专题03 一元一次不等式（组）的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 一元一次不等式（组）的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 用一元一次不等式解决实际问题 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 题型三 不等式组的行程问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的经济问题 题型六 不等式组的分配问题 题型七 不等式组的方案选择问题 题型八 不等式组的阶梯收费问题 题型九 一元一次不等式组的其他应用 题型十 新一元一次不等式组的新定义综合应用 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对1道题得5分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明的成绩等级为优秀（85分及85分以上）．小明至少答对了多少道题？ 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的物质资源之一．为更好地提升水质，保护环境，市污水处理管理办公室预购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其价格如表： 型号 型 型 价格/（万元/台） 市污水处理管理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过万元．有哪几种购买方案？ 【经典例题二 用一元一次不等式解决几何问题】 【例2】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    1．（2024·湖南常德·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 3．（23-24七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    【经典例题三 不等式组的行程问题】 【例3】 （2024·湖南张家界·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 1．（2024七年级下·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【经典例题四 不等式组的工程问题】 【例4】（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 2．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）哈尔滨地铁正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土． (1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？ 3．（2024·山东青岛·一模）青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【经典例题五 不等式组的经济问题】 【例5】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． (1)求m的值； (2)该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ (3)由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲型 150 200 乙型 120 160 该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台． (1)问超市有哪几种进货方案？ (2)请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，已知每部甲种型号的手机进价比每部乙种型号的手机进价多200元，且购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金9600元； (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机共20台进行销售，现已有顾客预定了8台甲种型号手机，且该店投入购进手机的资金不多于3.8万元，请求出有几种进货方案？并请写出进货方案． (3)售出一部甲种型号手机，利润率为，乙种型号手机的售价为2520元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元充话费，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【经典例题六 不等式组的分配问题】 【例6】（2024·湖南株洲·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 2．（24-25七年级下·湖南常德·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 3．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【经典例题七 不等式组的方案选择问题】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 【经典例题八 不等式组的阶梯收费问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【经典例题九 一元一次不等式组的其他应用】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 1．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）年春晚吉祥物“巳升升”，以十二生肖中蛇的专属汉字“巳”为名．某厂家生产大小两种型号的“巳升升”，大号“巳升升”的单价比小号“巳升升”的单价贵元，用元购进小号“巳升升”的数量是用元购进大号“巳升升”数量的倍． (1)大号“巳升升”的单价为多少元？ (2)某网店从该厂家处购进了两种型号的“巳升升”共个，大号“巳升升”的数量不超过小号“巳升升”数量的一半，小号“巳升升”售价为元个，大号“巳升升”的售价比小号“巳升升”的售价多．若两种型号的“巳升升”全部售出，且该网店所获利润不少于元，则该网店购进大号“已升升”多少个？ 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【经典例题十 新一元一次不等式组的新定义综合应用】 【例10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 1．（2024·浙江宁波·一模）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（   ） A．23名 B．25名 C．19名 D．20名 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）番茄是我们常见的一种蔬菜，取5个大小均等的番茄放在同一简易天平秤，如图，则一个番茄的重量大约是（    ）    A．30 B．35 C．40 D．45 4．（2025·湖南·一模）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一次“青年大学习”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案是对的，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选扣2分，如果小明在本次竞赛中，得分不低于80分，那么他至少选对 道． