∠AOC的大小会随着变化，请判断∠MON的大小是否变化？请说明理 由 3.如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上， 三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转.当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 止转动，设旋转时间为秒 60 0 D 30 人459 图I 图2 (1)当t=2秒时，∠BOC= °，∠AOD= °，∠AOC= (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第 一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动， ①射线Q1和射线OD重合前，当∠A0D=B0C时，求出相应的1的值： ②整个旋转过程中，当满足∠AOD-∠BOC=5°时，直接写出相应的1的值 4.如图，有一副三角板△ABC和△ADE,它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上， ∠BAC=3,∠DAE=45°，己知AP平分∠CAD,AO平分∠CAE. O P M B 图1 图2 图3 (1)求初始位置∠PAB的度数. (2)若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN=a,且0°<a<45°，求∠PAQ的度数. (③)在(2)的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使∠MAB=2a,求∠PAD与 3 ∠BAN存在的等量关系. 5.一副三角板ABC与DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=∠C=45°，∠B=30°，∠F=60°. 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 B (FC (E 图1 图2 (I)将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则∠BCD=°；∠PAB=: ∠APC= ; (2)将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，CN平分∠ACE,CM平分∠DCB, 若∠BCE=a,求∠MCW的度数： 困难题 6.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,将一直角三角板按图中所示的方式摆放 (∠MON=90) M 图① 图③ 探究一：将图①中的三角板绕点O顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边OM恰好平分 ∠BOC.若∠BOC=50°，ON是否平分∠AOC？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点O顺时针旋转一定的角度得到图③ (1)使边oN在∠BOC的内部，如果∠BOC=60°，则∠BOM与∠CON之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由， (2)若继续旋转三角板，直到OW与OA重合，请继续探究：∠BOM与∠CON之间存在怎样的 数量关系？ 7.如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在O处，其中∠AOB=60°，∠DOC=45°，两条直 角边落在直线MN上.将三角尺OCD从图1的位置绕O点以2度/秒的速度顺时针旋转1秒 (0<1<120).在旋转过程中，若OF为∠BOC的角平分线，OG为∠AOD的角平分线. 画学科网·橙子学 Www,2××k,C0m 让学习更高效 MB F/ 图1 图2 备用图 (1)如图1，求∠AOD的度数， (②)如图2，三角尺0CD旋转过程中，若0<t<105 当∠D0G=2∠BOF时，求1的值. 1 (3)三角尺OCD旋转过程中，当t=秒时，3∠AOC-2∠FOG=105°. 8.如图，∠AOB=130°，将一个直角三角尺COD的顶点与点O重合，∠COD=30°，OM平分∠AOB, 三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA.OB重合）· B(DY B(D) (I)如图1，当OD在射线OB上时，∠COM的度数为 (2)如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当OC平分∠BOM时，求∠BOD的度数： (3)如图3，三角尺COD从OD与OB重合开始，以每秒5的速度绕点O按图中的方向旋转，当OD 到达OM处停止旋转.在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线的情况出现了几次？分别求出 OD作为角平分线时1的值. 9.如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角 顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、N的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上， 将△4oB绕着点O顺时针旋转a(0°<a<180),射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=阝. D M 图】 图2 图3 图4 备学科网·橙子学 WwW,2××k,C0m 让学习更高效 (1)如图2，若a=16°，则∠BOP= ,∠AON= (2)△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM,求此时B的值 (3)若将两块直角三角板（其中∠4OB=30°，∠COD=45°）摆放在直线MN上，如图3，△ODC绕 点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板aODC停止转动： △OBA绕点O以每秒10°顺时针转动，当OA第一次与射线OD重合时三角板△OBA立即停止转 动：三角板△ODC和三角板△OBA同时转动，转动时间为1秒，如图4： ①用含t的代数式表示射线QA与射线OD重合前∠BOC与∠AOD的度数. ②在整个旋转过程中，当满足∠AOD-∠BOC=5°时，求出相应的1的值. 10.已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC=60°，直角三角板MON的直角顶点放 在点O处， M B 图1 图2 图3 各用图 (I)如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，求∠BOC的度数. (2)如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边oN在直线AB的下方，求 ∠BON的度数. (3)延长线段NO得到射线OD,如图3，求∠AOD、∠DOC的度数， (4)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒 时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,求t的值.画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 旋转角问题 中等题 1.(1)159 (2)AE是∠C4B的角平分线，理由见解析 (3)AE是∠CAF的角平分线，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的知识，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键， (1)根据题意、结合图形计算即可： (2)证明∠CAB=∠EAB,根据角平分线的定义解答： (3)根据题意得到∠BAE=∠DAE=45°，根据∠BAC=∠FAD=a,得到∠CAE=∠FAE,根据角平 分线的定义解答 【详解】(1)解：：AB⊥AD, ∠BAD=90°， 由题意得，∠BAC=30°∠EAD=45°， ∠CAE=90-30°-45°=15°， 故答案为：15°： (2)解：AE是∠CAB的角平分线，理由如下： ∠EAD=45°，∠BAC'=30°， ∠EAB'=∠EAD-∠BAC=15°. 又由(1)知，∠CAE=15°， ∠CAE=∠EAB',即AE是∠CAB的角平分线： (3)解：AE是∠CAF的角平分线， 理由如下：如图③，∠EAD=45°，∠BAD=90°， ·∠BAE=∠DAE=45°， 又：∠BAC=∠FAD=a, ·∠BAE-∠BAC=∠DAE-∠FAD, ∠CAE=∠FAE,即AE是∠CAF的角平分线. 2.(1)50°：135 (2)不会，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： 备学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 (1)平角的定义求出∠BOD,角平分线的定义结合平角的定义求出∠MOW的度数即可： (2)根据角平分线的定义结合平角的定义求出∠MON的度数即可得出结论. 【详解】(1)解：∠AOC=40°，∠COD=90°， ∴.∠B0D=180°-∠C0D-∠A0C=180°-90°-40°=50°. 又，OM,ON分别平分∠AOC和∠BOD, <40M-40C-}40=20,∠B0N-号0D-0=29, 2 ∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-20°-25°=135°. (2)不会，理由如下： '∠AOC=a,∠COD=90°， ∴.∠B0D=180°-∠C0D-∠AOC=180°-90°-a=90°-L. 又：OM,ON分别平分∠AOC和∠BOD, <4oM=5<40c=a,∠B0N-5<BoD-0°-4. ∠AoN=18r-∠AoM-∠BoN=18e-女-r-ah13s. 3.(1)135:120:75 (Q01-3或：②4或9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方 程是解题的关键， (1)利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论： (2)利用时间=路程+速度，可求出各节点的时间： ①当0s1<9时，A0D=050-30B0C=35-3,根据∠A0DB0C,可列出关于1 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论： ②分01号，号1s9.91s宁及宁1s12四种情况考虑，根据40-B0C9,可 列出关于1的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 【详解】(1)解：当1=2秒时，∠B0C=180°-45°-15°×2=105°； ∠A0D=180°-30°-15°×2=120°： ∠A0C=180°-30°-45°-15°×2=75°. 