3.2 简单图形的坐标表示（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

3.2 简单图形的坐标表示 第3章 图形与坐标 优翼八下数学教学课件（XJ） 情境引入 问题：如果某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议，小明要在电话中告诉小慧同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的 知识．你知道小明是怎样 叙述的吗？ 导入新课 建立坐标系求图形中点的坐标 问题：正方形 ABCD 的边长为 4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点 A，B，C，D 在这个平面直角坐标系中的坐标. A B C D 新课讲授 4 4 y x （A） B C D 解：如图，以顶点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，规定 1 个单位长度为 1，建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点 A，B，C，D 的坐标分别为： A (0，0)， B (4，0)， C (4，4)， D (0，4). O A(-4，-4)， B(0，-4)，C(0，0)， D(-4，0). A B C D A(0，-4)，B(4，-4)， C(4，0)， D(0，0). y x O 想一想：还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点 A，B，C，D 的坐标吗？ A(-4，0)，B(0，0)，C(0，4)，D(-4，4). A(-2，-2)， B(2，-2)，C(2，2)， D(-2，2). 追问　由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？ 【总结】平面直角坐标系建立得适当，可以容易确定图形上的点，例如以正方形的两条垂直边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，又如以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系．建立不同的平面直角坐标系，同一个点就会有不同的坐标，但正方形的形状和性质不会改变． 例1 如图，矩形 ABCD 的长和宽分别为 8 和 6， 试建立适当的平面直角坐标系表示矩形 ABCD 各顶点的坐标，并作出矩形 ABCD. 典例精析 因为 BC = 8，AB = 6，可得点 A，C，D 的坐标分别为： A（0，6），C（8，0），D（8，6）. 依次连接 A，B，C，D，可 得所求作的矩形. ● A C ● D ● 解：如图，以点 B 为坐标原点，分别以 BC，AB 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系. 规定 1 个单位长度为 1. 点 B 的坐标为（0，0）. 变式: 长方形的两条边长分别为 4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(-2，-3)．请你写出另外三个顶点的坐标． 解：如图建立直角坐标系，则 长方形的一个顶点 A 的坐标为 (-2，-3)， 另外三个顶点的坐标分别为 B(2，-3)，C(2，3)，D(-2，3)． 还有其他方法吗？ 由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也会不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了． 方法总结 下图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋 ① 的坐标是(－2，－1)，白棋 ③ 的坐标是(－1，－3)，则黑棋❷的坐标是___________． 解析：由已知白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，可知 y 轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x 轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋❷的坐标是(1，－2)． 练一练 (1，－2) y O 例2 下图是一个机器零件的尺寸规格示意图， 试建立适当的平面直角坐标系表示其各顶点的坐标，并作出这个示意图. 解：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为点 O，以点 O 为原点， 分别以 AB，DO 所在直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如上右图所示. 规定 1 个单位长度为 100 mm，则四边形 ABCD 的顶点坐标分别为：A（-1，0），B（4，0），C（3，2）， D（0，2）. 依次连接 A，B，C，D ， 则图中的四边形ABCD 即为所求作的图形. 画一画：你能在直角坐标系里描出点 A (-4，-5)，B (-2，0)，C (4，0) 吗？并连线． O -5-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 A B C ● ● ● 坐标平面内图形面积的计算 解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D. ∵ A (-4，-5)，∴ D (-4，0). 则有 AD = 5，BC = 6， ∴ S△ABC = BC·AD = ×6×5 = 15. O x y -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 A B C ● ● 问题：你能求出△ABC 的面积吗？ D ● 例3 在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图形，并计算他们的面积. (1) A(5，1)， B(2，1)， C(2，-3) (2) A(-1，2)， B(-2，-1)， C(2，-1)，D(3，2) 3 2 1 -2 -1 -3 4 x y A D A C -1 -2 O O 1 2 3 4 5 x y 2 2 4 -2 -2 B C B (1) 得到一个直角三角形， 如图所示. 其面积为 ×3×4 = 6. (2) 得到一个平行四边形， 如图所示. 其面积为 4×3 = 12. 解析：本题宜用补形法．过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S矩形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积． 例4 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积． 例4 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积． 解：∵ A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)， ∴ BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1， AF＝2，BF＝4. ∴ S△ABC＝S矩形BDEF－S△BDC－S△CEA －S△BFA ＝ BD·BF－ CD·BD－ CE·AE－ AF·BF ＝ 12－1.5－1.5－4 ＝ 5. 本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法： 方法一：直接法，求出三角形一边的长及该边上的高，再计算其面积； 方法二：补形法，将三角形转化成若干个特殊的四边形和三角形，求总面积与多余三角形的差； 方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 方法总结 y A B C 1. 已知A(1，4)，B(-4，0)，C(2，0). △ABC 的面积是＿＿. 2. 若 B(-4，0)，C(2，0)，△ABC 的面积为 6，点 A 的横 坐标为 -1，那么点 A 的坐标为 ． 12 O (1，4) (-4，0) (2，0) C y A B (-4，0) (2，0) (-1，2) 或 (-1，-2) O 当堂练习 3. 对于边长为 4 的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标. 1 2 3 4 1 O 3 2 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –3 -4 y A B C x 解: A(0， )， B(-2，0) ，C(2，0).（答案不唯一） · 4. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4，4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？ （3，-2） 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 y · O x （3，2） · · （4，4） 解：如图所示. 坐标平面内的图形 坐标平面内图形面积的计算 建立适当的直角坐标系描述图形的位置 课堂小结 $$