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的的值或取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 12．（2025七年级下·全国·专题练习）牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 13．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）双龙山位于河南偃师市南部，属于免费景区，这里有古老的寺庙、茂密的森林、清澈的溪流和绚烂的野花，是户外旅行者的乌托邦．景区某纪念品专卖店看准商机决定购进，两种纪念品进行销售，已知每个种纪念品的进价比种纪念品贵10元，用320元购进种纪念品的数量和用240元购进种纪念品的数量相同． (1)求，两种纪念品每个的进价． (2)已知种纪念品的售价为每个55元，种纪念品的售价为每个40元，该纪念品专卖店决定购进这两种纪念品共80个，且用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元，若，两种纪念品全部卖完，那么该纪念品专卖店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 14．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）学校装修录播教室需用A型板材120块，B型板材90块，A型板材规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的剪裁示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n 若所购的保准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表示，m= ，n= ． （2）用含有x的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； （3）所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时x的值；若不能，请说出理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式（组）的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 用一元一次不等式解决实际问题 题型二 用一元一次不等式解决几何问题 题型三 不等式组的行程问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的经济问题 题型六 不等式组的分配问题 题型七 不等式组的方案选择问题 题型八 不等式组的阶梯收费问题 题型九 一元一次不等式组的其他应用 题型十 新一元一次不等式组的新定义综合应用 知识点01 盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点02 经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【经典例题一 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对1道题得5分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明的成绩等级为优秀（85分及85分以上）．小明至少答对了多少道题？ 【答案】小明至少答对了18道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答道题． 根据题意，得， 解得． 故小明至少答对了18道题． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某水果店销售两种规格的水果礼盒，A水果礼盒进货价为每盒60元，售价为每盒80元，B水果礼盒进货价为每盒45元，售价为每盒60元．若该店购进两种水果礼盒的费用恰好为9000元，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得总利润至少为3000元，且两种水果礼盒全部售完．最多购进A水果礼盒多少盒？ 【答案】最多购进A水果礼盒48盒 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可． 【详解】解：设购进A种水果礼盒m盒，则购进B种水果礼盒n盒．由题意，得 ， 整理，得． 由题意，得， 整理，得． 把代入，得， 解得． 因为均为非负整数， 所以当时，． 故最多购进A水果礼盒48盒． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）小聪同学想乘公共汽车，他走到两车站之间的C处，拿出手机查看了公共汽车到站情况，发现公共汽车距离他（示意图如下）．若公共汽车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择去哪个车站都不会错过这辆公共汽车．求两车站之间的最大距离． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设看手机时小聪距离A站，距离B站.到A公交站，由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出的取值范围，再取其最大值即可得出结论． 【详解】解：设看手机时小聪距离A站，距离B站． 到A车站：，解得． 到B车站：，解得． 故， 所以两车站之间的最大距离为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的物质资源之一．为更好地提升水质，保护环境，市污水处理管理办公室预购买台污水处理设备．现有两种型号的设备，其价格如表： 型号 型 型 价格/（万元/台） 市污水处理管理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过万元．有哪几种购买方案？ 【答案】有种购买方案：①购买型设备台，型设备台；②购买型设备台，型设备台；③购买型设备台，型设备台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购买型设备台，则购买型设备台，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设购买型设备台，则购买型设备台， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有种购买方案： ①购买型设备台，型设备台； ②购买型设备台，型设备台； ③购买型设备台，型设备台． 【经典例题二 用一元一次不等式解决几何问题】 【例2】（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 1．（2024·湖南常德·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 2．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．    【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 【经典例题三 不等式组的行程问题】 【例3】 （2024·湖南张家界·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 【答案】甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【分析】根据起步价与超过3千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出不等式组解答即可． 