专题07 一元一次不等式（组）60道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题07 一元一次不等式（组）60道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式的解集压轴题型 题型二 一元一次不等式的整数解压轴题型 题型三 一元一次不等式（组）的解集压轴题型 题型四 一元一次不等式（组）的整数解压轴题型 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 不等式最值的问题 题型七 解特殊的不等式（组）问题 题型八 一元一次不等式组的实际应用 题型九 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴题型】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式，求出该不等式的解集，并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再将不等式的解集在数轴上表示出来即可得． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示不等式的解集如下： ． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简再求值：化简，其中为不等式的整数解，选择一个合适的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查分式的化简求值、不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先算除法，再算减法，然后根据为不等式的整数解，选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 为不等式的整数解，，，， ， 当时，原式． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解不等式． （1）先解关于x的一元一次方程，再根据解是正数，解不等式即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据解不大于2，解不等式即可． 【详解】（1）解： ； 方程解是正数， ， ； （2）解：由（1）知； 方程解不大于2， ， ． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）定义关于的一种运算：，如． (1)若，求的取值范围． (2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解； 本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． （1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解； （3）根据（2）的结论，得出不等式组，解不等式组得出，然后计算，即可求解． 【详解】（1）解：联立 解得： 代入得， 解得：； （2）解： 得， 解得： 将代入①得 ∴ ∵ ∴ 解得：， ∴，， ∴ ； （3）由（2）可得 ∵，， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴题型】 7．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 8．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如：．求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3 【分析】本题主要考查了实数范围内新的运算、求一元一次不等式的整数解等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据新定义运算列出关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴不等式的正整数解为1，2，3． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 【答案】（1），最小整数解为3；（2） 【分析】本题主要考查解不等式及解不等式组； （1）先去分母，移项，系数化为1即可求出不等式的解集，再取其最小整数解即可； （2）分别根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出每个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解：（1） ， ∴最小整数解为3； （2） 整理①得， 解得， 整理②得， 解得：； ∴． 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 【答案】(1) (2)最小整数解为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及求一元一次不等式的整数解． （1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值 （2）根据方程组的解满足方程和，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值，代入一元一次不等式，解不等式即可得出最小整数解． 【详解】（1）解：∵方程组的解和方程组的解相同． ∴， 由②①得： ， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）把分别代入和， 可得方程组 解得 ∴ 即， ∴， ∴最小整数解为1． 11．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先求出方程的解，再根据，求出a的取值范围即可； （2）求出的最大整数解，代入方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：； （2）解，得： ∴不等式的最大整数解为， ∴当时，，解得：． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）若规定m，n两数之间满足一种运算． 记作，若 ，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为．所以 (1)根据上述规定要求, 请完成填空： ， ， ； (2)计算（ ）， 并写出计算过程； (3)在正整数指数幕的范围内，若( 只有两个正整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)3；4； 2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，根据不等式的解集情况求参数： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法的法则，结合定义计算. （3）设，，则，，进而求出，则，根据，得到，则，再由只有两个正整数解，得到，即。 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵. ∴； 故答案为3；4；2； （2）解：设，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：。 （3）解：设，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵只有两个正整数解， ∴， ∴。 【经典例题三 一元一次不等式（组）的解集压轴题型】 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 14．（2025·江西九江·模拟预测）（1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法． （1）分别计算平方、绝对值和零指数幂，然后进行加减计算即可； （2）分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得：， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （3）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解: ， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （3）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．