专题05 一元一次不等式（组）56道含参问题专训（7大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题05 一元一次不等式（组）56道含参问题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型五 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型六 一元一次不等式组中整数解个数问题 题型七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求不等式的解集，先求出方程的解，根据方程的解是非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若满足，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求不等式的解集，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组和不等式的方法．先根据非负数的性质得出，求出，根据，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的方程的解为，试判断，0，1，2，3这5个数中哪些数是关于x的不等式的解． 【答案】这5个数中是该不等式的解的有0， 【分析】该题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是求出m的值． 先把代入方程求出m的值，再把m的值代入不等式求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【详解】解：把代入中，解得：． 把代入不等式，得． 解得：， 所以这5个数中是该不等式的解的有0，． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解不等式． （1）先解关于x的一元一次方程，再根据解是正数，解不等式即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据解不大于2，解不等式即可． 【详解】（1）解： ； 方程解是正数， ， ； （2）解：由（1）知； 方程解不大于2， ， ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，能根据新运算得出方程组是解此题的关键． （1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可； （2）根据已知新运算得出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， 故． （2）解：由（1），得． 依题意，得， 解得． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，表示大于的最小整数，例如： ，． (1)填空：______， ， ； (2)若都是整数，且和互为相反数，求代数式的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)9，，1 (2)3 (3)或 【分析】本题考查了代数式求值、相反数、解绝对值方程、一元一次不等式组的解，利用换元法将替换为是解题关键． （1）根据、的定义即可得； （2）先根据、的定义可得 ，再根据相反数的定义可得，从而可得，然后代入求值即可得； （3）设，则，则可得到，再分，，三种情况，分别解绝对值方程求出k的值，然后根据、的定义即可得． 【详解】（1），， ， 故答案为：9，，1； （2）因为为整数，所以 ． 又因为 和 互为相反数， 则 ，即 ． 故； （3）解：设，则， ∴ ①当时，原方程可化为，解得， ②当时，原方程可化为 ，无解， ③当时，原方程可化为，解得， 即或， 综上，的取值范围是或． 8．（23-24七年级下·北京海淀·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． (1)求不等式的解集． (2)若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． (3)若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，利用二阶行列式来进行解答； （1）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集即可得出答案， （2）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中的不等式解集即可求出求的值； （3）根据二阶行列式的计算法则得出不等式得解集结合（1）中得不等式解即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：． （2）解：，即， 解得：， 解集与（1）中的不等式解集相同， 解得． （3）解：，即， 解得， 不等式的解都是（1）中的不等式的解， 解得． 【经典例题二 一元一次不等式中整数解个数问题】 9．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 10．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求出整数m的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的计算方法是解题的关键． （1）根据题意计算得出，根据x为非正数，y为负数即可计算出m的取值范围； （2）根据题意求出，即可得出整数m的值． 【详解】（1）解：解方程组得：． ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 又， 的取值范围是， 又是整数， 的值为，． 11．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知关于的方程组的解中，为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)当取哪些整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）求出二元一次方程组的解，根据为非负数，求出的取值范围即可； （）根据不等式的解集及不等式的性质可得，得到，再结合（）得到的取值范围，根据的取值范围即可得到的整数解； 本题考查了二元一次方程组的解，不等式的整数解，正确求出二元一次方程组的解及掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程组得， 为非负数， ， 解得， 为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：不等式的解集为， ， ， 由（）知，， ， 可取的整数为． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知关于y的方程的解是负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最小整数时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得， 关于的方程的解是负数， ，即， 解得． （2）解：，且取最小整数， ， 代入得：， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键． 13．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）对于两个不等式，若有个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“级关联”． (1)不等式和是“ 级关联”，请说明理由； (2)若不等式和 是“级关联”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义：两个不等式是“级关联”，解题的关键是掌握不等式的性质和理解题意． （1）先分别解出两个不等式，再表示出两个不等式的解集即可求解； （2）先分别解出两个不等式，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：由可得：， 由得：， 两个不等式的解集为， 有整数、、三个相同的整数使这两个不等式同时成立， 不等式和是“级关联”， 故答案为：； （2）由得， 由得：， 两个不等式的解集为， 不等式和 是“级关联”， ， ． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． (1)若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； (2)若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 【答案】(1) (2)，或，或，或，． 