17.3.1 一次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

17.3 一次函数 第17章 函数及其图象 1.一次函数 优翼八下数学教学课件（HS） 情景引入 点击视频 开始播放 → 导入新课 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数表达式吗？ y = x y = 2x y = 4x y = x 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子? 一次函数与正比例函数 新课讲授 (2) 你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y = 3 + 0.5x 情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 情景二：某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶50 km 耗油 6 L. (1) 完成下表： 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/L 60 54 48 42 36 30 (2) 你能写出上表中 y 与 x 的关系式吗? y = 60－0.12x 上面的两个函数关系式： (1) y = 3 + 0.5x； (2) y = 60－0.12x. 上述函数的关系都是用自变量的一次整式表示的， 我们称它们为称为一次函数. 它的一般形式是：y = kx + b ( k，b 为常数，k 不等于 0) . 特别地， 当 b = 0 时，一次函数 y = kx （k 为常数， k ≠ 0） 也叫作正比例函数. 大家讨论一下，这两个函数关系式有什么特征? 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1) 是一次函数，不是正比例函数； (2) 不是一次函数，也不是正比例函数； (3) 是一次函数，也是正比例函数； (4) 是一次函数，也是正比例函数； (5) 不是一次函数，也不是正比例函数； (6) 是一次函数，也是正比例函数． 方法总结 1.判定一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 典例精析 例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y = πx2， y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数. （2）圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系. 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水， 因而 y = 15 + 5x. y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 例2 已知函数 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； 解：∵ 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0. ∴ m＝±5 且 m≠5. ∴ m＝－5. ∴ 当 m＝－5 时，函数 是一次函数． 解：∵ 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0. ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1. 这样的 m 不存在， ∴ 不可能是正比例函数. 【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数． 例2 已知函数 (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值． 变式训练 已知函数y = (m-1)x+1-m2 （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 解：由题意可得 m-1 ≠ 0，解得m ≠ 1. 即m ≠ 1时，这个函数是一次函数. （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m-1 ≠ 0，1-m2 = 0，解得m = -1. 即m = -1时，这个函数是正比例函数. 例3 某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3500 元的部分不收税；月收入超过 3500元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3860 元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3860 - 3500)×3% = 10.8 元. (1) 当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时，写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式. 解：y = 0.03×(x - 3500) (3500＜x＜5000). (2) 某人月收入为 4160 元，他应缴所得税多少元？ 解：当 x = 4160 时，y = 0.03×(4160-3500) = 19.8 (元). 答：他应缴所得税 19.8 元. 解：设此人本月工资是 x 元，则 19.2 = 0.03×( x - 3500 )， 解得 x = 4140. 答：此人本月工资是 4140 元. (3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？ 1. 判断正误： (1) y = 2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. （ ） (2) y = 80x + 100 ，y 是 x 的一次函数. （ ） √ √ 2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数. ≠2 = -2 当堂练习 3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值. 4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值. 解：根据题意，得∣m∣=1， 解得 m = ±1. 又∵ m - 1≠0，即 m≠1， ∴ m = -1. 解：根据题意，得 m2 - 9 = 0， 解得 m = ±3. 又∵ m + 3≠0，即 m≠-3， ∴ m = 3. 5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x 本. (1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式； (2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式； (3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么? y1 = x. y2 = 0.4x + 12. 由 x = 0.4x + 12 知，当 x＜20 时，零星租书方式合算；当 x = 20 时，两种租书方式一样；当 x＞20 时，会员卡租书方式合算. 6. 为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 t 的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 t 的部分，按每吨 2.6 元收费.设某用户月用水量 x t，自来水公司应收的水费为 y 元. (1) 试写出 y (元) 与 x (t) 之间的函数关系式. (2) 该户今年 5 月份的用水量为 8 t，自来水公司应收水费多少元？ 解：当 x≤5 时，y＝2x； 当 x＞5 时，y＝10＋(x－5)×2.6＝2.6x－3. 解：∵ x＝8＞5，∴ y＝2.6×8－3＝17.8 (元). 如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形. (1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数表达式. h 是 x 的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值. 解：∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线， ∴ 由勾股定理，得 即 ∴ h 是 x 的一次函数，且 能力提升 （2）当 h = 时，求 x 的值. （3）求△ABC 的面积 S 与 x 的函数表达式. S 是 x 的一次函数吗？ 解: （2）当 h = 时，有 . 解得 x = 2. （3）∵ 即 ∴ S 不是 x 的一次函数. 一次函数 一次函数的概念 正比例函数的概念 函数关系式的确定 课堂小结 $$null