解两个不等式得出且，根据不等式组的解集为得，解之可得答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 则， 所以． 17．（24-25七年级下·湖南常德·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 【答案】图形见解析，不等式组的非负整数解为：、 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解答本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集即可解答． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集如下： 不等式组的解集为：， 不等式组的非负整数解为：、． 18．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 【经典例题四 一元一次不等式（组）的整数解压轴题型】 19．（24-25七年级下·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 20．（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 【答案】三边的长分别为 【分析】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：∵满足关系式， ∴， ∴． ∵不等式组的解集是， ∴最大整数解是5， ∴5． 故三边的长分别为． 21．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 22．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 24．（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集表示见解析 (2)，解集表示见解析 (3)，解集表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示解集； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （3）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； 掌握解一元一次不等式的步骤，并会在数轴上表示解集是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在数轴上，点A，B分别表示数1，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数的点应落在______，请说明理由． A．点A的左边    B．线段上    C．点B的右边 【答案】(1) (2)B，理由见解析 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，用数轴比较有理数大小，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据不等式的性质可得，从而可得数轴上表示数的点在点A的右边，然后利用作差法比较大小可得，从而可得数轴上表示数的点在点B的左边，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得， 解得， 即的取值范围为． （2）解：B，理由如下： 由（1），得，所以， 所以，即， 所以数轴上表示数的点在点的右边． 作差，得． 由，得，所以， 所以， 所以， 所以数轴上表示数的点在点的左边． 综上所述，数轴上表示数的点应落在线段上． 27．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 28．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：①因为，，，，所以连动数的是，2.5， ②因为，，，，， 所以连动数的是，2.5， 故答案为①，2.5；②，2.5， （2）解：解关于的方程得，， 关于的方程的解满足是连动数， 或， 解得或； 故答案为或； （3）解： 由①得，； 由②得，， 不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时， 四个连动整数解为，，1，2， ， 的取值范围是． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查利用数轴解绝对值不等式，解题的关键是理解题意，根据题目中，解题的方法，进行解答，学会数形结合解题，即可． （1）根据绝对值不等式的解集为或，进行解答，即可； （2）先化简，则，再根据小明解法，即可． 【详解】（1）∵绝对值不等式的解集为或 ∴数轴如下： ∴的解集为：或； 数轴如下： ∴的解集为：． 故答案为：或；． （2）∵， 移项得：， 系数化为得：， ∴的解集表示为：或， ∴的解集为：或． 30．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【经典例题六 不等式最值的问题】 31．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 【答案】33 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的整数解为4， 3， 2， ∴， 解得且， ∴， ∴整数a的最小值为33． 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的． (1)请判断不等式和是否是“互联”的，并说明理由； (2)若和是“互联”的，求a的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)最大值为4 【分析】本题考查了解不等式组问题，解题的关键是理解“互联”不等式的概念； （1）利用“互联”不等式的定义进行判断即可； （2）解得，根据和是“互联”的得出进行计算即可． 【详解】（1）是．理由如下： ． ． ∵有且仅有时，这两个不等式同时成立， ∴不等式和是“互联”的． （2）， ． 和是“互联”的， ，且， ，且， 的最大值为4． 33．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 34．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”．例如不等式和不等式是“共联”的，联点为2． (1)不等式和是“共联”的，联点为 ﹔ (2)若和是“共联”的，则a的最大值为 ； (3)若不等式和是“共联”的，直接写出b的取值范围为 ； 【答案】(1)2 (2)4 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解新定义，是解题的关键． （1）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可； （2）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可； （3）先求出不等式的解集，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵不等式和是“共联”的， ∴联点为2； 故答案为：2 （2）∵， ∴， ∵和是“共联”的， ∴联点为1， ∴， ∴， ∴a的最大值为4； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式和是“共联”的， ∴，解得：． 35．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： (1)若方程有解，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值及数轴，解不等式组； （1）考虑x在数轴上表示的点位于数1表示的点与数3表示的点之间的线段上；x在数轴上表示的点位于数1表示的点左边；x在数轴上表示的点位于数3表示的点的右边；就这三种情况考虑即可； （2）的最小值为2023，的最小值为2021，的最小值为2019，……，的最小值为1，当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上时，所求式子的值最小，即可求得最小值； （3）解不等式，根据解集有100个整数，得到k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：当x在数轴上表示的点位于数1表示的点与数3表示的点之间的线段（不包括线段两个端点）上时，任一数表示的点到数1表示的点与数3表示的点间距离和均为2，则； 当x在数轴上表示的点位于数1表示的点左边或与1表示的点重合时，则x表示的点到2表示的点不小于1，到3表示的点不小于2，则； 同理，x在数轴上表示的点位于数3表示的点的右边或与3表示的点重合时，； 综上，方程有解，的取值范围为； （2）解：∵的最小值为2023，此时x位于1表示的点与2024表示的点间的线段上；的最小值为2021，此时x位于2表示的点与2023表示的点间的线段上；的最小值为2019，此时x位于3表示的点与2022表示的点间的线段上；……，的最小值为1，此时x位于1012表示的点与1013表示的点间的线段上； ∴当x在数轴上1012表示的点与1013表示的点间的线段上（包括两个端点）时，的值最小，最小值为； （3）解：由不等式，得， 解得：， 另一方面，由，得， 由题意，得， 解得：． 