【分析】（1）将A、B两个不等式解出，根据同解不等式的定义，即可列方程解答； （2）将C、D两个不等式解出，根据同解不等式的定义，可列方程，求出，再根据m，n是整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式A，得：， 解不等式B，得：． ∵不等式A与不等式B是同解不等式， ∴， 解得：； （2）解：解不等式C，得：， 解不等式D，得：． ∵不等式C与不等式D是同解不等式， ∴， ∴． ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，． 【点睛】本题考查不等式的性质，解不等式，理解同解不等式的定义是解题的关键． 15．（2024九年级·全国·专题练习）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)首先解方程组，根据方程组的解满足x为非正数，y为负数，可得不等式组，解不等式组即可求得m的范围； (2)根据(1)中m的取值范围，化简绝对值，合并同类项即可求解； (3)根据不等式的解集是，可得，即可得到m的取值范围，进而求得m的值． 【详解】（1）解： 由，解得， 由，解得， ，， 解得， 故m的取值范围为； （2）解：， ，， （3）解：将不等式整理， 得． ， ， ， ， 为整数， ． 【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，化简绝对值，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，理解题意，利用不等式或不等式组解决问题是关键． 16．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）定义一种对整数n的“F”运算：，以表示对整数n进行k次“F”运算．例如，表示对2进行2次“F”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若n为偶数，且的运算结果为4，求n的值． (3)若n为奇数，且，，直接写出n的值． 【答案】(1)8 (2)6或32 (3)或或 【分析】（1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可； （2）根据是偶数，可得，然后分为奇数和为偶数两种情况分别求解即可； （3）根据“”运算法则表示出，，然后求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得，； （2）∵是偶数， ∴， 若为奇数，则，令，解得； 若为偶数，则，令，解得． 故的值是6或32； （3）∵n为奇数， ∴，解得， ∵是偶数， ∴， 若为奇数，， 解得； 若为偶数， 解得，应舍去， 综上所述， ∵n是奇数， ∴或或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 17．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）已知：代数式的值不小于代数式与1的差，求x的最大值． 【答案】最大值为4． 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，解题的关键是能根据题意得出一元一次不等式．根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得． 故的最大值为：4． 18．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求的最大值和最小值． 【答案】当时，有最大值为4，；当时，有最小值为． 【分析】解一元一次不等式得到未知数的取值范围，再根据未知数范围化简绝对值，即可求出答案． 【详解】解：不等式的解是， 当时，化简得， ∴； 当时，化简得， ． 故当时， 的最大值是；当时，的最小值是． 【点睛】本题主要考查利用一元一次不等式的取值范围化简绝对值．理解和掌握不等式性质，化简绝对值方法是解题的关键． 19．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 20．（23-24七年级下·山东烟台·阶段练习）已知是不等式的一个解，如果m是整数，求m的最大值． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的整数解．根据不等式的解满足不等式，将代入不等式，求出的取值范围，进而求出m的最大值整数值即可． 【详解】解：把代入不等式，得：， ∴， ∴， ∴m的最大整数值为． 21．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x，y的方程组的解x与y满足条件，求的最大值． 【答案】的最大值为8 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，利用加减消元法得到，由得出关于m的不等式，解之可得m的取值，得出m的最大值代入求解，即可求得结果． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ， 则的最大值为． 22．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，且． (1)求的取值范围； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)x≥1； (2)m的最大值为7． 【分析】（1）由2x+y=3知y=-2x+3，依据x≥y得x≥-2x+3，解之可得； （2）将y=-2x+3代入m=3x+4y得m=-5x+12，结合x≥1可得答案． 【详解】（1）解：∵2x+y=3， ∴y=-2x+3 ∵x≥y， ∴x≥-2x+3， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1； （2）解：∵y=-2x+3， ∴m=3x+4y =3x+4（-2x+3） =3x-8x+12 =-5x+12， ∵x≥1， ∴-5x≤-5， 则-5x+12≤7， 即m的最大值为7． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，则满足条件的的最大值是多少？ (2)若方程组的解满足是非正数，是正数，化解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，一元一次不等式组，化简绝对值； （1）根据加减消元法得出，根据题意得出，解得，进而即可求解； （2）根据加减消元法求得方程组的解为，根据题意列出不等式组，进而求得的范围，并化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解： ①+②得 ∴ ∵， ∴ 解得： ∴满足条件的的最大值是； （2）解： 得， 解得： 把代入①得，， 解得： ∴ ∵是非正数，是正数， ∴ 解得： ∴ ∴ 24．（23-24七年级下·福建泉州·期末）甲乙两家商店同时销售某种品牌的运动鞋各80双，每双运动鞋的进价为220元，标价为300元． (1)按标价销售，每双运动鞋的利润是多少元？ (2)甲店接标价卖出m双后，剩余的接标价打八折全部售出；乙店同样接标价卖出m双后，将n双按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①请用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，求乙店卖完这批鞋获得利润的最大值． 【答案】(1)按标价销售，每双运动鞋的利润是80元 (2)①；②乙店卖完这批鞋获得利润的最大值为3160元 【分析】对于（1），根据售价-进价=利润得出答案即可； 对于（2）①，先分别表示出甲，乙两个店地销售利润，再根据利润相等列出方程，然后用含有m的代数式表示n即可； 对于②，由题意得，再根据①中的关系式，求出m的取值范围，进而得出m的最大值，即可求出答案． 【详解】（1）（元． 答：按标价销售，每双运动鞋的利润是80元； （2）①根据题意，可知：甲店的销售利润为元， 乙店的销售利润为元， 甲、乙两店的利润相同， ， ． ②依题意得：， 即， 解得：， 又为正整数， 的最大值为26． 按标价销售的数量越多获得的利润越多， 当时，甲店卖完这批鞋获得的利润最大，最大值为（元）， 甲、乙两店的利润相同， 乙店卖完这批鞋获得利润的最大值为3160元． 答：乙店卖完这批鞋获得利润的最大值为3160元． 【点睛】本题主要考查了根据利润问题列代数式，求最大利润等，掌握利润的计算方法是解题的关键． 【经典例题四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）从，，0，1，2这5个数中，选一个数a，使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程的解为负数，求所有满足条件的a的值的和． 【答案】0 【分析】先解不等式组，根据不等式组有解得到，再解一元一次方程，根据方程的解为负数得到，进而得到 ，则a的值可以为，0，1，即可求出所有满足条件的a的值的和为0． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵方程的解为负数， ∴， ∴； 综上所述， ， ∴a的值可以为，0，1， ∵， ∴所有满足条件的a的值的和为0． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，正确根据不等式组的解集情况和一元一次方程解的情况求出a的取值范围是解题的关键． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，已知不等式组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，列出不等式组．先解不等式组得出，，再根据两个不等式组有解，得出，再求出，根据不等式组D对于不等式组C“中点包含”，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组得， 解不等式组得， ∴， 解得：， ∴， 不等式组C的“解集中点值”为， ∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ， 解得， 又， 的取值范围为． 27．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可； （2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得 ， 因为该不等式组有且只有4个整数解， 所以， 所以，整数解为， 所以， 解得， 所以满足条件的整数a的值为； （2）解：因为该不等式组有解， 所以， 所以． 因为解集中的任何一个x值均不在的范围内， 所以， 解得， 所以a的取值范围为． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)时，原不等式的解集是；时，原不等式的解集是 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入原不等式，得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：∵， ∴， ∴． 当，即时，原不等式有解； 当，即时，原不等式的解集是； 当，即时，原不等式的解集是． 29．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)不等式组无解 (3) 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再代入m的值利用夹逼原则求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求出两个不等式的解集，再根据该不等式组有解，但无整数解，列出关于m的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组无解； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式有解，但没有整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集，然后利用夹逼原则求出不等式组的解集是解题的关键． 30．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读理解，并解决问题： 若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①． (1)填空： ， ， ； (2)利用题中不等式①，求出满足的所有解． 【答案】(1)4，， (2)或 【分析】本题考查了新定义下的解一元一次不等式组， 根据新定义即可求得对应的答案； 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：4，，； （2）解：依题意，得， 解得， ，， 是整数，即是整数， 或， 解得或． 的所有解为或． 31．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键． （1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可； （2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围； （3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答． 【详解】（1）解关于x的方程，得， 解方程，得. ∵关于x的方程和方程是“活力方程”， ∴， 解得或． （2）解：解关于x的不等式组得， a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解 ，， ， ． （3）解：方程的解是，关于x的方程的解是， ∵方程是若关于x的方程的“领先方程”， ∴或，即或， ∵关于x的不等式组有解且均为非负解， ∴，且， ∴． 综上所述，． 解得， ∴， 解得． 32．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)19 (3) 【分析】（1）分别求出四个选项中不等式（组）的解集，再根据“包含”关系的定义逐一判断即可； （2）根据题意可得，解得，再根据已知条件推出，由此即可得到答案； （3）先解方程组得到，再由，，求出，再根据P、Q之间的包含关系求出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：A、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 B、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 C、不等式的解集为， ∴不等式能被不等式“包含”，符合题意 D、不等式组无解， ∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意 故选C； （2）解：关于x的不等式被“包含”， ∴ 解得 ，    又∵， 解得． ∴， ∵， ∴ ， ∴M的最小值是19． （3）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解得， ∵k为整数， ∴k的值为，0，1，2； 不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ， ∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含” ∴不等式P：的解集为 ， ∴，且， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），正确理解题意是解题的关键． 【经典例题五 根据一元一次不等式组无解的情况】 33．（2024·湖南益阳·一模）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式得解集，再根据不等式组无解得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解得： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式组无解的问题，正确求出两个不等式得解集是解题的关键． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． （1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可； （2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解， ， 解得： （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集， 又∵不等式组有且只有5个整数解， ， 解得， 故答案为：． 35．（23-24七年级下·山东临沂·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法及无解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组无解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)小颖填写的数字为6． (2)小明的说法错误，理由见解析 【详解】解：（1）设小颖填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小颖填写的数字为6． （2）小明的说法错误，理由如下： 设在“□”中填入的数字为m， 由（1）可得，不等式组的解集为 ∵该一元一次不等式组无解， ∴，解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于，故小明的说法错误． 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围： （1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可； （2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可． 