故答案为：105,120,75： 画学科网·橙子学 WwW,Z×xk,C0m 让学习更高效 （2)解：1804150-12（秒），50-0)-20-号（秒），00-30=5+20)=9（秒）， 180-45)+150+209)=号（秒）. ①当0≤1<9时，40D=180°-30°-15+201=150-30)°， ∠B0C=180°-45°-(15°+20)1=135-354°， 150-31=135-351, 即150-35t=(135-35t)或150-351=(35t-135), 解得：1=3或1=4 5 答：1的值为3或婴 ②当0<1s号时，0D=180°-30-(159+2091=(150-30， ∠B0C=180°-45°-(15°+20°)t=(135-35t)°， 150-35)°-(135-351)=15°≠5°，舍去： 当号1s9时，400=18p-30-0s0+2091=0s0-3, ∠B0C=180°-45°-(15°+20)4=(35t-135)°， 150-351)°-(35t-135)=5°， 即285-70t=5或70t-285=5, 解得：1=4或1=9： 当9<1s货时，40=-中8n-30-(54209川=6-150r， ∠B0C=180°-45°-(15°+20)t=(35t-135)°， 35f-150)°-(35t-135)=15°≠5°，舍去： 当号1s12时，40D=1,B0c=45+1o-30=+15, 15°-(15t+15)=15°≠5°，舍去 综上所述，的值为4或？。 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 故答案为：4或9。 4.(1)30° (2)22.50 (3)4∠PAD-∠BAN=120° 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， (1)由补角的定义得到∠CAD=150°，再根据角平分线的定义得到∠PAD=】∠CAD=79,然后 2 利用角的和差求解即可： (2)同(1)思路一致，利用∠PA0=∠PAC-∠QAC,分别求出∠PAC和∠QAC即可得解： (3)由题易得∠Av=10-∠AMB-10号，∠PD-C4D=79-名a,要找二者的关系， 需要消除α，则根据两式关系消去a即可的解。 【详解】(1)解：∠BAC=30°， ∠CAD=150°， AP平分∠CAD, 1 ∠PAD=2∠CAD=7F, ∠EAD=45°， ∠PAE=∠PAD-∠EAD=30: (2)解：∠BAC=30°，∠DAW=a,∠DAE=45°， ∴∠CAD=180°-∠BAC-∠DA4N=150°-a, ∠CAE=-180°-∠BAC-∠DAN-∠DAE=105-a, AP平分∠CAD,AQ平分∠CAE, ∠P4AC=∠CAD=79-1 2 , 04c=caB=29 2e, ∠PAQ=∠PAC-∠QAC=22.5°， (3)解：∠BAC=30,∠MAB=2a, 3 ∠CAM=30- ∠BAN=180-∠MMB=1802a, 3 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 .CAD--CAMI-DAN- 3, AP平分∠CAD, ∠PAD= 2<CAD=79-1。 6 4B4D=30w-a, .4∠PAD-∠BAN=120°. 5.(1)135,60,105 (2)52.5 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差 关系是解题的关键； (1)根据直角三角板的角度特征可直接进行求解： (2)由题意易得∠ANCE=4CB=4+a，,∠MCB=DCB=60+a,然后根据角的和差 2 关系可进行求解 【详解】(1)解：由题意得： ∠BCD=180°-∠BCA=180°-45°=135 ∠PAB=∠BAC-∠DEF=90°-30°=60° ∠APC=∠B+∠PAB=45°+60°=105 故答案为：135,60,105. (2)解：CW平分∠ACE, NCE-ACE-(ACB+BCE)-(45+). :CM平分∠DCB, MCB-CB-(CE+BCB)-(+). :∠MCN=∠NCE+∠MCB-∠BCE, AMcv=45+a)+260+a）-a. .∠MCN=52.5°. 困难题 6.探究一：OW平分∠A0C,理由见解析：探究二：(1)∠BOM-∠CON=30°，理由见解析； (2)∠BOM+∠CON=30°或∠CON-∠BOM=30° 命学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 【分析】考查角平分线的，与三角板有关的角度计算. 探究一：由OM平分∠BOC,∠BOC=50°，可求出∠BOM=∠COM=25°，再根据∠MON=90, 可得∠CON=∠AON,进而得出结论： 探究二：(1)由∠BOM-∠CON=30°，∠MON=90°，可求出∠BOC,再根据角的和差之间的关 系得出∠BOM-∠CON=30°； (2)分两种情况进行探究，即：当OW在∠AOC的内部，且OM在直线AB的上方时：当OW在 ∠AOC的内部，且OM在直线AB的下方时：得∠CON+∠BOM=30°或∠CON-∠BOM=30°. 【详解】解：探究一、Ow平分∠AOC,理由如下： .OM平分∠BOC,且∠BOC-50°， ∠BOM=∠COM=25°， ∠MON=90, .∠C0N-90°-25°=65°， :∠AON=180°-90°-25°=65°， .∠CON=∠AON, ·OW平分∠AOC: 探究二、(1)∠BOM-∠COW=30°， ∠MON=90, ∴∠BON=90°-∠BOM, :∠BOC=60°， .∠BON=60°-∠CON, .90°-∠BOM=60°-∠CON, 即：∠BOM-∠CON=30°， (2)分以下两种情况： 当OW在∠AOC的内部，且OM在直线AB的上方时，如图④所示： M B ∠MON=90°，∠BOC=60°， 图④ ∠BOM+∠CON=90°-60°=30°： 当OW在∠AOC的内部，且OM在直线AB的下方时，如图⑤所示： 备学科网·橙子学 Www,2××k,C0m 让学习更高效 -B M .'