拓展7-1 排列组合归类-2024-2025学年下数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

拓展7-1 排列组合归类 一、特殊元素问题 六、染色问题 二、（不）相邻问题 七、分组分配问题 三、定序问题 八、排数问题 四、多面手问题 九、上台阶及最短路径问题 五、隔板法 一、特殊元素问题 方法点拨：处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 【例1】现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 【例2】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有 种可能．（用数字作答） 【变式1-2】甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【变式1-3】若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 二、（不）相邻问题 方法点拨：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 【例3】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【变式2-1】据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【变式2-2】某次征文大赛评选结束后，学校要从高二的5篇优秀范文和高一的4篇优秀范文中各选2篇放置在学校的宣传栏的第一排供师生阅读与欣赏，要求高一、高二的范文在宣传栏中的摆放顺序岔开，则不同的摆放方案共有 种． 【变式2-3】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 三、定序问题 方法点拨：定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 【例5】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【例6】由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 【变式3-1】甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种. 【变式3-2】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【变式3-3】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为 .（用数字作答）. 四、多面手问题 方法点拨：一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 【例7】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例8】2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式隆重举行．甲和乙两个宾馆为了更好地服来华国际友人，计划从传媒学院雇2名会韩语，1名会日语，共3名学生做前台接待工作．该校学工处目前有7名学生，每名学生至少会韩语、日语中的一门，其中5人会韩语，4人会日语，则不同的安排方法数为（    ） A．22 B．32 C．36 D．40 【变式4-1】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【变式4-2】杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【变式4-3】某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？ 五、隔板法 方法点拨：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 【例9】学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种. 【例10】各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 【变式5-1】方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（    ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式5-3】现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 六、染色问题 方法点拨：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【例11】给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 【例12】用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【变式6-1】某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    【变式6-2】如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【变式6-3】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种． A．480 B．600 C．360 D．750 七、分组分配问题 方法点拨： 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 【例13】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【例14】某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有 种． 【变式7-1】要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 【变式7-2】某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【变式7-3】将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 八、排数问题 方法点拨：常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 【例15】（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【例16】用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【变式8-1】从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．这样的四位偶数有 个．（用数字作答） 【变式8-2】设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位数. (1)其中偶数共有多少个？ (2)比2024大的数有多少个？ 九、上台阶及最短路径问题 方法点拨：对于上台阶问题（如每次走1或2级），本质是确定总步数中不同跨度的组合，例如n级台阶相当于在若干步中选择特定步数跨2级，解法为组合数计算。最短路径问题（如网格中移动）需将路径拆解为固定方向的步数序列，例如从A到B需横向走m步、纵向走n步，路径总数为，通过选择步序位置实现 【例17】小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ） A．28种 B．32种 C．34种 D．40种 【例18】（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 【变式9-1】甲､乙､丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．240 B．256 C．318 D．336 【变式9-2】（多选）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）    A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种 C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 【变式9-3】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有 条. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展7-1 排列组合归类 一、特殊元素问题 六、染色问题 二、（不）相邻问题 七、分组分配问题 三、定序问题 八、排数问题 四、多面手问题 九、上台阶及最短路径问题 五、隔板法 一、特殊元素问题 方法点拨：处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 【例1】现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【详解】先将3个奇数编号排好，有种方法， 然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得， 故共有种． 故选：B． 【例2】（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 【变式1-1】某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有 种可能．（用数字作答） 【答案】36 【详解】依题意可知，三个数字， 所以四位数有个位置是同一数字，将这两个位置捆绑， 再将三个数字排列， 所以可能有种． 故答案为： 【变式1-2】甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 【变式1-3】若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ） A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519 种 【答案】B 【详解】7个字母的全排列有种， 因为有3个字母是重复的，所以共有种排法， 除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种. 故选：B. 