【详解】设从甲地到乙地的路程是xkm， 根据题意，得：14.8﹣0.7＜5+1.4（x﹣3）≤14.8， 解得：9.5＜x≤10， 答：甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式在实际中的应用，注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 【答案】(1)10秒 (2)12秒开始 (3)5秒 【分析】（1）设经过x秒小颖追上小华，根据在x秒内小颖通过的路程小华通过的路程米，列出方程，解方程即可； （2）设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，根据到终点的距离不超过16米列出不等式组，解不等式组即可； （3）分两种情况，小颖追上小华之前，小颖追上小华之后，分别求出结果即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过x秒小颖追上小华，由题意得： ， 解得：， 答：经过10秒小颖追上小华． （2）解：设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，由题意得 ， 解得：， 答：从12秒开始，小颖到终点的距离不超过16米． （3）解：设小颖追上小华之前，经a秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 设小颖追上小华之后，经b秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 小颖跑完100米所用时间为：（秒）， ∵， ∴不符合题意舍去． 答：经5秒小颖和小华相距5米． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系和等量关系列出不等式或方程． 2．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值； (2)若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？ 【答案】(1)2； (2)景点或景点． 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． 学校可能组织学生去景点或景点． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）按材料上提供的计算方法确定答案即可； （2）按材料上提供的计算方法确定的取值范围算即可； （2）直接把代入，求出的范围即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：1； （2）若，则的取值范围是． 故答案为：； （3）因乘车费用，故该乘客乘车路程超过， 根据题意，可得 ， 解得， ∴， ∴． 答：该乘客所行的路程的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、一元一次不等式组解决实际问题等知识，根据材料上提供的方法，弄清实际意义，得到正确的结论是解题的关键． 【经典例题四 不等式组的工程问题】 【例4】（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天． (1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？ (2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，甲工程队至多参加工作多少天？ 【答案】(1)15天； (2)20天． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设再合作天可完成此项工程，因为甲工程队单独完成此项工程需50天，乙单独完成此项工程需30天，列式，再解方程，即可作答． （2）先设甲工程队参加工作天，再表示乙参加的天数为，因为甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，所以，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设再合作天可完成此项工程 解得： 答：再合作15天可完成此项工程； （2）解：设甲工程队参加工作天， 则乙参加的天数为 解得： 答：甲工程队至多参加工作20天 2．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）哈尔滨地铁正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土． (1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于160吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？ 【答案】(1)该车队有载重量8吨、10吨的卡车各5辆和7辆 (2)最多购进载重量为8吨的卡车5辆 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）设载重8吨的卡车有辆，载重10吨的卡车有辆，根据题意列方程求解即可； （2）设购进载重量为8吨的卡车辆，则购进载重量为10吨的卡车辆，根据题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设载重8吨的卡车有辆，载重10吨的卡车有辆， ， 解得，， 答：载重8吨的卡车有5辆，载重10吨的卡车有7辆． （2）解：设购进载重量为8吨的卡车辆，则购进载重量为10吨的卡车辆， ， 解得，， 答：最多购进载重量为8吨的卡车5辆． 3．（2024·山东青岛·一模）青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘米； (2)每天还应多挖掘米． 【分析】（）设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务，列分式方程求解； （）设每天还应多挖掘米，根据完成该项工程的工期不超过天，列不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴实际每天挖掘， 答：实际每天挖掘米； （2）设每天还应多挖掘米， 由题意，得， 解得， 答：每天还应多挖掘米． 【经典例题五 不等式组的经济问题】 【例5】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． (1)求m的值； (2)该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ (3)由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 【答案】(1)的值为； (2)按照售价的八折进行销售的茶叶最多是千克； (3)a的值为． 【分析】此题考查了分式方程、一元一次不等式、一元一次方程的应用． （1）用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）先求出两次购进茶叶的数量，设按照售价的八折进行销售的茶叶是千克，则按照原价销售的茶叶是千克，总利润不低于，据此列不等式，解不等式即可得到答案； （3）每千克仍可获利100元，据此列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 答：的值为； （2）解：第一次购进茶叶（千克），第二次购进茶叶（千克）， 设按照售价的八折进行销售的茶叶是千克，则按照原价销售的茶叶是千克， 根据题意可得，， 解得，， 答：按照售价的八折进行销售的茶叶最多是千克； （3）解：根据题意可得，， 解得． 