6.4.3　余弦定理、正弦定理(二)（第1课时）正弦定理-2024-2025学年下学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.4.3　余弦定理、 正弦定理(二) （第1课时）正弦定理 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题.(重难点) 3.通过学习正弦定理，提高数学逻辑能力和数形结合思想认识。 学习目标 余弦定理及其推论为我们提供了在已知两边及其夹角，或者已知三边的情况下直接解三角形的公式。那么，如果已知两个角和一条边，是否也有类似的公式可以直接解三角形呢？这就是我们本节课要学习的内容！ 导 语 目 录 1 2 3 4 已知两角及一边解三角形 已知两边一对角解三角形 正余弦定理的应用 CONTENTS 书读百遍 其义自现 已知两角及一边解三角形 1 如图，在Rt△ABC中，C=90°，边a，b，c与角A，B的关系是什么？ 思考1 提示　sin A=，sin B=，可以变形写成c==，又sin C=1，则上式可写成==. 在锐角三角形和钝角三角形中，上述关系是否成立？你能用向量的方法证明吗？ 思考2 则j与的夹角为-A，j与的夹角为-C. 因为+=， 所以j·(+)=j·. 由分配律，得j·+j·=j·， 即|j|||cos+|j|||cos =|j|||cos， 提示　如图，在锐角△ABC中，过点A作与垂直的单位向量j， 也即asin C=csin A，所以=. 同理，过点C作与垂直的单位向量m，可得 =.因此==. 当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角(如图所示)， 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为A-，j与的夹角为-C， 仿照上述方法， 同样可得==. 在△ABC中，==，那么这个比值与三角形的外接圆有什么关系？ 问题3 提示　如图，圆O是△ABC的外接圆，直径为2R，B'为圆周上一点，满足∠B'CA=，连接AB'，则AB'=2R. 根据圆的性质，∠AB'C=∠ABC， 在Rt△AB'C中，=2R， 所以==2R， 即在△ABC中，有=2R成立， 同理，过B作BC的垂线BA'交圆于A'点，连接A'C， 则有2R==成立， 过B作BA的垂线BC'交圆于C'点，连接AC'， 则有2R==成立， 所以在△ABC中，===2R，2R为△ABC的外接圆直径. 正弦 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相 等，即________________=2R(其中R为△ABC的外接圆半径). == 知识梳理 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=_____，sin B=_____，sin C=_____. (3)a∶b∶c=____________________.  (4)=2R. sin A∶sin B∶sin C 知识梳理 3.边角互化时，边与对角的正弦值不能直接互化，而应考虑式子中的“2R”能否约去. 知识梳理 15 1.已知两角及任意一边解三角形的步骤： ①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角； ②代入正弦定理求其他边长. 2.正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 知识梳理 题型一　已知两角及一边解三角形 探究1 已知两边一对角解三角形 2 已知两边及其中一边的对角，解三角形 1.利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. ②用三角形内角和定理求出第三个角. ③根据正弦定理求出第三边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 2.利用余弦定理解三角形的步骤 先利用余弦定理求出第三边，再应用其推论求出另外两个角. 知识梳理 题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形 探究2 √ √ 正余弦定理的应用 3 题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用 探究3 书读百遍 其义自现 4 sin C －cos C －tan C 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ 1 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 【解析】　∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2). B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 105°,sin 30°)＝20sin (60°＋45°)＝20×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))． 已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三个边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 思考题1　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值． 【解析】　根据三角形内角和定理，得 A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(18sin 60°,sin 45°)＝9eq \r(6). 例2　解三角形ABC. (1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； 【解析】　(1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°， ∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°. (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； 【解析】　(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\f(2\r(3),3)×\f(\r(3),2),\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∵a>b，∴A>B，∴B＝45°. (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B. 【解析】　(3)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(2,\r(3))>1.∴这样的角B不存在． 【讲评】　已知两边及其中一边的对角解三角形时，如果已确定三角形有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有两解，不必死记硬背某些结论． 已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解，有解时是一解还是两解，具体方法是： 若给出的角是锐角，这个角的对边小于另一边，则有两解(如本例(1))，反之则只有一解(如本例(2))；若给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，则有一解，反之则无解．判断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角(边)． 思考题2　(1)已知△ABC中，a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么角A等于(　　) A．135°　　　　　 B．90° C．45° D．30° 【解析】　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(2)sin 60°,\r(3))＝eq \f(\r(2),2). 