6.4.3　余弦定理、正弦定理(三)余弦定理、正弦定理应用举例-2024-2025学年下学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.4.3　余弦定理、 正弦定理(三) 余弦定理、正弦定理应用举例 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.(重难点) 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 3.通过本节课学习，激发学生对数学探索能力，从而提高学习兴趣. 学习目标 在实际应用中，我们常常需要测量距离、高度、角度等，而解决这些问题通常需要借助经纬仪、卷尺等工具来测量角度和距离。然而，在具体测量过程中，我们往往会遇到“无法直接到达测量点”的困难。这就要求我们设计合理的测量方案来解决这些问题。今天，我们就来学习如何应对这类挑战。 导 语 目 录 1 2 3 4 测量距离 测量高度 测量角度 CONTENTS 书读百遍 其义自现 测量距离 1 题型一　测量距离 探究1 √ 探究2 60 测量高度 2 题型二　测量高度 √ 探究3 804 √ 探究4 √ 测量角度 3 题型三　测量角度 书读百遍 其义自现 4 上方 下方 顺时针 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ 7 30 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　如图，A，B两地之间隔着一个山岗，现选择另一点C，测得CA＝10eq \r(7) km，CB＝10 km，角C＝60°，则A，B两点之间的距离为___________km. 10eq \r(8－\r(7)) 【解析】　由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝(10eq \r(7))2＋102－2×10eq \r(7)×10×eq \f(1,2)＝800－100eq \r(7).∴AB＝10eq \r(8－\r(7)) km. 本例题是求不可达又不可视的两点间的距离问题，解题思路是利用余弦定理求解． 思考题1　在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米． eq \r(6) 【解析】　如图，由题意知C＝180°－A－B＝45°， 由正弦定理得eq \f(AC,sin 60°)＝eq \f(2,sin 45°)， ∴AC＝eq \f(2,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)(千米)． 例2　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是(　　) A．20eq \r(2) 米　　　 B．20eq \r(3) 米 C．40eq \r(2) 米 D．20eq \r(6) 米 【解析】　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2). 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得AC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝20eq \r(2). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA ＝(40eq \r(2))2＋(20eq \r(2))2－2×40eq \r(2)×20eq \r(2)cos 60°＝2 400， ∴AB＝20eq \r(6)，故A，B两点之间的距离为20eq \r(6) 米． 本例是求可视不可达的两点间的距离，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角一边的三角形． 思考题2　如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m. 【解析】　由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形． 河宽即AB边上的高，它与AC边上的高相等， 过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin 30°＝60(m)． 例3　如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　) A．10 m B．5eq \r(3) m C．5(eq \r(3)－1)m D．5(eq \r(3)＋1)m 【解析】　方法一：设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m. ∴tan∠ADB＝eq \f(AB,DB)＝eq \f(x,10＋x)＝eq \f(\r(3),3). 解得x＝5(eq \r(3)＋1)． ∴A点离地面的高AB等于5(eq \r(3)＋1)m. 方法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°， ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理,得AC=eq \f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC=eq \f(10,sin 15°)·sin 30°＝eq \f(20,\r(6)－\r(2))(m)． ∴AB＝ACsin 45°＝5(eq \r(3)＋1)(m)． (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． (2)底部不可到达，但仍在与地面垂直的同一平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进． 思考题3　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度约为________m．(取eq \r(2)＝1.41，sin 35°＝0.57，精确到1 m) 【解析】　如图，过点D作DE∥AC交BC于点E， 因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°， 于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°. 在△ABD中,由正弦定理,得AB=eq \f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)=eq \f(1 000×sin 135°,sin 30°)=1 000eq \r(2)(m). 在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈804(m)． 所以山的高度约为804 m. 例4　如图为某运动会的大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内A，B两点测得C的仰角分别为45°，30°，AB＝60 m，且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝(　　) A．45 m B．45eq \r(2) m C．60 m D．60eq \r(3) m 【解析】　在△BOC中，易知OB＝eq \f(OC,tan 30°)＝eq \r(3)OC，在△AOC中，易知OA＝eq \f(OC,tan 45°)＝OC， 在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB， 即3 600＝3OC2＋OC2－2eq \r(3)OC·OC·cos 30°，即OC2＝3 600，所以OC＝60 m．故选C. 此类问题特点：涉及与地平面垂直的平面，且观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内的某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 思考题4　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在C点测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　) A．