36．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）问题探究； (1)数轴上有A，B两点，点A，B所对应的数分别为a，b，则的长为　 　． (2)将0到7这8个数任意排列，接着在每两个数字间添加“”或“”，然后再运算，能得到不同的结果，则这些结果中，最小的是　 　． (3)建设在贵州的天眼是近些年的大手笔之一，他总能通过“捕捉”电磁波发现茫茫宇宙间或从未被发现的孤独天体，并分析该天体的组成、与别的天体之间的距离、年龄等各种信息．某一时刻，26颗恒星（）被监测到恰好都位于同一条直线上，用表示与之间的距离（两颗恒星之间的距离较小时可以视为重合），若测得：光年，则是否存在最大值与最小值，若存在请简述理由并求出该最值，若不存在，请说明理由．（科普小词典：光年是一个非常大的长度单位，长度为光走一年的路程） 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为325，最小值为1 【分析】（1）由数轴上两点间距离可求； （2）根据题意可得：都是负数时和最小； （3）根据题意可得：，从而得到，令，则，从而得到为偶数，为奇数，为偶数，为奇数，…，为奇数，进而得到的最小值为1，即可． 【详解】（1）解：， 故答案为； （2）解：， 此时0到7这8个数运算结果最小， 故答案为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴有最大值325； ∵， 令，则， 当时，或3；当时，或1； 当时，或2，当时，或0，当时，或0，当时，或4； 以此类推得，为0，为奇数，为偶数，为奇数，…，为奇数，且的其中一个值为或1， ∴的最小值为1． 【点睛】本题考查含有绝对值的不等式；理解数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【经典例题七 解特殊的不等式（组）问题】 37．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）计算下列不等式： (1) ． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】（1）去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 38．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求； （2）求出方程组的解得到[x]与[y]的值，即可确定出x与y的范围． 【详解】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2； （2）解方程组得：， 则-1≤x＜0，2≤y＜3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键． 40．（23-24七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案； （2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可； （3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1， ∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①当时 此时要求且 无解 ②当时 此时要求 则 ③当时 此时要求且 无解 综上所述： （3）①当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ②当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ③当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 综上所述：或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． 41．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论. 42．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1<0，即x<-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2<0，即x<2，两种情况分别求解可得． 【详解】， ①当，即时：， 解这个不等式，得： 由条件，有：； ②当，即 时： 解这个不等式，得： 由条件，有：, ∴   综合①、②，原不等式的解为：． （2） ①当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，不符合，舍去； ②当，即时：， 解这个不等式，得： 符合条件 综合①、②，原不等式的解为： 【点睛】考查解一元一次不等式，读懂题目中含绝对值的不等式的解题的方法是解题的关键. 【经典例题八 一元一次不等式组的实际应用】 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对1道题得5分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明的成绩等级为优秀（85分及85分以上）．小明至少答对了多少道题？ 【答案】小明至少答对了18道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解实际应用，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答道题． 根据题意，得， 解得． 故小明至少答对了18道题． 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 【答案】(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是 (2)之后每天至少需要改造地下管网 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网，根据题意列出方程进行计算即可得到答案； （2）设之后每天改造地下管网．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． ． 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是； （2）解：设之后每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． 故之后每天至少需要改造地下管网． 45．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】(1)60件 (2)5台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设人工每人每小时分拣件，根据每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排台分拣机，根据快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，列出不等式，求出最小正整数解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． （2）解：设需要安排台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同 (3)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案即可求解； （2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解． 