2.2.2 第1课时 平行四边形的判定定理1、2（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.2.2 平行四边形的判定 第2章 四边形 第1课时 平行四边形的判定定理1,2 优翼八下数学教学课件（XJ） 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？ 情景引入 导入新课 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？ 问题 我们知道，两组对边分别平行的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 猜想 1：一组对边相等的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误. 猜想 2：一组对边平行的四边形是平行四边形. 梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误. 新课讲授 B A 活动 如图，将线段 AB 向右平移 BC 长度后得到线段 DC，连接 AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？ D C 四边形 ABCD 是平行四边形 猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 你能证明吗？ A B C D 证明思路 作对角线构造全等三角形 一组对应角相等 两组对边分别平行 四边形 ABCD 是平行四边形 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD且 AB∥CD， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证一证 A B C D 2 1 证明：连接 AC. ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2. 在 △ABC 和 △CDA 中， AB＝CD， AC＝CA， ∠1＝∠2， ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴∠ACB＝∠CAD ，∴AD∥CB. 又∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 平行四边形的判定定理 1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. B D A C 典例精析 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD． 又∵EB ＝ AB ，FD＝ CD， ∴EB＝FD ． ∴四边形 EBFD 是平行四边形． 例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点. 求证：四边形 EBFD 是平行四边形. 例2 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F 分别在直线 AD 的两侧，AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：四边形 BFCE 是平行四边形． 证明：∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝BD. 在 △ACE 和 △DBF 中， AC＝DB ，∠A＝∠D， AE＝DF， ∴△ACE≌△DBF(SAS). ∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF. ∴CE∥BF. ∴四边形 BFCE 是平行四边形． 【变式题】如图，点 C 是 AB 的中点，AD＝CE， CD＝BE．（1）求证：△ACD ≌ △CBE； （2）连接 DE，求证：四边形 CBED 是平行四边形． 证明：（1）∵点 C 是 AB 的中点，∴AC＝BC. 在 △ADC 与 △CEB 中， AD＝CE ，CD＝BE ， AC＝BC ， ∴△ADC≌△CEB（SSS）. （2）∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD＝∠CBE. ∴CD∥BE. 又∵CD＝BE，∴四边形 CBED 是平行四边形． 练一练 1. 已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形 ABCD 成为平行四边形的选法是 （　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．AB∥CD，BC∥AD C．AB∥CD，BC＝AD D．AB＝CD，BC＝AD C 猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起，任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗? 点击视频 开始播放 → 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 已知：四边形 ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D 连接 AC. 在 △ABC 和 △CDA 中， AB＝CD (已知)， BC＝DA(已知)， AC＝CA (公共边)， ∴△ABC≌△CDA(SSS). ∴ ∠1＝∠4，∠ 2＝∠3. ∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 证一证 平行四边形的判定定理 2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. B D A C 例3 如图，在 Rt△MON 中，∠MON＝90°. 求证： 四边形 PONM 是平行四边形． 证明：Rt△MON 中， 由勾股定理得 (x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得 x＝8. ∴PM ＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN. ∴四边形 PONM 是平行四边形． 典例精析 例4 如图，在 △ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ABD、等边 △ACE、等边 △BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形． 解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形， ∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠FBA＝60°. ∴∠DBF＝∠ABC. 又∵BD＝BA，BF＝BC， ∴△ABC≌△DBF(SAS). ∴AC＝DF＝AE. 同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB＝EF＝AD. ∴四边形 DAEF 是平行四边形． 2. 如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△CDA 中， ∵AC = CA，AB = CD， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). ∴BC = DA. 又∵AB = CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 练一练 证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， ∴AD∥EF，AD = EF， EF∥BC， EF = BC. ∴AD∥BC，AD = BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D E F 3. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证： 四边形 ABCD 是平行四边形. 1. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = . A F B D C E P 8 2.已知 AD∥BC ，要使这个四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件 . AD = BC 或 AB∥CD 当堂练习 ∵E，F 分别是 AD，BC 的中点， 3. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点. 求证：BE = DF. D F E C B A 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD = BC. ∴ED = BF，即 ED BF. ∥ = ∴四边形 EBFD 是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形). ∴BE = DF (平行四边形的对边分别相等). 证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC， 又∵BF = DH， ∴AH = CF. 又∵AE = CG， ∴△AEH≌△CGF（SAS）. ∴EH = GF. 同理得△BEF≌△DGH（SAS）∴GH = EF. ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 4. 如图，已知 E，F，G，H 分别是▱ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 5. 现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次，焊接成一个含有 45° 角的平行四边形 (不能有余料)，请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由. A B C 能力提升 C A B F E D D C A B E A B C F D E 6. 老陈有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香.有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，老陈的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点 A 和 C. (1) 如图，若你只有一把直尺和一个 圆规，你能将图形补全吗？若能， 请补全图形(不写作法，只保留作 图痕迹)，并证明四边形 ABCD 是 平行四边形. A B C (2) 若 E 是 BC 边上的一点，只用一把无刻度的直尺在 AD 边上作点 F，使得 DF = BE， ① 作出满足题意的点 F，简要说明作图过程. ② 依据你的作图，证明：DF = BE. A B C E A B C D O F 平行四边形的判定 判定定理1 判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 课堂小结 $$对对对。你从头上往边一蟹蟹，不然我干不上来了让他都弄了，都弄。再再再拉再拉，再再再还款，再点再点，再再往这一块记下来，记再再再。记走。