10 m B．10eq \r(2) m C．10eq \r(3) m D．10eq \r(6) m 【解析】　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠DBC)，所以BC＝eq \f(10sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)(m)． 在Rt△ABC中，tan 60°＝eq \f(AB,BC)，所以AB＝BC×tan 60°＝10eq \r(6)(m)． 例5　在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 【解析】　如图，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t， 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)×2cos 120°＝6，∴BC＝eq \r(6).又∵eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq \f(ACsin A,BC)＝eq \f(2sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)， 又∵∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)， ∴sin∠BCD＝eq \f(BDsin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2). 又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq \r(6)，∴t＝eq \f(\r(6),10). ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,所需时间为eq \f(\r(6),10)小时. 【讲评】　解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题． 思考题5　甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq \r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 【解析】　如图，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中， BC＝at海里，AC＝eq \r(3)at海里，B＝90°＋30°＝120°， 由eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin B)， 得sin∠CAB＝eq \f(BCsin B,AC)＝eq \f(at·sin 120°,\r(3)at)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)， ∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°， ∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点1　实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角． 目标视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线______时叫俯角，如图所示． (2)方位角 指从指北方向线________转到目标方向线的水平夹角，如B点的方位角为α(如图1所示)． (3)方位角的其他表示——方向角 ①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向． ②南偏东45°方向(东南方向)：指经过目标的射线是从正南向正东方向旋转45°(如图2所示)． 要点2　坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)． 1.表中是测量距离的基本类型及方案,请你根据所给图形,填写相应的结论． 类别 两点间不可达 或不可视 两点间可视 但不可达 两点都不可达 图形 方法 用余弦定理 用正弦定理 在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 结论 AB＝______ AB＝_____ ①AC＝______；②BC＝______； ③AB＝______ 答：eq \r(a2＋b2－2abcos C)　eq \f(asin C,sin（B＋C）) ①eq \f(asin∠ADC,sin（∠ACD＋∠ADC）) ②eq \f(asin∠BDC,sin（∠BCD＋∠BDC）) ③eq \r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB) 2．下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论． 类别 点B与点C，D共线 点B与点C，D不共线 图形 方法 先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB 在△BCD中先用正弦定理求出BC，再解直角三角形求出AB 结论 AB＝________ AB＝________ 答：eq \f(a,\f(1,tan∠ACB)＋\f(1,tan∠ADC)) eq \f(asin∠BDC·tan∠ACB,sin（∠BCD＋∠BDC）) 1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°的方向上 B．北偏西10°的方向上 C．南偏东10°的方向上 D．南偏西10°的方向上 解析　如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝eq \f(1,2)(180°－80°)＝50°，又60°－50°＝10°，则灯塔A在灯塔B的北偏西10°的方向上．故选B. 2．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km. 解析　因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π. 在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得AC2＝82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，整理得cos D＝－eq \f(1,2)， 则AC2＝32＋52－2×3×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，故AC＝7 km. 3．某船开始航行时看见一灯塔在南偏东30°的方向上，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向上，则这时船与灯塔的距离是________km. 15eq \r(3) 解析　设灯塔位置为A，船的初始位置为O，航行45 km后船的位置为B，由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，OB＝45 km， 所以在△OAB中，由正弦定理，得AB＝eq \f(OB sin∠AOB,sin∠OAB)＝15eq \r(3)， 即此时船与灯塔的距离是15eq \r(3) km. 4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 解析　设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台顶部所在位置为D点，炮台底部所在位置为C点，如图． 由题意可知AC＝eq \f(30,tan 30°)＝30eq \r(3)(m)，BC＝eq \f(30,tan 45°)＝30(m)，∠ACB＝30°， 在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝(30eq \r(3))2＋302－2×30eq \r(3)×30×cos 30°＝900， ∴AB＝30 m，即两条船相距30 m. $$