答：a的值为． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批小型无人机的单价是元 (2)销售单价至少为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设第一批小型无人机的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设小型无人机销售价格为元，根据题意“小型无人机全部售完后利润不少于元，”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设第一批小型无人机的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 答：第一批小型无人机的单价是元． （2）第一批小型无人机的数量是． 设小型无人机销售价格为元． 根据题意，得． 解得，． 答：销售单价至少为元． 2．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲型 150 200 乙型 120 160 该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台． (1)问超市有哪几种进货方案？ (2)请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？ 【答案】(1)有三种方案：方案1：甲种型号的空气加湿器23台，乙种型号的空气加湿器27台，方案2：甲种型号的空气加湿器24台，乙种型号的空气加湿器26台，方案3：甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台 (2)购买甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台获利最多，最多为2250元 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，方案选择问题， （1）设购买甲种型号的空气加湿器x台，则乙种型号的空气加湿器台，列不等式求解即可； （2）分别计算三种方案的获利，比较即可得到获利最多的方案 【详解】（1）解：设购买甲种型号的空气加湿器x台，则乙种型号的空气加湿器台， ， 解得， ∵， ∴， ∵x是正整数， ∴a为23,24,25， 有三种方案： 方案1：甲种型号的空气加湿器23台，乙种型号的空气加湿器27台， 方案2：甲种型号的空气加湿器24台，乙种型号的空气加湿器26台， 方案3：甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台； （2）方案1获利元， 方案2获利元， 方案3获利元， ∴购买甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台获利最多，最多为2250元 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，已知每部甲种型号的手机进价比每部乙种型号的手机进价多200元，且购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金9600元； (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机共20台进行销售，现已有顾客预定了8台甲种型号手机，且该店投入购进手机的资金不多于3.8万元，请求出有几种进货方案？并请写出进货方案． (3)售出一部甲种型号手机，利润率为，乙种型号手机的售价为2520元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元充话费，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1800元 (2)有三种进货方案，方案见解析 (3)120 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设甲型号手机每部进价为x元，则乙型号手机每部进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进甲型号的手机a部，则购进乙型号的手机部，根据题意列不等式求得a的取值范围，即可求解； （3）分别求得两种手机的利润，再根据“使（2）中所有方案获利相同”求解即可． 【详解】（1）解：设甲型号手机每部进价为x元，则乙型号手机每部进价为元， 由题意得，， 解得， ∴（元）， 答：甲型号手机每部进价为2000元，乙型号手机每部进价为1800元． （2）解：设购进甲型号的手机a部，则购进乙型号的手机部， 由题意得，， 解得， ∵现已有顾客预定了8部甲种型号手机， ∴， ∵a为整数， ∴或9或10， ∴有三种进货方案，方案如下： 方案一：购进8部甲型号的手机，购进12部乙型号的手机； 方案二：购进9部甲型号的手机，购进11部乙型号的手机； 方案三：购进10部甲型号的手机，购进10部乙型号的手机； （3）解：每部甲型号的手机的利润为（元），每部乙型号的手机的利润为（元）， ∵要使（2）中所有方案获利相同， ∴（元）． 【经典例题六 不等式组的分配问题】 【例6】（2024·湖南株洲·一模）某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】(1)应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母； (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找出题中等量关系是解题的关键． （1）设应分配名工人生产螺母，列出方程求解即可； （2）设名工人每月加工天才能完成车间任务，则，求解即可． 【详解】（1）解：设应分配名工人生产螺母，则 解得： ∴生产螺母的工人数为：（人） （2）解：设名工人每月加工天才能完成车间任务，则 a取整数，（天） ∴至少22天加工才能完成车间任务． 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得. 检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得 解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 【经典例题七 不等式组的方案选择问题】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）春节来临，某工厂计划购买A，B两种工艺品共200件用以奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)求A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，请你帮助工厂计算出共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)6种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元； （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品件， 根据题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴，6，7，8，9，10， ∴工厂共有6种购买方案． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得： 解得： 又∵a为整数， ∴或3 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． ∵，则（元）， ∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱． 【经典例题八 不等式组的阶梯收费问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 【答案】(1)0.6，0.65 (2)300千瓦时 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，有理数的除法运算和减法运算，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． （1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费121元，求出b的值即可； （2）设小明家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的，根据该市居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，列出不等式求解即可． 【详解】（1）根据2013年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元； 得出：， 居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 则． 故答案为：0.6，0.65． （2）设小王家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的， 由题意，得， 解得：． 答：小王家用电量最多能用电300千瓦时，不超过家庭月收入的． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同 (3)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案即可求解； （2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解． 【详解】（1）解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 故填表为： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 560 乙商场实际花费 410 550 （2）解：根据题意，得， 解得， 当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同． （3）解：由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 【经典例题九 一元一次不等式组的其他应用】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 1．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期末）年春晚吉祥物“巳升升”，以十二生肖中蛇的专属汉字“巳”为名．某厂家生产大小两种型号的“巳升升”，大号“巳升升”的单价比小号“巳升升”的单价贵元，用元购进小号“巳升升”的数量是用元购进大号“巳升升”数量的倍． (1)大号“巳升升”的单价为多少元？ (2)某网店从该厂家处购进了两种型号的“巳升升”共个，大号“巳升升”的数量不超过小号“巳升升”数量的一半，小号“巳升升”售价为元个，大号“巳升升”的售价比小号“巳升升”的售价多．若两种型号的“巳升升”全部售出，且该网店所获利润不少于元，则该网店购进大号“已升升”多少个？ 【答案】(1)大号“巳升升”的单价为元； (2)该网店购进大号“巳升升”个． 【分析】（）设小号“巳升升”的单价为元，则大号“巳升升”的单价为元，根据题意列出方程得，然后求解并检验即可； （）设该网店购进大号“巳升升”个，则购进小号“巳升升”个，由题意，可知， 然后由该网店所获利润不少于元得出，列出，从而求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式组． 【详解】（1）解：设小号“巳升升”的单价为元，则大号“巳升升”的单价为元， 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：大号“巳升升”的单价为元； （2）解：设该网店购进大号“巳升升”个，则购进小号“巳升升”个， 由题意，可知， ∵小号“巳升升”的售价为元，大号“巳升升”的售价比小号“巳升升”的售价多， ∴大号“巳升升”的售价为（元）， ∴该网店获得的利润为， ∴， ∴， 解得：， 答：该网店购进大号“巳升升”个． 3．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 【经典例题十 新一元一次不等式组的新定义综合应用】 【例10】（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)3，2； (2)x＝−5； (3)7＜x≤． 【分析】（1）根据新定义表示的意义求解； （2）整理方程得【x】＝，根据定义得出x−1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由【x】是整数，设4x＋5＝3n（n是整数）得到x＝，则−8＜≤−5，解得−9＜n≤−5，即可求得当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据新定义得出关于x的不等式组，进而可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：【π】＝3，【−2.1】＋【5.1】＝−3＋5＝2， 故答案为：3，2； （2）∵4x−3【x】＋5＝0， ∴【x】＝， ∴x−1＜≤x， 解得：−8＜x≤−5， ∵【x】是整数， 设4x＋5＝3n（n是整数）， ∴x＝， ∴−8＜≤−5， 解得：−9＜n≤−5， ∵n是整数， ∴n为−8，−7，−6，−5， ∴当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据题意得：−4≤＜−3， 解得：7＜x≤， 则满足条件的x的取值范围为：7＜x≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 1．（2024·浙江宁波·一模）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x⊕y=1，x⊕2y=﹣2，分别求出x和y的值； （2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围． 【答案】（1） ；（2）x的取值范围是﹣2＜x≤ 【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解； （2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得：； （2）根据题意得：，解得：﹣2＜x≤． 故x的取值范围是﹣2＜x≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3， ＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，… 试解决下列问题： (1)＜π＋2.4＞＝　 （π为圆周率）； (2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围； (3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围． 