【详解】（1）解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 故填表为： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 560 乙商场实际花费 410 550 （2）解：根据题意，得， 解得， 当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同． （3）解：由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 47．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】(1)5550 (2)， (3)当时，方案一和方案二花费一样；当时，方案一省钱；当时，方案二省钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据方案二的购买方式列式计算即可得解； （2）根据方案一、方案二的购买方式列出代数式即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）； （2）解：由题意可得：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； （3）解：当时，解得，故当时，方案一和方案二花费一样， 当时，且，解得，方案二省钱， 当时，且，解得，方案一省钱． 48．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 【经典例题九 一元一次不等式（组）的新定义问题】 49．（23-24七年级下·河北承德·期末）我们定义一个新运算，规定：，例如：，据此解答下列问题： (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列方程组解答即可； （2）根据列不等式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式，理解新定义运算法则是解题的关键． 50．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）定义新运算：对于任意实数，其中，都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：．    (1)求的值； (2)若的值为，的取值如图，求的非负整数解． 【答案】(1)； (2)的非负整数解为0、1、2． 【分析】（1）根据题干中的运算法则进行计算，即可得到答案； （2）利用数轴得到，从而求得，即可得到的非负整数解． 【详解】（1）解：根据题意知，； （2）解：由数轴可知，， 的值为， ， ， ， ， 的非负整数解为、、． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题干中的运算法则是解题关键． 51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 52．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新规定，得出关于a、b的方程组，解方程组即可； （2）利用新运算，代数求解即可； （3）利用不等式的解集，求符合题目要求的m的取值范围即 【详解】（1）∵， ∴2a-2b=2（a-b）=4， ∴a-b=2． ， ∴a+4b=7， 解方程组：， 得：； （2） ∴ （3） 由得 由得 ∴解集为 ∵三个整数解 ∴整数解为－1，0，1 ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是新运算问题，解题关键就是理解新运算法则，熟练运用法则进行计算． 53．（23-24七年级上·湖南张家界·期中）对于实数x、y我们定义一种新运算L(x，y) =ax+by，(其中a、b均为非零常数)等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L(x,y)，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． (1)若L(x，y)=x+3y，则L(3，1)= ，L（，）= ． (2)已知L(x，y)=3x+by，L(2，1)=4，若正格线性数L(x,kx)=6，(其中k为整数)．问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请回答；若没有，请说明理由． 【答案】（1）6，；（2）有，6、6是满足这样条件的正格数对． 【分析】（1）利用题意计算进而求得答案； （2）根据线性数的定义求得，故，再根据x为正整数，k为整数，kx取正整数即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 故答案为：6，； （2）∵， ∴，解得， ∴，即， ∵x为正整数，kx为正整数， ∴，解得， ∵k为整数， ∴当时，符合题意， ∴6、6是满足这样条件的正格数对． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关键． 54．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 【经典例题十 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 55．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)4 (2)同意，AB=4 (3)或 【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论； （2）用a表示出点B的坐标，可得结论； （3）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2）， ∴AB=2-（-2）=4， 故答案为：4； （2）小智同学的观点正确． 理由：∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∴B（a，2a-4）， ∵A（a，2a）， ∴AB=2a-（2a-4）=4， ∴AB的长是定值； （3）如图， 观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2 ∵a=3-2b， ∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2. 解得或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题． 56．（23-24七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 57．（2024七年级下·江苏·专题练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数），其面积分别为，． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． (3)若另一个正方形的边长为正整数，并且满足条件的有且只有1个，求的值． 【答案】(1) (2)与的差是常数：19 (3)无解 【分析】本题考查了多项式乘多项式、整式的加减、不等式组的整数解， （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据正方形的面积计算即可； （3）根据不等式组的整数解即可得结论； 解决本题的关键是求不等式组的整数解． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）与的差是常数，理由如下： ∵， ， ∴ ． 答：与的差是常数：19； （3）∵ ∴， ∵满足条件的n有且只有1个 ， 解得， 是整数， 无解． 答：无解． 58．（2024·广东深圳·模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 【答案】(1)绳长48尺，井深11尺 (2) 【分析】（1）设绳长尺，井深尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可； （2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而离井口的距离为尺，然后列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设绳长尺，井深尺， 根据题意，得： 解得：， 答：绳长48尺，井深11尺； （2）解：因为要求的是的最小值， 所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）． 