【专项练】角的计算与分类讨论-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

函学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 角的计算与分类讨论 中等题 1.已知OC是∠4OB的平分线，∠BOD=号∠COD,OE平分∠COD,设∠4OB=a,则∠BOE=() A. 0或0 C.1 或0 D. 2.已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=号∠COD,OE平分∠COD,设∠AOB=a,则∠BOE=() A. 6a或a B.6 a或a 6 C.或0 D.a 6 3.【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC, 若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”， (P)A B(O) 图① 图② 【解决问题】 (1)一个角的平分线这个角的“巧分线”：（填“是”或“不是”） (2)若AOB=120°，射线OC是∠AOB的巧分线”，则∠AOC=_: 【拓展延伸】 (3)如图②，若∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以每秒10°的速度顺时针方向旋转，同时射 线OQ从OB出发，以每秒5°的速度逆时针方向旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合 时，运动停止，设运动的时间为(s),当t为何值时，射线OP是∠AOQ的“巧分线”？并说明理 由. 4.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一 个角的三分线有两条.如图1，∠AOB=2∠BOC,则OB是∠AOC的一条三分线. 扇学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 图1 图2 (1)如图1，若∠AOC=57°，则∠BOC= (2)如图2，若∠AOB=120°，OC,OD是∠AOB的两条三分线，且∠BOC<∠AOC, ①则∠COD= ②若以点O为中心，将∠C0D顺时针旋转n°(0<n<90)得到∠COD,当OA恰好是∠COD的三 分线时，n的值为 5.定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其 中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”. 图1 图2 (I)如图1，若∠AOB=90°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数. (2)如图2，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时， 射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180时，射线PQ,射线PM同时停 止旋转，设旋转的时间为1秒，求1为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”. 6.综合与实践 【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学打自主探 究角的三等分线.小明进行了如下探究，如图①，若射线OC,OD是∠AOB的三等分线，则 称更靠近OA边的射线OC是射线OA的“友好线”，靠近OB边的射线OD是射线OB的“友好线”. 函学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 图① 图② 0 图③ 图④ (1)如图②，∠AOB=150°，射线OP是射线OA的友好线，求∠AOP的度数. (2)【问题探究】如图③，∠AOB=120°，射线OQ与射线OA重合并绕点O以每秒4°的速度逆时 针方向旋转，与射线OB重合时停止，问旋转几秒后，OQ是OB的“友好线”. (3)【问题拓展】如图④，∠AOB=180°，射线OM,ON分别与射线OA,OB重合，射线OM绕点 O以每秒4°的速度逆时针方向旋转，同时射线O绕点O以每秒2的速度顺时针方向旋转，是 否存在某一刻OM恰好是ON的“友好线”，若存在，求出时间t秒：若不存在，请说明理由。 困难题 7.如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋 转，在旋转过程中始终有∠40M-A0C,∠BON=B0D.(本题中所有角均大于0°且小于 等于180°) B(C) M M 0 0 D 图1 图2 (1)∠C0D从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON=°： (2)∠C0D从图2中的位置绕点O顺时针旋转(0<n<60),求∠MOC、∠NOD的度数.（用n 的代数式表示) (3)∠C0D从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°(0<n<120且n≠60)，求∠MON的度数. 8.如图1，已知∠A0B=20°，∠C0D=60,OM在∠A0C内，oN在∠B0D内，∠A0M=∠A0C, 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ∠BON=二∠BOD,(本题中所有角均大于0°且小于等于180°) B(C) 图1 图2 (1)∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON= (2)∠C0D从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°(0<n<120且n≠60)，求∠MON的度数： (3)∠C0D从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)，直接写 出所有使∠MON=2∠BOC的n值. 9.定义：在同一平面内有OA,OB,OC三条射线.若OC分别与OA,OB形成的角的度数成2 倍关系，即∠AOC=2∠BOC或∠BOC=2∠AOC,则称射线OC是∠AOB的“倍距线”.如图①，若 ∠AOC=40°，∠BOC=20°，满足∠AOC=2∠BOC,则OC是∠AOB的一条“倍距线” ① ③ (I)若∠AOB=30°，OC是∠AOB的一条“倍距线”，则∠AOC的度数为°.（写出一个答案即 可) (2)如图②，点O在直线MN上，OA⊥MN,∠BON=20°. ①射线OC从O开始，绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转.设运动时间为1秒(0<1<18， 当t为何值时，OC是∠AOB的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点O处（∠POQ=30),一边OP在射线oN上，另一边00 在直线MN的下方.