精品解析：湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

湖北省随州市部分高中2024--2025学年下学期三月联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 考试范围： 必修一；必修二第6、7章 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ） A. 2 B. 4 C 6 D. 8 2. 已知，则是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 4. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C D. 7. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 A. B. C. D. 8. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是正整数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足恒成立，且在上单调递增，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到的图象 11. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数满足，，与有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为__________． 13. 将函数，图象上每一点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________. 14. 如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 18. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 19. 已知内角所对的边长分别为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市部分高中2024--2025学年下学期三月联考 高一数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 考试范围： 必修一；必修二第6、7章 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 2. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为；， 所以，推不出，所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ） A. 116 B. 115 C. 114 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数的周期为， 再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解. 【详解】由，得， 即， 所以， 所以函数的周期为， 又为偶函数， 则， 所以， 所以函数也为偶函数， 又， 所以，， 所以， 又，即，所以， 又，， ， 所以 故选： 4. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图象，判断二次函数的图象开口，对称轴和特殊点，字母范围，逐项判断各选项即可. 【详解】由题意结合图象，可知，图象对称轴，，. 对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为 ，即点， 故时，，故A正确； 对于B，由图知，当时，，故B错误； 对于C，由可得，又，代入解得， 因，故，即C错误； 对于D，由可得，又，所以，故D错误. 故选：A． 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求 【详解】由，，知： ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案. 【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间. 令， 所以. 故选：A. 7. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式即可得出． 【详解】 即,故选C选项 【点睛】解决本题的关键在于向量的数量积公式和向量的模长的运用． 8. 复数的虚部为（ ） A B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据虚部概念得解. 【详解】.故虚部为1. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是正整数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数满足恒成立，且在上单调递增，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】令，，求出的取值，再由的取值范围求出的取值范围，根据函数的单调性得到，从而求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】解：因为函数满足恒成立， 所以，，解得，， 当时，， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 综上可得，故A正确； 所以，则， 所以为偶函数，故B正确； 对于C：当时，，所以，即，故C错误； 对于D：将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可以得到的图象，故D错误； 故选：AB 11. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对两边平方可判断A；计算出可判断B；利用求出可判断CD． 【详解】对于A，因为，，且，所以， 则，则，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直，故B错误； 对于C ，，又，所以与的夹角为， 故C正确D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数满足，，与有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】确定两个函数图象都关系对称，即可求解； 【详解】因为，所以的图象关于点对称， 又满足也关于点对称， 则交点关于对称， 所以4个交点的纵坐标之和． 故答案为：4 13. 将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值． 【详解】解：将函数， 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象， 再向右平移个单位长度得到的图象， ，且，， 解得，，函数，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题． 14. 如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________. 【答案】22 【解析】 【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果. 【详解】 【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 已知二次函数． （1）若在区间上是减函数，求a的取值范围． （2）若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. 【小问2详解】 因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】（1） （2）时，面积最大 （3）cm2. 【解析】 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【小问1详解】 由，则扇形的弧长(cm). 【小问2详解】 由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. 【小问3详解】 设弓形面积为，由，得， 所以. 17. 设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 18. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 19. 已知内角所对的边长分别为. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围. 【小问1详解】 由余弦定理得，即， 所以，又，则. 【小问2详解】 法一：为锐角三角形，，则， 所以，可得， 又，则，故 由，即而， 所以，故面积的取值范围为. 法二：由，画出如图所示三角形， 为锐角三角形， 点落在线段（端点除外）上， 当时，， 当时，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $