2.2.1 第1课时 平行四边形的边、角的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.2.1 平行四边形的性质 第2章 四边形 第1课时 平行四边形的边、角性质 优翼八下数学教学课件（XJ） 观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 情景引入 导入新课 你还能举出其他的例子吗？ 观看下面视频，一起来了解平行四边形吧. 点击视频 开始播放 → 平行四边形的定义 新课讲授 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2. 平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形 ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1. 定义: A B D C 归纳总结 语言表述： ∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD. 例1 如图，DC∥GH∥AB，DA∥FE∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来. D A B C H G F E 典例精析 解：∵DC∥GH ∥AB，DA∥FE∥CB， ∴根据平行四边形的定义可以判定 图中共有 9 个平行四边形，即 AEKG， ABHG， AEFD， GKFD， K 用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行. 归纳 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ (2) (3) (1) (4) (5) 练一练 根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD. D A B C 平行四边形的边、角特征 A B C D 活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗? 测得 AB = DC，AD = BC. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗? 猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？ 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 证明：如图，连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ ∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴ △ABC≌△CDA. ∴ AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC. ∵∠BAD =∠1 +∠4 ∠BCD =∠2+∠3， ∴∠BAD =∠BCD. A B C D 1 4 3 2 证一证 已知：四边形 ABCD 是平行四边形. 求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD， ∠ABC = ∠ADC. 思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的 定义，证明其对角相等？ A B C D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴∠A +∠B = 180°， ∠A +∠D = 180°. ∴ ∠B =∠D. 同理可得∠A =∠C. 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有: A B C D 归纳总结 动手做一做:如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ A B C D 解：AD 和 BC 的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD，AD//BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AD = BC. 例2 如图，在 ABCD中. (1) 若∠A = 32°，求其余三个角的度数. A B C D ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 解： 且 ∠A = 32°(已知)， ∴ ∠A = ∠C = 32°， ∠B = ∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC (平行四边形的对边平行)， ∴ ∠A +∠B = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴ ∠B = ∠D = 180°- ∠A = 180°- 32°=148°. 典例精析 (2) 连接 AC，已知 ABCD的周长等于 20 cm，AC = 7 cm，求△ABC 的周长. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形(已知)， ∴AB = CD，BC = AD(平行四边形的对边相等). 又∵AB+BC+CD+AD = 20 cm(已知)， ∴AB+BC = 10 (cm). ∵AC = 7 (cm)， ∴ △ABC的周长为 AB+BC+AC = 17 (cm). A B C D 【变式题】(1) 在 ABCD中，∠A:∠B = 2:3，求各角的度数. 解：∵∠A，∠B 是平行四边形的两个邻角， ∴∠A+∠B = 180°. 又∵∠A:∠B = 2:3， 设∠A = 2x，∠B = 3x， ∴2x+3x = 180°， 解得 x = 36°. ∴ ∠A = ∠C = 72°， ∠B = ∠D = 108°. 平行四边形的邻角互补 (2) 若 ABCD的周长为 28 cm，AB:BC=3:4，求各边的长度. 解：在平行四边形 ABCD 中， ∵AB = CD，BC = AD， 又∵AB+BC+CD+AD = 28 cm， ∴AB+BC = 14 cm. ∵AB:BC = 3:4，设AB = 3y cm，BC = 4y cm， ∴3y+4y = 14，解得 y = 2. ∴AB = CD = 6 cm，BC = AD = 8 cm. 已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 归纳 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 例3 已知： ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，求证： BE = DF. ∴∠BAE =∠DCF. ∴ △ABE≌△CDF. ∴ AB = CD，AD∥BC. 又∵ AE = CF， ∴ BE = DF. A D B C E F 1. 如图，在□ABCD中. (1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____° ， ∠D =_____°. (3) 若∠A+∠C = 200°，则∠A =____°，∠B =_____°. (2) 若AB = 3，BC = 5，则它的周长 = ______. C D A B 50 130 50 100 80 练一练 16 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB ＝ 5 cm，AD ＝ 9 cm，则 EC ＝ cm. C 4 A B D E 例4 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是 E，F．求证：AE = CF． 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A = ∠C，AD = CB. 又∵∠AED = ∠CFB = 90°， ∴ △ADE≌△CBF（AAS）. ∴AE = CF. 思考 在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE = BF. 平行线间的距离 C B F E A D 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n 于B、D、F. 由平行四边形的性质得 AB = CD = EF. 两条平行线之间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形 ABCD，CDEF 均为平行四边形. 归纳总结 若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交 n 于B、D、F，交 m 于 A、C、E. B F E A n m C D 点到直线的距离 同前面易得 AB = CD = EF. 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB = 4 cm，S△ABC = 12 cm2，求 △ABD 中 AB 边上的高． 解：S△ABC = AB•BC， = ×4 ×BC = 12 cm2， ∴ BC = 6 cm. ∵AB∥CD， ∴点 D 到 AB 边的距离等于 BC 的长度. ∴△ABD 中 AB 边上的高为 6 cm． 练一练 1. 在 □ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若∠A = 135°，则∠MCD 的度数是（ ） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° A A B C M D 当堂练习 2. 判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)： (1) 平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2) 平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. ( ) (4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm和 3 cm，那么周长是10 cm. ( ) (5) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°， 那么 ∠B = 48°. ( ) (6) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 35°， 那么 ∠C = 145°. ( ) √ √ √ × × × 4. 如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5， BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 . A B C D E 10 3. 如图，D、 E、F 分别在 △ABC 的边 AB、BC、AC上，且 DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中有___个平行 四边形. 第3题图 第4题图 3 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD = BC. ∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA. 又∵DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC， ∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA. ∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF. ∴AE = AD， CF = BC. ∴AE = CF. 5. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF. A B D C E F 6. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？ 解：∵AE∥BC，AB∥CF， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴∠D = ∠B = 60°， AD = BC = 80 cm. ∴ ED = AD - AE = 20 cm. 答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°. B D C E F A M 证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形， 　 ∴BM = EF，AB//EF. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠BAD = ∠CAD. ∵AB//EF， ∴ ∠BAD = ∠AEF. ∴∠CAD = ∠AEF. ∴ AF = EF. ∴ AF = BM. 7. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 M、E、F分别是 AB，AD，AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM. 平行 四边形 定义 两组对边分别平行的四边形 性质 两组对边分别平行，相等 两条平行线间的平行线段相等 两条平行线间的距离 两组对角分别相等，邻角互补 课堂小结 $$总感觉这门里隐藏了许多数学奥秘，类似的还有我们的竹篱笆，和拉闸门一样，是由许多四边形组成。我们知道这是运用了四边形的不稳定性，可是这个四边形有点特殊，好像在哪见过？让我来翻翻以前的笔记。哇哦平行四边形没错，两组对边分别平行的四边形就叫平行四边形。图形上要按顺序标记，记作平行四边形AB CD。那这些是平行四边形吗？哪些是哪些不是呢？