∠MON-∠CON=∠COM=∠BOC-∠BOM, 图⑤ 即90-∠CON=60°-∠BOM, .∠CON-∠BOM=30°. 综上所述，∠BOM+∠CON=30°或∠CON-∠BOM=-30°. 7.(1)(1)75 e (3)15或45或100 【分析】(1)利用角的和差解题即可： (2)根据角平分线得到∠DOG和∠BOF的度数，然后根据题意列方程解题即可： (3)分为三种情况画图，然后利用角平分线和角的和差得到∠AO℃和∠FOG的度数，然后列 方程求出1值即可， 【详解】(1)解：∠AOB=60°，∠DOC=45°， .∠A0D=180°-∠AOB-∠C0D=180°-60°-45°=75°： (2)解：旋转1秒时，∠AOD-75°+2°，∠BOC-180°-2°， :OF为∠BOC的角平分线，OG为∠AOD的角平分线， ∠D0G=1∠AOD=1(75+2P),∠BOF=∠C0F=∠B0C=90°-P, '∠DOG=2∠BOF, 2(75+20=290-4少， 解得：t= 2 (3)①当0<1≤30时， 如图，∠A0C=120°+21°， ∠PoG=∠D0G+C0D+<Cor=(5+2P45+90-P=5}, 3∠AOC-2∠FOG=105°， 3120+2x°-2×345°=105°，解得1=15： 2 金学科网·髓子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 ②当30<t≤90时， 如图，∠A0C=360°-(120°+21)=240°-21°， ∠ROG=∠D0G+∠COD+∠CoF=(79+2P45+90-P= :3∠A0C-2∠F0G=105°， 3(240-2)°-2×345 =105°，解得1=45： B 3当90<t≤120时， 如图，∠A0C=240°-2r°，∠B0C=2°-180°，∠A0D=360°-(75°+21)=285°-21°， :OF为∠BOC的角平分线，OG为∠AOD的角平分线， 2A0G=∠D00=5A0D=(28°-2r,2B0F=∠CoF=-5B0c=r-90 20G=2CoF-(4-∠D0g-∠C0F-45+∠0G-P-90°-4528-299)， :3∠A0C-2∠FOG=105°， 3240-2)-2x15=105°，解得1=10： 2 综上所述，t的值为：15或45或100， 备学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 故答案为：15或45或100 【点晴】本题考查角的和差，角平分线的定义，旋转的性质，一元一次方程，利用分类讨论画 图，列一元一次方程是解题的关键。 8.(1)35 (2)2.50 (3)3次：6s,6.5s和13s 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决动角问题以及角平分线的定义和角的计算等内 容，熟练掌握相关知识是解题的关键， (1)根据角平分线的定义可知∠BOM-65°，再根据角的和差求解即可： (2)∠BOD=a,则∠BOC=30°+a,再由角平分线的定义求出∠BOM=60°+2a,再根据oM平 分∠AOB,表示出∠AOB,建立方程求解即可； (3)分OD平分∠BOC,即∠BOD=∠COD,OD平分∠BOM时，即∠BOD=∠MOD时，OD到达OM, 即OD平分∠AOB时，三种情况讨论，建立方程求解即可. 【详解】(1)解：OM平分∠AOD,∠AOD=∠AOB=130°， ∠BOM=1∠AOB=6S, .∠C0D=30°， ∴∠COM-∠BOM-∠BOC-35°： (2)解：设∠BOD=a,则∠BOC=30°+a, OC平分∠BOM, ∴，∠COM=∠BOC=30°+a, .∠BOM=2∠COM=60°+2a, .OM平分∠AOB, ∠AOB=2∠BOM=120°+4a, ∠AOB=130°， .120°+4a=130°， 解得：a=2.5°，即∠BOD=2.5; (3)解：3次，t的值分别为6s,6.5s和13s, 理由如下： ①当OD平分∠BOC时，即∠BOD=∠COD, 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 :∠COD=30°， .∠BOD=∠COD=30°. t=30÷5=6(s). ②当OD平分∠BOM时，即∠BOD=∠MOD, 由(1)可知∠BOM=65°， ∠BOD=∠MOD=∠BOM=1x65°=32.50. 2 t=32.5÷5=6.5(s). ③当OD到达OM,即OD平分∠AOB时， 由(1)可知，∠BOM=65°， t=65÷5=13(s). 综上，OD作为角平分线的情况出现了3次，t的值分别为6s,6.5s和13s. 9.(1)74°；106 (2)60°或36° ()040D=150-151,∠B0C=135-15或∠B0C=151-135@9或9 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是 解题的关键 (1)根据∠BOP=180°-∠AOB-∠AO2,以及角的和差计算即可： (2)分两种情况讨论：当OB旋转到OP左侧时：当OB旋转到OP右侧时，解答即可. (3)①先求出t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案：②分0≤t<9, 9≤t<10以及10≤t≤36三种情况，列方程求解即可， 【详解】(1)解：MN⊥P2, ÷∠MO9-∠MOP-90°， =16°， ∠A00=a=16°， ∠AOB=90°， ∠BOP=180°-∠AOB-∠AO0=180°-90°-16°=74°： .∠AON=☑NO0+∠AOQ=90°+16°=106°， 故答案为：74°：106°.