2.1.2 两角和与差的正弦公式课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第2章 三角恒等变换 2.1.2 两角和与差的正弦公式 2.1 两角和与差的三角函数 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 复习回顾 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 “同名相乘，符号反” 问题导入 问题1：你能否用上面的公式求出的值？ 问题2：你能否用直接两个特殊角表示？ 推导探究 在诱导公式 sin α＝ cos （ －α）中，将α替换为α－β即可 sin （α－β）＝ cos［ －（α－β）］ ＝ cos ［（ －α）＋β］ ＝ cos （ －α） cos β－ sin （ －α） sin β ＝ sin α cos β－ cos α sin β. 在两角差的正弦公式中，将β替换为－β即可： sin （α＋β）＝ sin [α－（－β）] ＝ sin α cos （－β）－ cos α sin （－β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β. 问题3：能否从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？ 总结归纳 两角差的正弦公式 两角和的正弦公式 “异名相乘，符号同” 归纳总结 两角和与差的正弦、余弦公式： 练习巩固 例1.求15°,75°角的正弦值. 典例剖析 例2.求下列各式的值: (1)sin20°cos40°+cos20°sin40°; (2)sin85°cos40°-sin5°sin40°. 典例剖析 例3.已知 求的值. 练习巩固 1.利用两角和(差)的正弦公式计算: (1)sin105°; (2)sin165°. 练习巩固 2.求下列各式的值: (1) sin50°cos10°+cos50°sin10°; (2)cos80°sin20°-sin80°cos20°. 练习巩固 练习巩固 1. ＝（　C　） A. － B. － C. D. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . C 练习巩固 2. 在△ ABC 中，三内角分别是 A ， B ， C ，若 sin C ＝2 cos A sin B ，则△ ABC 一定是 （　C　） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析：∵ sin C ＝ sin （ A ＋ B ）＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝2 cos A sin B ，∴ sin A cos B － cos A sin B ＝0，即 sin （ A － B ）＝0，又－π＜ A － B ＜π，∴ A ＝ B ，∴△ ABC 为等腰三角形. C 练习巩固 3. 已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则 cos （α－β）＝（　D　） A. B. C. D. － 解析：由已知，得 （ sin α＋ sin β）2＋（ cos α＋ cos β）2＝ ＋ ＝1， ∴2＋2（ cos α cos β＋ sin α sin β）＝1， 即2＋2 cos （α－β）＝1.∴ cos （α－β）＝－ . D 练习巩固 　函数 f （ x ）＝ a sin x ＋ b cos x 的性质的应用（综合应用） [示例] 若函数 f （ x ）＝（1＋ tan x ） cos x ，0≤ x ＜ . （1）把 f （ x ）化成 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）或 f （ x ）＝ A cos （ω x ＋φ）的形式； [解]　（1） f （ x ）＝（1＋ tan x ） cos x ＝ cos x ＋ sin x ＝2（ cos x ＋ sin x ） ＝2 sin （ x ＋ ）. 练习巩固 （2）判断 f （ x ）在［0， ）上的单调性，并求 f （ x ）的最大值. [解]　（2）∵0≤ x ＜ ，∴ ≤ x ＋ ＜ ， 令 t ＝ x ＋ ，则 f （ t ）＝2 sin t 在［ ， ）上单调递增，在［ ， ） 上单调递减. ∴ f （ x ）在［0， ）上单调递增，在［ ， ）上单调递减. ∴当 x ＋ ＝ ，即当 x ＝ 时， f （ x ）有最大值2. 练习巩固 若 sin x ＋ cos x ＝4－ m ，则实数 m 的取值范围是（　A　） A. [2，6] B. [－6，6] C. （2，6） D. [2，4] A 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$