专题01 一元一次不等式的基本性质与解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题01 一元一次不等式的基本性质与解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 列一元一次不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）用两根长度均为40cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，试比较正方形和圆的面积哪个大？ 【经典例题二 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已处，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的解集是 . 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）下列不等式中不是一元一次不等式的是（　　） A．x＞3 B．＞2 C．﹣y+1＜y D．2x＞1 2．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 【经典例题五 列一元一次不等式】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）“x的2倍与7的和不大于15”用不等式可表示为（   ） A．2x+7＜15 B．2x+7≤15 C．2(x+7) ＜15 D．2(x+7)≤15 2．（23-24七年级下·广东中山·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数：，，0.8，2，3，4，5，2025．其中是不等式的解的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·湖南益阳·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是互不相等的正整数，它们的和等于159．若其中最小，则的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·课后作业）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）一个不等式的解集是，在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·四川成都·期末）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（23-24八年级·全国·单元测试）设，，，…，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，…，2008；②；③，则的最大值是（    ）． A．16 064 B．5624 C．3212 D．2408 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 2．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 3．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）【教材呈现】下图是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 【经典例题十 一元一次不等式解的新定义运算】 【例10】 （2024·福建龙岩·一模）定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 4．（2025七年级下·湖南娄底·学业考试）已知为实数，设，（表示中的最大值），则的最小值是（   ） A． B．673 C．1346 D．2019 5．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，那么 ． 7．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则 ．    8．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·湖南常德·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是 ． 10．（2024七年级·全国·竞赛）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 12．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 13．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 14．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式的基本性质与解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 列一元一次不等式 题型六 求一元一次不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 在数轴上表示不等式的解集 题型九 求一元一次不等式解的最值 题型十 一元一次不等式解的新定义运算 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④ x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式． 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）用两根长度均为40cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，试比较正方形和圆的面积哪个大？ 【答案】圆的面积＞长方形面积 【分析】根据题意可知绳子的长40cm是三种图形的周长，利用各自的周长公式、面积公式分别求出各自的面积后进行比较即可解答． 【详解】正方形的面积是：（40÷4）2=100（平方厘米）； 圆的面积是：π×（40÷π÷2）2=π×=（平方厘米）； 因为＞100， 所以圆的面积＞长方形面积. 【点睛】此题考查了周长相同的图形中，圆的面积最大，需要记住这个规律． 【经典例题二 不等式的性质】 【例2】（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已处，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质，可得答案； 【详解】A、两边都乘以，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、两边都加，不等号的方向不变，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，故C符合题意； D、两边都减，不等号的方向不变，故D不符合题意； 故选：C 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　） A．207 B．208 C．209 D．239 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：，是整数， 的最大值为； ，是整数，， 的最大值为； ，为整数， 的最大值为； ，为整数，， 的最大值为， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式两边同乘（或除）一个负数，不等号的方向改变成为解题的关键. 直接运用不等式的性质即可解答. 【详解】解： . 故答案为：. 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 3．（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）下列不等式中不是一元一次不等式的是（　　） A．x＞3 B．＞2 C．﹣y+1＜y D．2x＞1 【答案】B 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：＞2不是一元一次不等式． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，正确理解知识点是解题的关键； 2．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 . 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可， 【详解】解：（1）是一元一次不等式； （2）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （3）不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式； 故答案为：（1）是；（2）不是；（3）不是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义的内容是解题的关键． 【经典例题五 列一元一次不等式】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 1．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）“x的2倍与7的和不大于15”用不等式可表示为（   ） A．2x+7＜15 B．2x+7≤15 C．2(x+7) ＜15 D．2(x+7)≤15 【答案】B 【分析】直接得出x的2倍为2x，再加7，小于等于15即可． 【详解】解：用不等式表示“x的2倍与7的和不大于15”是：2x＋7≤15． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确用未知数表示是解题关键． 2．（23-24七年级下·广东中山·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 【答案】< 【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合． 设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有，即可求解． 【详解】解：设环形道的周长为x， 因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有， 所以， 即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数． 故答案为：<． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． （2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键． 【经典例题六 求一元一次不等式的解集】 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数：，，0.8，2，3，4，5，2025．其中是不等式的解的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．