把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺， 根据题意，得：， 解得：≥． 答：的最小值为尺． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键． 59．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （）求，的值； （）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 【答案】（1）；（2）学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台；方案三甲台乙台；（3）最省钱的购买方法为购买甲台，乙台． 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台，根据总价=单价×数量结合购买该批设备的资金不超过7200元且两种型号的设备均要至少买一台，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数即可得出各购买方案； （3）由（2）的结论结合监控半径覆盖范围不低于1600米，可求出x的值，再利用总价=单价×数量可求出当x=12和x=13时购买费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得, 解得; （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台, 由题意得 ， 解得 ∵取整数，∴，，共三种方案， 答：学校有三种购买方案：方案一甲台乙台；方案二甲台乙台； 方案三甲台乙台． （3）由题意 解得∴   的取值为或 当时，所需资金为：（元）， 当时，所需资金为：（元）， ∵， ∴方案二省钱 答：最省钱的购买方法为购买甲台，乙台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 60．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，，是边的中点，点从点出发，以每秒cm的速度沿的方向向终点运动，设点的运动时间为s．    (1)当点与点之间的距离为时，_______s； (2)若三角形的面积为，用含的代数式表示，； (3)若点从点出发s后，点以每秒的速度沿的方向向终点运动，当点与点在运动的路线上相距不超过时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式，动点问题的求解，是四边形综合题，分类讨论思想的运用等知识与方法解题的关键． （1）按点在上及点在上,分两种情况列方程求出的值； （2）点在上，点在上以及点在上，分别确定的取值范围，然后在各自的取值范围内求出用号的代数式表示的等式； （3）根据题意列不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当点在上时，， ∴， ∴， ， 解得：， 当点在上时，, ， 解得：， 故答案为：或； （2）解：点是的中点，， ∴， 当点在上时，， ,， , 整理得：; 当点在上时,， 由得,， 整理得：； 当点在上时,,， 由得，, 整理得：； 综上所述，； （3）解：当点到达点时,秒, 当点到达点前， 由题意得, 解得 故的取值范围为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式60道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式的解集压轴题型 题型二 一元一次不等式的整数解压轴题型 题型三 一元一次不等式（组）的解集压轴题型 题型四 一元一次不等式（组）的整数解压轴题型 题型五 不等式与数轴的问题 题型六 不等式最值的问题 题型七 解特殊的不等式（组）问题 题型八 一元一次不等式组的实际应用 题型九 一元一次不等式（组）的新定义问题 题型十 用一元一次不等式（组）解决几何问题 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴题型】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式，求出该不等式的解集，并在数轴上表示出来． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先化简再求值：化简，其中为不等式的整数解，选择一个合适的值代入求值． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）定义关于的一种运算：，如． (1)若，求的取值范围． (2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 6．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知关于x，y的方程组（m是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数m的值； (2)若x，y满足，试化简：； (3)若x，y满足，，求的取值范围． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴题型】 7．（23-24七年级下·四川内江·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 8．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如：．求不等式的正整数解． 9．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 11．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）若规定m，n两数之间满足一种运算． 记作，若 ，则．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为．所以 (1)根据上述规定要求, 请完成填空： ， ， ； (2)计算（ ）， 并写出计算过程； (3)在正整数指数幕的范围内，若( 只有两个正整数解，求k的取值范围． 【经典例题三 一元一次不等式（组）的解集压轴题型】 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 14．（2025·江西九江·模拟预测）（1）计算：． （2）解不等式组：． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集是，求，的值． 17．（24-25七年级下·湖南常德·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 18．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【经典例题四 一元一次不等式（组）的整数解压轴题型】 19．（24-25七年级下·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 21．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 22．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；   是 阶不等式组； (2)若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； (3)关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 24．（23-24七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【经典例题五 不等式与数轴的问题】 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在数轴上，点A，B分别表示数1，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数的点应落在______，请说明理由． A．点A的左边    B．线段上    C．点B的右边 27．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 28．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是时的值，并在如图所示的数轴上表示为点，．