【详解】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等组①得 解不等式组②得无解． ∴原不等式的解集是 （2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或 解不等式组①得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 38．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)若关于的方程，满足，求的取值范围； (3)若关于的方程组无解，求的取值范围． 【答案】(1)3；9 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义求值即可； （2）根据新定义列不等式计算即可； （3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求的取值范围． 【详解】（1）∵3＞-1， ∴ ∵9＞6， ∴ （2）∵ ∴ 解得 （3）由可得： 解得 由可得： 解得： ∵关于的方程组无解， 即无解 ∴ 解得： 【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键． 39．（23-24七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【答案】(1)③④ (2) (3)当或时，不等式被覆盖 【分析】本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当或时，不等式被覆盖． 40．（23-24七年级下·北京房山·期末）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 李阳在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②． 解不等式组①得， 解不等式组②得不等式组无解， 所以原不等式的解集为． 请你参考李阳思考问题的方法，解分式不等式． 【答案】x＞2或x≤ 【分析】先根据有理数的除法法则得出①或②，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①得x＞2， 解不等式组②：x≤， 所以原不等式的解集为x＞2或x≤． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【经典例题六 一元一次不等式中整数解个数问题】 41．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数，正确理解不等式组有且只有三个整数解的含义是解题的关键．先解不等式组得，再根据不等式组有且只有三个整数解，可知整数解只能是2，3，4，所以，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 依题意，得不等式组的解集为， 又因为该不等式组有且只有三个整数解， 所以整数解只能是2，3，4， 所以， 所以的最大值为5． 42．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为3，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集在数轴上表示出来，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，在数轴上表示出来后，求出整数解再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 解集表示在数轴上如图： 故所有整数解的和为． 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）（1）解方程组： （2）解不等式： （3）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】（1）；（2）；（3）不等式组的解集为，整数解为： 【分析】本题考查解二元一次方程组、一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式组的解集、解一元一次不等式（组），解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （3）分别计算出两个不等式的解集，根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出解集范围内的整数即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得，， 解得，， 将代入②得，， ∴方程组的解为； （2）， ， ， ， ； （3）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 整数解为： 45．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 46．（23-24七年级下·广东珠海·期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：（其中ab≠0）． (1)若已知，，则 ； (2)已知，，求a，b的值； (3)在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组． （1）根据新定义就是即可； （2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； （3）由（2）化简得的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）根据题中的新定义得： 解得： （3）由（2）化简得： ∴ 解得 解得 不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为：1和2 解得 47．（23-24七年级下·北京房山·期中）对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查定义新运算，由不等式组的解集的情况求参数的范围，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则，是解题的关键； （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据，求出的值，进而确定x的不等式组，求解后根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，求解即可； （3）分，三种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴关于x的不等式组转化为：， 解得：， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴，整数解为：1，2，3，4， ∴， ∴； （3）， 当时，则：，解得：（舍去）； 当时，则：，解得：； 当时，则：，解得：（舍去）； 故． 48．（23-24七年级下·四川眉山·期中）小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫做绝对值不等式．试求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值为，并在数轴上表示为点、，如图所示：    观察数轴发现，以点、为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于；点、之间的点（不包括点、）表示的数的绝对值小于；点右边的点表示的数的绝对值大于．因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参数问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得； （2）将的数字因数化为后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出只能取和两个整数，所以，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：的解集是或， 故答案为：或； （2）解： 当时， ， 当时，， 解得： ∴的解集是； （3）由(2)得， 整数解为：、， 解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， 不等式组的解集为：， ∵、是不等式组的解， ∴， 解得：． 【经典例题七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题】 49．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解都为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组及不等式组； （1）先解方程组，然后根据解都为非负数列不等式组解答即可； （2）由可得，则，结合即可求解． 灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：因为关于x、y的方程组的解都为非负数， 解得：， ， 解得：； （2）由，可得：， ， ， ， ， 即． 