先求出不等式的解集，再对各数进行判断，即可解题． 【详解】解：， 解得， 2，3，4，5，2025这5个数是不等式的解， 故选：C． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出不等式的解集，根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 由题意，得， 解得． 故选A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，若点的运动速度为每秒3个单位长度，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标和一元一次不等式的应用．动点从平面直角坐标系的点出发，沿轴负方向经过秒运动到点左侧，据此列不等式即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 1．（2024·湖南益阳·一模）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵不等式的负整数解只有, ∴符合题意的m取值范围如图所示， ∴， 故选B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是互不相等的正整数，它们的和等于159．若其中最小，则的最大值为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用， 根据最小，表示出其它6个数，再根据和等于159得出不等式，然后求出解集，可得答案． 【详解】解：设， 则． 将上述各式相加，得， 解得， 所以的最大值为19． 故答案为：19． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·课后作业）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 【经典例题八 在数轴上表示不等式的解集】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）一个不等式的解集是，在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据用数轴表示不等式的解集的方法解答即可． 【详解】解：一个不等式的解集是，在数轴上表示为： ， 故选：B． 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为   故选：． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答． 【详解】解：解不等式， 可得， 根据数轴可得不等式的解集为， 可得方程， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 (3)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练运用法则计算是解题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （3）利用去括号、移项、合并同类项，系数化为1解不等式，并把解集在数轴上表示； 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）解：去分母，得， 去括号，得2． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得19． 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【经典例题九 求一元一次不等式解的最值】 【例9】（23-24八年级·全国·单元测试）设，，，…，是整数，且满足下列条件：①，，2，3，…，2008；②；③，则的最大值是（    ）． A．16 064 B．5624 C．3212 D．2408 【答案】D 【分析】根据中有个，个1，个2可得出等式即可求出取最大值为2408. 【详解】提示：设中有个，个1，个2， 则 ． 所求式子为 ，，， 故的最大值为2408. 【点睛】本题考查函数最值,解题关键在于列出等式. 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 3．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）【教材呈现】下图是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 【答案】；5 【分析】教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案； 拓展：先把m看作常数，利用加减消元法解关于x、y的方程组，然后把x、y的值代入，解不等式即可确定m的最小整数值． 【详解】教材呈现：解：， 移项得：， 化系数为1得：， ∵关于x方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴k的取值范围． 拓展：解：， ①×3得：④， ②×2得：⑤， ⑤-④得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； ∵， ∴， 解得：， ∴m的最小整数值是5． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键. 【经典例题十 一元一次不等式解的新定义运算】 【例10】 （2024·福建龙岩·一模）定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ⊕， ， ， ， ； 当，即时， ⊕， ， ， ， ； 综上所述，或， 故选：C． 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）定义一种新运算：．例如：，那么不等式的正整数解是（　　） A． B．1 C．0和1 D．2 【答案】B 【分析】根据题目所给新运算的运算法则，将化为代数式，再求解不等式即可． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， 解得：， 符合条件是正整数解有：1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是正确理解题意，根据题目所给新运算，列出不等式求解． 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，当时，．例如：，．若已知，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，分当时得到不等式，当时得到不等式，两种情况解不等式即可得到答案． 【详解】解：当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立． ，但未说明a的符号，当 时，不等式 ，故选项B不一定成立． 将不等式 两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）数学表达式①；②；③；④；⑤中不等式的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得． 【详解】解：①，②；⑤都是不等式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】由得或进而即可求解； 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 4．（2025七年级下·湖南娄底·学业考试）已知为实数，设，（表示中的最大值），则的最小值是（   ） A． B．673 C．1346 D．2019 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，由题意得，①，②，⑤，再相加可得答案． 【详解】解：， ①，②，③，④， 为任意实数， ， ⑤， ①+②+⑤，得， ， ∴的最小值是． 故选：A． 5．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（17-x）>90． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键． 先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：解不等式得：, ∵由数轴可知， ∴，解得：． 故答案为：0． 8．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若不等式的解都能使不等式成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得， 综上，实数m的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键． 9．（23-24七年级下·湖南常德·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意，列出不等式，然后求出不等式的负整数解求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴不等式的负整数解是， 负整数解的和为 故答案为：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生 名． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式，设全班共有人，则，再根据必须是、和的公倍数即可求解，解题的关键是根据题意，列出不等式． 【详解】解：设全班共有人， 根据题意有， 解得， 因为必须是、和的公倍数，而、和的公倍数中小于的只有， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的一般步骤是关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． 12．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）已知，试着用不等式的基本性质和分别比较与的大小． 解法一（利用基本性质） 解法二（利用基本性质） 【答案】，见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解法一：∵， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵，， ∴． 13．（23-24七年级下·全国·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 14．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 15．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证． （1）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解； （2）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$