【答案】(1)6 (2)4.5≤x＜5.5 (3)x=，，4，， 【分析】（1）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值； （2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围； （3）利用＜x＞，设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：＜π+2.4＞＝6； 故答案为：6， （2）解：∵＜x﹣1＞＝4， ∴3.5≤x﹣1＜4.5， ∴4.5≤x＜5.5； ∴x的取值范围为：4.5≤x＜5.5； （3）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，则x=k， ∴<k＞＝k﹣1， ∴， ∴<k≤， ∴k＝3，4，5，6，7， 则x=，，4，，． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【答案】(1)3， (2)，， (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键 （1）由题意知，，，计算求解即可； （2）由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴满足条件的所有整数x为，，； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， 由题意知，表示不大于a的最大整数， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（   ） A．23名 B．25名 C．19名 D．20名 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 设有x人．则买团体票需要的钱数是，买单人票需要的钱数是购买单人票比选择购买团体票更划算列出不等式求解即可． 【详解】解：设有x人．则，解得：， 所以他们至少有19名． 故选C． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 的取值范围是． 故选：C． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）番茄是我们常见的一种蔬菜，取5个大小均等的番茄放在同一简易天平秤，如图，则一个番茄的重量大约是（    ）    A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】B 【分析】设每个番茄重，可得不等式组，根据求解结果可得此题结果． 【详解】解：设每个番茄重， 可得不等式组：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式组的应用能力，关键是能准确理解题意设未知数列出不等式组并正确求解． 4．（2025·湖南·一模）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用；由新定义得，即可判断；当时，由新定义即可判断；由新定义得，即可判断； 由，为非负整数时，不影响四舍五入，即可判断；当，时，即可判断；理解新定义是解题的关键． 【详解】解：， ， 故此项正确； 当时， ， ， ， 故此选项错误； ， ， 解得：； 故此项正确； ，为非负整数时，不影响四舍五入， ， 故此项正确； 当，时， ， ， ， 故此项错误； 故选：B． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一次“青年大学习”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个答案是对的，要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或错选扣2分，如果小明在本次竞赛中，得分不低于80分，那么他至少选对 道． 【答案】22 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，理解题意列出不等式是解题的关键．根据题意设小明选对了道题，则不选或选错道题，列出不等式求出，再根据为正整数，即可得到答案． 【详解】设小明选对了道题，则不选或选错道题， 依题意得， 解得， 又因为为正整数， 所以的最小值为22， 即小明至少选对22道题． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键．若设有x人，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；苹果的总数即为个，再根据每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果列出不等式组即可． 【详解】解：若设有x人， 根据题意可列不等式组为：， 故答案为： 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表： 月用电量 电费价格／［元／ 0.48 0.52 0.78 七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过元，则李叔家七月份最多可用电_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 先判断出电费是否超过度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过元，列不等式计算即可． 【详解】解：（元）， 李叔家七月份用电量不超过， 设李叔家七月份最用电， 依据题意可得， ， 解得，， 故李叔家七月份最多可用电， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，用长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形菜园，则长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意、列出相应的不等式组是解答本题的关键． 根据题意和相关数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设的长为x米， 由题意可得，， 解得：． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的的值或取值范围是 ． 【答案】0＜≤或x=2． 【分析】由题意可得当0＜x≤△AQM是直角三角形，当 ＜x＜2时△AQM是锐角三角形，当x=2时，△AQM是直角三角形，当2＜x＜3时△AQM是钝角三角形． 【详解】解：当点P在AB上时，点Q在AD上时，此时△APQ为直角三角形，则0＜x≤； 当点P在BC上时，点Q在AD上时，此时△APQ为锐角三角形，则＜x＜2； 当点P在C处，此时点Q在D处，此时△APQ为直角三角形，则x=2时； 当点P在CD上时，点Q在DC上时，此时△APQ为钝角三角形，则2＜x＜3． 故答案是：0＜x≤或x=2． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和列代数式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，还要熟练掌握三角形形状的判断，此题难度一般． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 【答案】(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是 (2)之后每天至少需要改造地下管网 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网，根据题意列出方程进行计算即可得到答案； （2）设之后每天改造地下管网．