将三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转.设运动时间为1秒 (0<1<18),若OB是∠PO0的“倍距线”，则t=函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 角的计算与分类讨论 中等题 1.A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线.利用数形结合和分类讨论的 思想是解题关键.分类讨论：当OD位于∠BOC内部时和当OD位于∠BOC外部时，解答即可. 【详解】解：如图1，当OD位于∠BOC内部时， y B 图1 :∠AOB=a,OC是∠AOB的平分线， ∠C0B=7a ∠B0D=∠COD, 31 ·∠BOD=∠COB= 4 8a,∠C0D=3 OE平分∠COD, ·∠EOD=J 3 16, :∠BOE=∠EOD+∠BOD= 31 5 6a+8a=6: 如图2，当OD位于∠BOC外部时， B 图2 D :∠AOB=a,OC是∠AOB的平分线， ∠C0B= ∠B0D-coD, 函学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 1 3 ∠BOD= 2 ∠COB=-a,∠COD= 4 44. :OE平分∠COD, ·∠EOD=1 ∠COD=。a, 8 31 80-4080: :.∠BOE=∠EOD-∠BOD==a- 5 1 综上可知∠BOE=3a或a. 16 8 故选：A 2.A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的等分线.利用数形结合和分类讨论的 思想是解题关键.分类讨论：当OD位于∠BOC内部时和当OD位于∠BOC外部时，解答即可. 【详解】解：如图1，当OD位于∠BOC内部时， D B 图1 :∠AOB=a,OC是∠AOB的平分线， 2C0B=2a, 1 S<B0D=号∠COD1 ÷∠BOD=∠COB= 8a,∠C0D= 4 rOE平分LCOD, 4∠BOD=∠cOD= 3 2 6, ∠BOE=∠EOD+∠BOD=3a+La 5 16816: += 如图2，当OD位于∠BOC外部时， 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B D 图2 :∠AOB=a,OC是∠AOB的平分线， ÷∠COB=5a. '∠BOD= 3<coD, ZBOD-COB-a ZCOD-a 4 4. :OE平分∠COD, ∠EOD= c0D=8a, 3 2 31 8-4=8a: :.∠BOE=∠EOD-∠BOD=二L 5 综上可知∠BOE= u或。a. 16 8 故选：A 3。()是：（2)60或40或80；(3)当1为6秒或9秒或秒时，射线oP是∠400的巧 分线” 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关 的计算，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线” 的定义. (1)根据巧分线定义即可求解： (2)分3种情况，根据巧分线定义即可求解： (3)分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； 【详解】解：(1)根据角平分线的定义可知，这个角是以它的其中一边与角平分线的为两边 的角的两倍， ·一个角的平分线是这个角的“巧分线”， 故答案为：是： (2).∠AOB=120°， 函学科网·櫃子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ①当OC是∠AOB的角平分线时， 六∠40C=∠A0B=60°： 2 ②当OC是∠AOB三等分线时，∠AOC较小时， ÷∠40C=5∠A0B=40°： ③当OC是∠AOB三等分线时，∠AOC较大时， ∠A0C=2∠40B=80: 3 故答案为：60°或40°或80°： (3)依题意得：∠AOP=10r°，∠BO0=51°，0≤ts15, ÷∠AO0=∠AOB-∠B0Q=150°-51， :射线OP是∠AO0的巧分线”， 与(2)同理可得：∠40P-400或∠40P400或∠40p号400， 即：10e=050-5刘）或10r=050-5)或101=050-50)， 分别解得：1=6,1=30 15 7,1= 21 当1为6秒或9秒或秒时，射线oP是∠A0Q的巧分线 4. 19°/19度 40°/40度 1或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分 线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏， (1)根据三分线的定义计算即可： (2)①根据三分线的定义计算即可：②根据三分线的定义可得∠BOC=∠COD=∠AOD=40°， 由旋转得∠C'OD=∠COD=40°，然后分两种情况：当OA是∠COD的三分线，且∠AOD>∠AOC 时：当OA是∠COD的三分线，且∠AOD'<∠AOC时，分别求出∠COC和∠DOD的值即可. 【详解】解：(1)解：∠AOC=57°，∠AOB=2∠BOC 62B0c-写40c=19, 故答案为：19°： (2)①~OC,OD是∠AOB的两条三分线，∠AOB=120°， 六2C0D=号40B=40, 函学科网·櫃子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故答案为：40°： ②：∠AOB=120°，OC,OD是∠AOB的两条三分线， ·∠BOC=∠COD=∠AOD=30°， 由旋转得：∠COD'=∠COD=30°， 分两种情况： 当01是∠C0D的三分线，且∠A0D>∠A0C时，可得∠4OC=;∠C0D=40 ∠D0C=400-40°80 33 “∠C0C= 3+40=200 80 ，即n=200 ； 当01是∠C0D的三分线，且∠40D<∠A0C时，可得∠AOD=号∠C0D=40 ， &000gy,即a 3: 故答案为：9或智 5.(1)60°或30°或45°： (2)当1为号或12或20时，射线Pe是∠MPv的妙分线 【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义： (1)根据妙分线定义即可求解： (2)分3种情况：当∠MPQ=2∠NPQ时，当∠MPN=2∠NPQ时，当2∠MPQ=∠NPQ时，根据妙分 线定义即可求解. 【详解】(1)解：：∠AOB=90°，且射线OC在∠AOB的“妙分线”， ·∠AOC=2∠BOC或∠BOC-2∠AOC或∠AOB=2∠AOC-2∠BOC, ÷∠40C=60°或30°或45°： (2)解：根据题意得： 当∠MPQ=2∠NPQ时， 4=6+60, 解得1=20 当∠MPN=2∠NPQ时， 4=+60, 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 解得1=12： 当2∠MPQ=∠NPQ时， 4-号6+60， 解得1=20. 