二、（不）相邻问题 方法点拨：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 【例3】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 【例4】数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【答案】 【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 故答案为：32 【变式2-1】据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有， 再作为一个整体和剩下的两个音阶排列， 所以共有种排法. 故选：D 【变式2-2】某次征文大赛评选结束后，学校要从高二的5篇优秀范文和高一的4篇优秀范文中各选2篇放置在学校的宣传栏的第一排供师生阅读与欣赏，要求高一、高二的范文在宣传栏中的摆放顺序岔开，则不同的摆放方案共有 种． 【答案】480 【详解】由题可得，先从高二的5篇中选2篇，从高一的4篇中选2篇，则有种不同的选择方案， 再将高二的2篇安排在某两个位置，最后将高一的2篇利用插空法进行摆放， 则有种不同的选择方案，故共有种不同的摆放方案． 故答案为：480 【变式2-3】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（    ） A．288种 B．144种 C．96种 D．72种 【答案】B 【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法； 第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法； 第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种． 故选：B. 三、定序问题 方法点拨：定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 【例5】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 【例6】由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答） 【答案】120 【详解】根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种， 因为奇数数字顺序确定，故满足题意的六位数共有：种. 故答案为：. 【变式3-1】甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种. 【答案】18 【详解】先从除甲、乙外的3名学生中选出2名，安排在周一和周二，共有种排列方式； 再将剩余3名学生安排在周三至周五，共有种排列方式. 又甲在乙之前，则不同的排列方式共有种. 故答案为：18. 【变式3-2】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 【答案】B 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 【变式3-3】五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为 .（用数字作答）. 【答案】24 【详解】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题, 则可排成不同的音序的种数为. 故答案为：24． 四、多面手问题 方法点拨：一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 【例7】有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 【例8】2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式隆重举行．甲和乙两个宾馆为了更好地服来华国际友人，计划从传媒学院雇2名会韩语，1名会日语，共3名学生做前台接待工作．该校学工处目前有7名学生，每名学生至少会韩语、日语中的一门，其中5人会韩语，4人会日语，则不同的安排方法数为（    ） A．22 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【详解】由题意得，这7人中有2人既会韩语也会日语，3人只会韩语，2人只会日语． 当不派既会韩语也会日语的学生时，有（种）； 当派1名既会韩语也会日语的学生时，有（种）； 当派2名既会韩语也会日语的学生时，有（种）． 综上，共有（种）不同的安排方法． 故选：B． 【变式4-1】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【详解】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨， 则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、， 所以只会划左桨有人，只会划右桨有人， 据此分种情况讨论： ①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法； ②从只会划左桨的人中选人划左桨，从、中选人划左桨， 再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法； ③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨， 另外会划右桨的人划右桨，则有种选法， 综上可得一共有种不同的选法. 故选：D． 【变式4-2】杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【答案】140 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种. 故答案为：140. 【变式4-3】某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？ 【答案】185 【详解】法一，依题意知，完成这件事情分三类， 第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有种； 第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有种； 第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有． 故由分类加法计数原理知，共有种选法． 法二，按均精通的专家分类： 第一类，两人均不参加，有种； 第二类，两人有一人参加，有种； 第三类，两人均参加，有种； 由分类加法计数原理知，共有种选法. 五、隔板法 方法点拨：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 【例9】学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种. 【答案】 【详解】将个三好学生名额看做个完全一样的小球，将小球排成一排， 从个空中插入个隔板，将小球分成组，每组小球的个数对应班级的三好学生名额， 故分配方案共有（种）. 故答案为： 【例10】各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为 （请用数字作答）． 【答案】56 【详解】设，，，对应个位到千位上的数字，则， 且，相当于6个相同的球排成一排，每个球表示1， 先拿一个球装入，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个球用3个隔板分成4组（各组不可为空）， 故共有种． 故答案为：56． 【变式5-1】方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为，所以， 从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分， 一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 【变式5-2】为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（    ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】C 【详解】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法， 而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法， 所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种. 故选：C 【变式5-3】现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【详解】根据题意，先将13个名额分能给一班、二班每班2个，三班、四班每班1个， 而由于五班可以不分配名额， 则将剩下的7个名额加上1个空名额，再分成5组，每组至少1个名额， 由于有，利用“隔板法”，有种分配方式. 故选：B. 六、染色问题 方法点拨：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【例11】给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 【答案】C 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为. 故选：C 【例12】用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】72 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 【变式6-1】某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    【答案】420 【详解】分两类情况： 第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； 第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上， 是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法. 再由分类计数原理，共有种不同的方法. 故答案为：420. 【变式6-2】如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 【变式6-3】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种． A．480 B．600 C．360 D．