50．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用，理解题意，熟练的建立不等式组解题是关键； （1）先解方程组得到，利用为非正数，为负数，建立不等式组解题即可； （2）把不等式整理为，再结合不等式的解集与（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∵， ∴， ∴的取值范围为． （2）∵ ∴． ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 又∵， ∴． 又∵是整数， ∴． 51．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，关于z的不等式的解为． 【答案】(1) (2)m的整数值为： ； 【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得； （2）先根据不等式的性质得出，解得，结合以上求出m的范围可得答案． 【详解】（1）解：解方程组得： 由题意知， 解得：； （2）解：由得：， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（1）得：， 则， ∴m的整数值为： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 52．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 53．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． 54．（23-24七年级下·北京昌平·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求m，n的值； ②若关于p的不等式组恰好有2个整数解，求a的取值范围； (2)当时，对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 【答案】(1)①；②； (2)m=2n ． 【分析】（1）①由题意可以得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组可以得到解答； ②由题意可得关于p的不等式，再根据不等式的整数解情况可以得到关于a的不等式，然后可得a的取值范围； （2）由题意可以得到包含m、n、x、y的等式，然后根据已知条件可以得到m，n满足的关系式． 【详解】（1）①由题意可得：，解之可得：， ②由题意可得：， 把m、n的值代入并整理可得：， ∵恰好有2个整数解， ∴， 解得：， （2）由题意可得：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x）， 整理可得：（m-2n）（x2-y2）=0， ∵当时，对任意有理数x，y都成立， ∴m-2n=0， ∴m=2n． 【点睛】本题考查不等式组和方程组的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、新定义下的实数运算求解方法、根据不等式组的解集求参数的方法、整式的混合运算方法是解题关键． 55．（23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2)3 (3) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 【点睛】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组． 56．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2），，；（3） 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组、含参数的一元一次不等式组，（1）由王磊解决的思路可得，把整体代入求解即可； （2）由王磊解决的思路可得，先利用加减消元法求得，，再代入求a得值即可； （3）由，得，，再由得，，把代入不等式求解即可． 【详解】解：（1）， 将可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：5； （2）， 将，，得， 由得：， ∵， ∴， 由得，， 解得， 把代入⑤得，， 解得， 把，代入⑦得，， 解得； （3）， 由，得，， 由得，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次不等式（组）56道含参问题专训（7大题型） 【题型目录】 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型五 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型六 一元一次不等式组中整数解个数问题 题型七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若满足，且，求的取值范围． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的方程的解为，试判断，0，1，2，3这5个数中哪些数是关于x的不等式的解． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意实数，规定（为常数）．已知． (1)求的值； (2)已知是实数，若，求的取值范围． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，表示大于的最小整数，例如： ，． (1)填空：______， ， ； (2)若都是整数，且和互为相反数，求代数式的值； (3)若，求的取值范围． 8．（23-24七年级下·北京海淀·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． (1)求不等式的解集． (2)若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． (3)若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围． 【经典例题二 一元一次不等式中整数解个数问题】 9．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 10．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求出整数m的值． 11．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知关于的方程组的解中，为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)当取哪些整数时，不等式的解集为？ 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知关于y的方程的解是负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最小整数时，解关于x的不等式． 13．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）对于两个不等式，若有个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“级关联”． (1)不等式和是“ 级关联”，请说明理由； (2)若不等式和 是“级关联”，求的取值范围． 14．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． (1)若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； (2)若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 15．（2024九年级·全国·专题练习）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 16．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）定义一种对整数n的“F”运算：，以表示对整数n进行k次“F”运算．例如，表示对2进行2次“F”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若n为偶数，且的运算结果为4，求n的值． (3)若n为奇数，且，，直接写出n的值． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 17．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）已知：代数式的值不小于代数式与1的差，求x的最大值． 18．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求的最大值和最小值． 19．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 20．