故当1为9或12或20时，射线PQ是∠MPv的妙分线 6.(1)∠AOP=50 (2)旋转20秒后，00是OB的“友好线” (6)存在：当1=号或1=1时，0N恰好是QN的友好线 【分析】(1)根据“友好线”定义求出∠AOP的度数即可： (2)根据“友好线”定义求出∠BOQ的度数，然后再求出∠AOQ的度数，根据旋转速度求出旋转 时间，即可得出答案： (3)分两种情况讨论，当OM在ON右侧时，当OM在ON左侧时，分别画出图形，列出关于t 的方程，解方程即可得出答案 【详解】(1)解：∠AOB=150°， 当射线0P是射线o1的r友好线时，∠40P-写40B=50. (2)解：∠AOB=120°， 当00是0B的友好线时，∠B0Q=∠40B=40, 3 ÷∠A0Q=∠A0B-∠B0Q=120°-40°=80°， :旋转时间为80÷4=20（秒）， 即旋转20秒后，OQ是OB的“友好线” （3)解：存在：当1-空或1=15时。0侧恰好是Qw的友好线 4 当OM在ON右侧时，如图所示： B 此时∠AOM=4t,∠BON=2t, ~OM恰好是ON的“友好线”， 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B∠MON∠AONP 180-4-24=180-20, 解得：空 当OM在ON右侧时，如图所示： B 此时∠AOM=4t,∠BON=21, ~OM恰好是ON的“友好线”， A∠0N-号B0N, -080°-40)=3× 解得：1=13 综上分析可知，当1=5或1=15时，OM恰好是ON的友好线” 2 4 【点晴】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是理解题目中“友好线”的定义， 数形结合，注意分类讨论. 困 难 题 7.(1)100 (2)∠M0C=80°+2，∠N0D=40+2n 3 3 (3)100° 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键. (1)根据∠MON=∠AOB+∠BOD-∠AOM-∠DON可得答案： (2)先分别表示出∠A0C=120°+mP,∠BoD=60°+，然后根据∠AOM=∠A0C,∠BON=∠BOD 3 求解即可： (3)分二种情况：①当0<n<60时，②当60<n<120时，画出图形计算即可. 【详解】(1)：∠40M=A0C=40，∠B0N=B0D=20, .∠D0N=60°-20°=40°， 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ·∠MON=∠AOB+∠BOD-∠AOM-∠DON =120°+60°-40°-40° =100°： 故答案为：100： (2)如图， M D ∠AOB=120°，∠COD=60°，∠BOC=n°， &∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+n°，∠BOD=∠COD+∠BOC=60°+n°， :∠AOM=∠AOC,∠BON=号∠BOD, 3 ∠M0C=2120+nm)=80°+名e,∠N0D=名(60°+n9)=40°+名： 3 3 (3)①当0<n<60时，如图， M D :∠BOC=n°， .∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°，∠B0D=∠C0D-∠BOC=60°-n°， :∠AOM=∠AOC,∠BON=∠BOD, 13 3 .∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BOW (2-)(-) =w-0++20- =100°： ②当60<n<120时，如图， 函学科网·橙子学 www.zxxk.com 让学习更高效 M A :∠BOC=n°， ÷∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-n°， ∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°， ÷∠MON=∠MOC+∠BOC-∠BON =02n-r+r-r-6o） =80、2 + 3°+20 =100°. 综上所述：∠MON的度数为100°. 8.(1)100 (2)100° (3)50或70 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键。 (1)当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得 ∠MON-∠MOB+∠BON,再根据已知条件进行计算即可： (2)根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转°(0<n<120且n≠60)，分两种情况画图： ①当0<n<60时，如（图），②当60<n<120时，如（图2），结合(1)进行角的和差计算即可： (3)根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)， ∠MON=2∠BOC,分两种情况画图：①当0<n<60时，如图3，（②当60<n<180时，如图4和5， 结合(2)进行角的和差计算即可. 【详解】(1)解：：∠4OM=∠AOC,∠BON=号∠BOD, ∠M0c=2∠A0C,∠D0N=2∠B0D, 3 当∠C0D从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2， ∴.∠MON=∠MOB+∠BON =2∠A0C+5∠BOD 31 3 函学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 =80°+20° =100°， 故答案为：100： (2)解：∠C0D从图2中的位置绕点O逆时针旋转n(0<n<120且n≠60)， (①当0<n<60时，如（图）， B D.:∠BOC=m°， O (图1) .∠A0C=∠A0B-∠BOC=120°-n°， ∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-n°， ∴.∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON -2020°-n)+n°+60°-n9） 3 =100°： ②当60<n<120时，如（图2）， D ∠BOC=n°， M A 0 (图2) ∠A0C=∠A0B-∠B0C=120°-n°， ∠BOD=∠BOC-∠DOC=n°-60°， .∠MON=∠MOC+∠DOC+∠DON 2020°-m+60°+号m°-60) 2 3 =100°： 综上所述：∠MON的度数为100°： (3)解：∠C0D从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)，