6.4.3余弦定理、正弦定理(一) 余弦定理-2024-2025学年下学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.4.3正弦定理、余弦定理(一) 余弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点) 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 学习目标 在一次地理探险中，探险队发现了三个神秘的地标点A、B和C。由于地形复杂，无法直接测量A和B之间的距离。但探险队成功测量了A到C的距离为8公里，B到C的距离为5公里，并且通过仪器测得AC和BC之间的夹角为150°。那么，如何计算地标点A和B之间的距离呢？这正是我们这节课要学习的内容。 导 语 目 录 1 2 3 4 已知两边及一角解三角形 已知三边解三角形 判断三角形的形状 CONTENTS 书读百遍 其义自现 已知两边及一角解三角形 1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 思考1 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C. 提示　如图，设=a，=b，=c， 类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 思考2 提示　类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B. 在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 思考3 提示　a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式. 思考4 提示　cos A=， cos B=，cos C=. 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=________________， b2=________________， c2=_______________ 推论 cos A=__________， cos B=___________， cos C=___________ 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 知识梳理 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识梳理 3.注意： (1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. (2)余弦定理对任意三角形都成立. 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 知识梳理 题型一　已知两边及一角解三角形 7 5 探究1 √ √ 已知三边解三角形 2 1.已知三角形的三边解三角形的方法 ①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角. ②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角. 2.已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用. 知识梳理 题型二　已知三边解三角形 探究2 120° 120° 判断三角形的形状 3 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. 2.①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. 3.统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 4.余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 知识梳理 题型三　判断三角形的形状 √ 探究3 书读百遍 其义自现 4 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 直角 钝角 锐角 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ 1 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)在△ABC中，已知a＝3，c＝5，B＝120°，则b等于________． 【解析】　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b＝7. (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝7，cos B＝－eq \f(1,2)，则c＝________． 【解析】　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得49＝9＋c2－6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))c，解得c＝5或c＝－8(负值舍去)． 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 思考题1　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c等于(　　) A．4　　　　　 B.eq \r(15) C．3 D.eq \r(17) 【解析】　由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－eq \f(1,3)， 又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq \r(17). (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝eq \r(5)，c＝2，cos A＝eq \f(2,3)，则b＝(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3 【解析】　由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝eq \f(2,3)，所以3b2－8b－3＝0， 所以b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)． 例2　在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C. 【解析】　根据余弦定理， cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(（6＋2\r(3)）2＋（4\r(3)）2－（2\r(6)）2,2×（6＋2\r(3)）×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2). ∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6). cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(（2\r(6)）2＋（6＋2\r(3)）2－（4\r(3)）2,2×2\r(6)×（6＋2\r(3)）)＝eq \f(\r(2),2)， ∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4). ∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7π,12)，∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7π,12)，C＝eq \f(π,4). 余弦定理主要适用于已知三角形的三边之间的关系或其中两边的平方和与另一边的平方的差的形式求角． 思考题2　(1)已知在△ABC中，eq \f(7,a)＝eq \f(8,b)＝eq \f(13,c)，则C＝________． 【解析】　由已知得a∶b∶c＝7∶8∶13. 设a＝7k，b＝8k，c＝13k(k>0)， 则有cos C＝eq \f(（7k）2＋（8k）2－（13k）2,2×7k×8k)＝－eq \f(1,2).又∵0°<C<180°，∴C＝120°. (2)在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________． 【解析】　∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)， ∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc. ∴cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2). ∵0°<A<180°，∴A＝120°. 例3　在△ABC中，已知acos A＋bcos B＝ccos C，则△ABC是(　　) A．等腰三角形　　　 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【解析】　由acos A＋bcos B＝ccos C，得 a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c·eq \f(b2＋a2－c2,2ab)，化简得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.故△ABC是直角三角形． 利用余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件转化为三角形三边之间的关系，求解时要注意综合应用因式分解、提取公因式等方法． 思考题3　在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断三角形的形状． 【解析】　∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)． ∵2cos Asin B＝sin C，∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0°<A<180°，0°<B<180°， ∴－180°<A－B<180°，∴A－B＝0°，即A＝B.又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝eq \f(1,2)， ∵0°<C<180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形． 要点1　余弦定理 (1)公式：a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________． (2)推论：cos A＝___________，cos B＝__________， cos C＝__________． (3)余弦定理的另一种常见变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 要点2　适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 (1)已知两边及其一角，解三角形； (2)已知三边，解三角形． 要点3　推论 在△ABC中： (1)c2＝a2＋b2⇔C为______； (2)c2>a2＋b2⇔C为______； (3)c2<a2＋b2⇔C为______． 1．已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？ 答：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况． 2．在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形吗？ 答：是．在△ABC中，由a2>b2＋c2可得cos A<0，因此角A一定是钝角，所以△ABC是钝角三角形． 1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq \f(3,5)，则三角形的第三边长为(　　) A．52　　　　　　 B．2eq \r(13) C．16 D．4 解析　设第三边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq \r(13). 2．在△ABC中，a＝3，b＝eq \r(7)，c＝2，那么B等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(9＋4－7,12)＝eq \f(1,2)，又B∈(0°，180°)，∴B＝60°. 3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝bcos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析　由余弦定理有c＝b×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C. 4．在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________． 解析　∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(eq \r(3))2＝a2＋12－2a×1×cos eq \f(2π,3)，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0.∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1. 5．在△ABC中，eq \f(abc,a2＋b2＋c2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos A,a)＋\f(cos B,b)＋\f(cos C,c)))＝________． eq \f(1,2) 解析　原式＝eq \f(abc,a2＋b2＋c2)·eq \f(bccos A＋accos B＋abcos C,abc) ＝eq \f(bc·\f(b2＋c2－a2,2bc)＋ac·\f(a2＋c2－b2,2ac)＋ab·\f(a2＋b2－c2,2ab),a2＋b2＋c2) ＝eq \f(a2＋b2＋c2,2（a2＋b2＋c2）)＝eq \f(1,2). $$