又∵a<b，∴A<B，故A＝45°.选C. (2)在△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法确定 【解析】　∵bsin C＝30sin 26°<30sin 30°＝15＝c，∴bsin C<c<b，∴此三角形有两解． 例3　在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq \r(2)，C＝15°，求A. 【思路】　思路一：可用余弦定理求边c，再用正弦定理求角A. 思路二：可用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角A. 【解析】　方法一：cos 15°＝cos(45°－30°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝sin(45°－30°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(2))＝8－4eq \r(3)，∴c＝eq \r(6)－eq \r(2). 又b>a，∴B>A，∴A为锐角．由正弦定理，得sin A＝eq \f(a,c)sin C＝eq \f(2,\r(6)－\r(2))×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝eq \f(1,2)，∴A＝30°. 方法二：cos 15°＝cos(45°－30°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，sin 15°＝sin(45°－30°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4). 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(2))＝8－4eq \r(3)，∴c＝eq \r(6)－eq \r(2). ∴cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2).又0°<A<180°， ∴A＝30°. 已知两边及夹角解三角形，用正弦定理求角时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余弦定理． 思考题3　在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a. 【解析】　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°. ∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°. 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 方法二：由b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本题有两解． 由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2). ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得 a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6. 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形， ∴a＝3. 要点1　三角形内的诱导公式 在△ABC中，sin(A＋B)＝_______；cos(A＋B)＝________；tan(A＋B)＝________；sineq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝________；cos eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝________． 要点2　正弦定理 在△ABC中，有eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). cos eq \f(C,2) sin eq \f(C,2) 要点3　正弦定理的推论 (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)． (2)由等比性质和圆的性质可知，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R，其中，R为△ABC外接圆的半径． 1．在△ABC中，由sin A>sin B一定能推出A>B吗？ 答：能推出． ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，且sin A>sin B， ∴a>b，根据大边对大角这一结论，得A>B. 2．在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？ 答：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a). 当eq \f(bsin A,a)>1时，则无解； 当eq \f(bsin A,a)＝1时，则有一解； 当eq \f(bsin A,a)<1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若a<b，即A<B，则有两解． 1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝(　　) A.eq \f(1,5)　　　　　　　 B.eq \f(5,9) C.eq \f(\r(5),3) D．1 解析　由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)知eq \f(3,\f(1,3))＝eq \f(5,sin B)，即sin B＝eq \f(5,9).故选B. 2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　) A．－eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),3) 解析　根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得eq \f(15,sin 60°)＝eq \f(10,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(3),3)，又b<a，则B<A，故B为锐角，所以cos B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(\r(6),3). 3．在△ABC中，AC＝eq \r(6)，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　) A．45° B．30° C．75° D．90° 解析　由正弦定理，得eq \f(2,sin A)＝eq \f(\r(6),sin 60°)，∴sin A＝eq \f(\r(2),2). ∵BC＝2<AC＝eq \r(6)，∴A为锐角． ∴A＝45°.∴C＝180°－45°－60°＝75°. 4．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　) A．a>bsin A B．a＝bsin A C．a<bsin A D．a≥bsin A 解析　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得a＝eq \f(bsin A,sin B)，在△ABC中，0<sin B≤1，故eq \f(1,sin B)≥1，∴a≥bsin A. 5．在△ABC中，A＝30°，BC＝1，则△ABC外接圆的半径为________． 解析　设R为△ABC外接圆的半径，故2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，解得R＝1. $$