750 【答案】D 【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择， 根据分步计数原理得，共有（种）涂色方法． 故选：D. 七、分组分配问题 方法点拨： 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 【例13】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【答案】150 【详解】若有1人完成3项任务，其余两人各完成1项任务，安排方法种数为: ， 若有1人完成1项任务，其余两人各完成2项任务，安排方法种数为: ， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：150. 【例14】某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有 种． 【答案】150 【详解】当甲乙两位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 则不同的分配方案种数共有． 故答案为：150． 【变式7-1】要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 【答案】100 【详解】当村安排1人时，不同的安排方法种数为； 当村安排2人时，不同的安排方法种数为； 当村安排3人时，不同的安排方法种数为. 综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法. 故答案为：100 【变式7-2】某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 【变式7-3】将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 【答案】C 【详解】由题意可知，分两种情况讨论， ①工厂安排1人，有种， ②工厂安排2人，有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：C． 八、排数问题 方法点拨：常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 【例15】（多选）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如213、435等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，各位数字之和为9的个数为6 C．在组成的三位数中，比300大的个数为36 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24 【答案】AC 【详解】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确； 各位数字之和为9的有；两种组合，故各位数字之和为9的个数为，B错误； 比300大，则百位上的数可以为3，4，5，比300大的个数为，C正确； 将这些“凸数”分为三类：①十位为1，则有（种）；②十位为2，则有（种）； ③十位为3，则有（种），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为，故D错误． 故选：AC. 【例16】用五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位数？ (3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)120 (2)96 (3)32 【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有个； （2）首位不能为0，则有个； （3）由题意，是偶数个位数必须是. 分3种情况讨论： ①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选一个，所以共有； ②在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选一个.有种选法； ③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有种情况. 【变式8-1】从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．这样的四位偶数有 个．（用数字作答） 【答案】396 【详解】取出两个奇数字和两个偶数字的方法数为种， 把取出的4个数字排列，个位为偶数字的排列方法数为， 其中取出数字0并排在最高位，个位为偶数字的有， 所以符合要求的四位偶数个数为. 故答案为：396 【变式8-2】设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 【变式8-3】用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位数. (1)其中偶数共有多少个？ (2)比2024大的数有多少个？ 【答案】(1)156 (2)238 【详解】（1）当四位数的个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个， 当四位数的个位数字是2或4时，千位有4个数字可选，百位十位有种选法， 满足条件的四位数有个， 所以共有个偶数； （2）比2024大的数有2025,共1个， 当2在千位，0在百位，3在十位时，个位可以有1，4，5，共3个， 当2在千位，0在百位，4在十位时，个位可以有1，3，5，共3个， 当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以有1，4，3，共3个， 当2在千位，1在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，3在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，4在百位，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位，十位、个位共有种选法， 当3在千位，百位十位个位共有种， 当4在千位，百位十位个位共有种选法， 当5在千位，百位十位个位共有种选法， 综上所述，比2024大的数共有个. 九、上台阶及最短路径问题 方法点拨：对于上台阶问题（如每次走1或2级），本质是确定总步数中不同跨度的组合，例如n级台阶相当于在若干步中选择特定步数跨2级，解法为组合数计算。最短路径问题（如网格中移动）需将路径拆解为固定方向的步数序列，例如从A到B需横向走m步、纵向走n步，路径总数为，通过选择步序位置实现 【例17】小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（    ） A．28种 B．32种 C．34种 D．40种 【答案】C 【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种； ②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种； ③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种； ④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种； ⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种， 共计34种． 故选：C． 【例18】（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（    ）      A．不同的路径共有31条 B．不同的路径共有41条 C．若甲途经地，则不同的路径共有18条 D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条 【答案】AC 【详解】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右， 且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误； 若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确； 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误； 故选：AC. 【变式9-1】甲､乙､丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．240 B．256 C．318 D．336 【答案】D 【详解】解：对于7个台阶上每一个只站一人，则有种； 若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种， 因此共有不同的站法种数是210+126=336种. 故选：D. 【变式9-2】（多选）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）    A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种 C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走， 小明可以选择的不同路径共有种，故A正确； 对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C， 小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为， 再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为， 所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确； 对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步， 则小明与小华相遇的点为正方形过点C的对角线上的四个点， 不同路径共有种，C正确； 对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种， 所以一共有400种， 则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确． 故选：ACD. 【变式9-3】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有 条. 【答案】26 【详解】由题意知，假设之间通顺，从到， 需要向右4次，向上3次，则其最短路径有条， 其中经过的走法有条， 所以从到最短的路径有条. 故答案为：26 2 学科网（北京）股份有限公司 $$