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． ． 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是； （2）解：设之后每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． 故之后每天至少需要改造地下管网． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元． 由题意，得 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱． 由题意，得 解得． 因为m为正整数，所以m可取40，41，42． 故该商店有三种进货方案： ①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱． 13．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）双龙山位于河南偃师市南部，属于免费景区，这里有古老的寺庙、茂密的森林、清澈的溪流和绚烂的野花，是户外旅行者的乌托邦．景区某纪念品专卖店看准商机决定购进，两种纪念品进行销售，已知每个种纪念品的进价比种纪念品贵10元，用320元购进种纪念品的数量和用240元购进种纪念品的数量相同． (1)求，两种纪念品每个的进价． (2)已知种纪念品的售价为每个55元，种纪念品的售价为每个40元，该纪念品专卖店决定购进这两种纪念品共80个，且用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元，若，两种纪念品全部卖完，那么该纪念品专卖店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)种纪念品的进价是每个40元，种纪念品的进价是每个30元 (2)购进种纪念品45个，购进种纪念品35个，才能获利最大，最大利润是1025元 【分析】本题主要考查分式方程解实际应用以及一元一次不等式解实际应用，熟练掌握题意是解题的关键． （1）设种纪念品的进价为每个元，则种纪念品的进价为每个元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设购进种纪念品个，该纪念品专卖店获利元，则购进种纪念品个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种纪念品的进价为每个元，则种纪念品的进价为每个元． 根据题意，得， 解得． 检验：是原分式方程的解． ． 种纪念品的进价是每个40元，种纪念品的进价是每个30元 （2）解：设购进种纪念品个，该纪念品专卖店获利元，则购进种纪念品个． 用于购买这80个纪念品的资金不超过2850元， ， 解得． 根据题意，得． ， 随的增大而增大． 当时，取最大值，最大值为． 此时． 购进种纪念品45个，购进种纪念品35个，才能获利最大，最大利润是1025元． 14．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元， 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过千瓦时 超过千瓦时但不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 (1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元； (2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费； (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？ 【答案】(1) (2)元 (3)不超过千瓦时 【分析】（）根据用电量不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦列式计算即可； （）据题意列出方程求出的值，再列代数式表示即可； （）设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，根据电费的阶梯价格列不等式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴交电费元， 故答案为； （2）解：由题意得，， 解得， 即超过千瓦时候不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦时， ∴当一户居民某月用电量超过千瓦时，这户居民应交的电费为元； （3）解：设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元， 当时，由题意可知，其当月的平均电价每千瓦时均不超过元； 当时，由题意得，， 解得， ∴居民一月用电不超过千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，根据题意正确列式是解题的关键． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）学校装修录播教室需用A型板材120块，B型板材90块，A型板材规格是的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的剪裁示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 2 m n 若所购的保准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用． （1）上表示，m= ，n= ． （2）用含有x的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； （3）所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时x的值；若不能，请说出理由． 【答案】（1）0，3；（2）60-x，30-x；（3）所购标准板材的总张数能为82张，此时x的值是48 【分析】（1）根据标准板材的规格和A型、B型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，根据共需用A型板材120块、B型板材90块，可得x+2y=120，2x+3z=90，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材82张列方程求解即可． 【详解】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150-120=30，所以无法裁出B型板， 按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150， 而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板； ∴m=0，n=3； （2）设按裁法二裁y张、按裁法三裁z张． ∵共需用A型板材120块、B型板材90块， ∴x+2y=120，2x+3z=90， ∴y=60-x，z=30-x， 故答案为：60-x，30-x； （3）由题意，得x+60-x+30-x=82， 解得x=48． 故所购标准板材的总张数能为82张，此时x的值是48． 【点睛】本题重点考查了列代数式，以及一元一次方程的应用问题，在做题时要明确所裁出A型板材和B型板材的总长度不能超过150cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$