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数的绝对值大于； 点，之间的点表示的数的绝对值小于； 点右边的点表示的数的绝对值大于． 因此，小明得出结论，绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是________； ②的解集是___________； (2)求绝对值不等式解集． 30．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【经典例题六 不等式最值的问题】 31．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的． (1)请判断不等式和是否是“互联”的，并说明理由； (2)若和是“互联”的，求a的最大值． 33．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 34．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”．例如不等式和不等式是“共联”的，联点为2． (1)不等式和是“共联”的，联点为 ﹔ (2)若和是“共联”的，则a的最大值为 ； (3)若不等式和是“共联”的，直接写出b的取值范围为 ； 35．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）我们知道，表示数轴上数所对应的点与原点的距离，表示数轴上数对应的点与数对应的点之间的距离．请据此解决以下问题： (1)若方程有解，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)若不等式有且只有100个整数解，求的取值范围． 36．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）问题探究； (1)数轴上有A，B两点，点A，B所对应的数分别为a，b，则的长为　 　． (2)将0到7这8个数任意排列，接着在每两个数字间添加“”或“”，然后再运算，能得到不同的结果，则这些结果中，最小的是　 　． (3)建设在贵州的天眼是近些年的大手笔之一，他总能通过“捕捉”电磁波发现茫茫宇宙间或从未被发现的孤独天体，并分析该天体的组成、与别的天体之间的距离、年龄等各种信息．某一时刻，26颗恒星（）被监测到恰好都位于同一条直线上，用表示与之间的距离（两颗恒星之间的距离较小时可以视为重合），若测得：光年，则是否存在最大值与最小值，若存在请简述理由并求出该最值，若不存在，请说明理由．（科普小词典：光年是一个非常大的长度单位，长度为光走一年的路程） 【经典例题七 解特殊的不等式（组）问题】 37．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）计算下列不等式： (1) ． (2) 38．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 39．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 40．（23-24七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 41．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 42．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【经典例题八 一元一次不等式组的实际应用】 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对1道题得5分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明的成绩等级为优秀（85分及85分以上）．小明至少答对了多少道题？ 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 45．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件； (2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 47．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 48．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【经典例题九 一元一次不等式（组）的新定义问题】 49．（23-24七年级下·河北承德·期末）我们定义一个新运算，规定：，例如：，据此解答下列问题： (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，求的取值范围． 50．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）定义新运算：对于任意实数，其中，都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：．    (1)求的值； (2)若的值为，的取值如图，求的非负整数解． 51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 52．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 53．（23-24七年级上·湖南张家界·期中）对于实数x、y我们定义一种新运算L(x，y) =ax+by，(其中a、b均为非零常数)等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L(x,y)，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． (1)若L(x，y)=x+3y，则L(3，1)= ，L（，）= ． (2)已知L(x，y)=3x+by，L(2，1)=4，若正格线性数L(x,kx)=6，(其中k为整数)．问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请回答；若没有，请说明理由． 54．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【经典例题十 用一元一次不等式（组）解决几何问题】 55．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 56．（23-24七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    57．（2024七年级下·江苏·专题练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数），其面积分别为，． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． (3)若另一个正方形的边长为正整数，并且满足条件的有且只有1个，求的值． 58．（2024·广东深圳·模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？” (1)请你求出上述问题的解； (2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？ 59．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为了加强对校内外的安全监控，创建平安校园，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示，经调查，购买台甲型设备比购买台乙型设备少元，购买台甲型设备比购买台乙型设备多元. 甲型 乙型 价格（元/台） 有效半径（米/台） （）求，的值； （）若购买该批设备的资金不超过元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （）在（）的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案. 60．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）如图，在长方形中，，是边的中点，点从点出发，以每秒cm的速度沿的方向向终点运动，设点的运动时间为s．    (1)当点与点之间的距离为时，_______s； (2)若三角形的面积为，用含的代数式表示，； (3)若点从点出发s后，点以每秒的速度沿的方向向终点运动，当点与点在运动的路线上相距不超过时，请直接写出相应的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$