（23-24七年级下·山东烟台·阶段练习）已知是不等式的一个解，如果m是整数，求m的最大值． 21．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x，y的方程组的解x与y满足条件，求的最大值． 22．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，且． (1)求的取值范围； (2)若，求的最大值． 23．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）若关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，则满足条件的的最大值是多少？ (2)若方程组的解满足是非正数，是正数，化解． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期末）甲乙两家商店同时销售某种品牌的运动鞋各80双，每双运动鞋的进价为220元，标价为300元． (1)按标价销售，每双运动鞋的利润是多少元？ (2)甲店接标价卖出m双后，剩余的接标价打八折全部售出；乙店同样接标价卖出m双后，将n双按标价打九折售出，再将剩余的按标价打七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①请用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，求乙店卖完这批鞋获得利润的最大值． 【经典例题四 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）从，，0，1，2这5个数中，选一个数a，使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程的解为负数，求所有满足条件的a的值的和． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 27．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)a符合什么条件时，该不等式有解，并求出其解集（用含a的式子表示）． 29．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 30．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读理解，并解决问题： 若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，等．是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式--------①． (1)填空： ， ， ； (2)利用题中不等式①，求出满足的所有解． 31．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 32．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【经典例题五 根据一元一次不等式组无解的情况】 33．（2024·湖南益阳·一模）已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 35．（23-24七年级下·山东临沂·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 36．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 37．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ． 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ② 解①，得无解，解②，得 ． 所以原不等式的解集是 ． 请仿照上述方法解下列分式不等式： (1) (2) 38．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）定义一种新运算，规定：当时，；当时，；当时，． (1)______，______； (2)若关于的方程，满足，求的取值范围； (3)若关于的方程组无解，求的取值范围． 39．（23-24七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； (2)若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； (3)若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 40．（23-24七年级下·北京房山·期末）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 李阳在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②． 解不等式组①得， 解不等式组②得不等式组无解， 所以原不等式的解集为． 请你参考李阳思考问题的方法，解分式不等式． 【经典例题六 一元一次不等式中整数解个数问题】 41．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 42．（2024七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 43．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 44．（23-24七年级下·河北保定·期末）（1）解方程组： （2）解不等式： （3）解不等式组：，并写出所有整数解． 45．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 46．（23-24七年级下·广东珠海·期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：（其中ab≠0）． (1)若已知，，则 ； (2)已知，，求a，b的值； (3)在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组恰好有2个整数解，求m的取值范围． 47．（23-24七年级下·北京房山·期中）对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 48．（23-24七年级下·四川眉山·期中）小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫做绝对值不等式．试求绝对值不等式的解集． 小明的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值为，并在数轴上表示为点、，如图所示：    观察数轴发现，以点、为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于；点、之间的点（不包括点、）表示的数的绝对值小于；点右边的点表示的数的绝对值大于．因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【经典例题七 求参数不等式（组）与方程综合求参问题】 49．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解都为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； 50．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知关于x，y的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围． (2)当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 51．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于x、y的方程组的解满足x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)当m为何整数时，关于z的不等式的解为． 52．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 53．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 54．（23-24七年级下·北京昌平·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求m，n的值； ②若关于p的不等式组恰好有2个整数解，求a的取值范围； (2)当时，对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式． 55．（23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 56．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$