17.2.1 平面直角坐标系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

17.2 函数的图象 第17章 函数及其图象 1.平面直角坐标系 优翼八下数学教学课件（HS） 复习引入 在数轴上，如何确定一个点的位置呢? A 点记作 -2，B 点记作 3. 也就是说， 例如: 在数轴上一般用一个数据就可以表示一个点的位置． 导入新课 小明父子俩周末去电影院看某国产大片，买了两张票去观看，座位号分别是 3 排 6 号和 6 排 3 号. 怎样才能既快又准地找到座位？ 情境引入 思考2 你认为确定一个位置需要几个数据？ 思考1 老师在教室里想找一个学生： 提示1：只给一个数据“第 4 组”，你能确定老师要找的学生是谁吗？ 提示2：给出两个数据“第 4 组，第 2 排”，你能确定是谁了吗？ 用有序实数对确定点的位置 新课讲授 讲台 2 1 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 第2排 第4组 （组数，排数） 约定:组数在前，排数在后 (4，2) (1) 在座位表中“6 组 3 排”与“3 组 6 排”中的“ 6 ”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？ (2) 如果将“6 组 3 排”简记作(6，3)，那么“ 3 组 6 排”如何表示？(5，6)表示什么含义？ (6，5)呢? (3) 在教室里，确定一个座位一般需要几个数据？ 答：两个数据：组数和排数. 做一做 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？ 周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边 50 米，人民西路北边 30 米 的位置. 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 合作探究 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 想一想 4. 如果小明只说在“中山北路西边 50 米”，或只说在“人民西路北边 30 米”，你能找到吗？ 1. 小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2. 小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 3. 如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 若将中山路与人民路看作两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-50， 北 西 30） 人民路 中山路 在平面内画两条原点重合、 互相垂直的数轴且具有相同单位 长度的数轴.这就建立了平面直角 坐标系.通常把其中水平的数轴叫做 x 轴或横轴取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或 纵轴，取向上为正方向，两条数轴的交点 O 叫做坐标原点. y O x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 概念学习 思考：如何在平面直角坐标系中表示点呢？ 这样 P 点的横坐标是 -2，纵坐标是 3，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(-2，3). P(-2，3)就叫做点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称为点 P 的坐标. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 思考：如图，点 P 如何表示呢？ 再由 P 点向 y 轴画垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标. 先由 P 点向 x 轴画垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标. P N M 1 1 -1 -2 -3 -4 2 3 2 3 4 5 4 -1 -2 -3 -4 -5 0 A （4，3） x y 1. 找出点 A 的坐标. (1) 过点 A 作 x 轴的垂线，垂足在 x 轴上对应的数是 4； (2) 过点 A 作 y 轴的垂线，垂足在 y 轴上对应的数是 3. 点 A 的坐标为（4，3）. 试一试 由坐标找点的方法： (1) 先找到表示横坐标 3 与纵坐标 -2 的点； (2) 然后过这两点分别作 x 轴与 y 轴的垂线； (3) 这两条垂线相交于点 A， 则点 A 的坐标就是 (3，-2). x O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3 y 2. 在平面直角坐标系中 找点 A (3，-2). A A B C E F D 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 【答案】 A（-2，0） B（0，-3） C（3，-3） D（4，0） E（3，3） F（0，3） y O x 典例精析 例1 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标. 在直角坐标系中描出下列各点： A（4，3）， B（-2，3）， C（-4，-1）， D（2，-2）. 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 练一练 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域. 分别称为第一，二，三，四象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限. 直角坐标系中点的坐标的特征 活动1 观察平面直角坐标系，填写各象限内的点的坐标符号特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 A(4，5)，B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4) 所在的象限吗？ 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在 x 轴的正半轴上 在 x 轴的负半轴上 在 y 轴的正半轴上 在 y 轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 活动2 观察直角坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的特征: 交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 (-5，0)，(0，-5)，(3，0)，(0，3)，(0，0)所在的位置吗？你的方法又是什么？ 例2：在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. A(5，4)，B(-3，4)， C (-4 ，-1)，D(2，-4). 解： 如图，先在 x 轴上找到表示 5 的点，再在 y 轴 上找出表示 4 的点，过这两个点分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂线的交点就是点 A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点 A 在 第一象限，点 B 在第二 象限，点 C 在第三象限， 点 D 在第四象限. (5，4) (-3，4) (-4 ，-1) (2，-4) 例3 设点 M (a，b) 为平面直角坐标系中的点． (1) 当 a > 0，b < 0 时，点 M 位于第几象限？ (2) 当 ab > 0 时，点 M 位于第几象限？ (3) 当 a 为任意有理数，且 b < 0 时，点 M 位于哪里？ 解：(1) 点M 在第四象限. (2) 可能在第一象限 (a > 0，b > 0) 或者在第三象限( a < 0，b < 0 ). (3) 可能在第三象限 (a < 0，b < 0 ) 或者第四象限 (a > 0，b < 0 ) 或者 y 轴负半轴上 (a = 0，b < 0)． 练一练 在平面直角坐标系中，点 P (m，m－2) 在第一象限内，则 m 的取值范围是_______． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于 m 的一元一次不等式 组 解得 m＞2. m＞2 【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 例4 点 A (m＋3，m＋1)在 x 轴上，则 A 点的坐标为( ) A. (0，－2) B. (2，0) C. (4，0) D. (0，－4) 【解析】点 A(m＋3，m＋1)在 x 轴上，根据 x 轴上点的坐标特征知 m＋1＝0，求出 m 的值代入 m＋3 中即可． B 【方法总结】坐标轴上的点的坐标特点：x 轴上的点的纵坐标为 0，y 轴上的点的横坐标为 0. 根据点的坐标的特征确定字母取值，进而求出点的坐标． 问题1：已知点 A 和一条直线 MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? 互动探究 A A′ M N 则 A′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点. O （2）延长 AO 至 A′，使 OA′ = AO. （1）过点 A 作 AO⊥MN， 垂足为点 O， 直角坐标系中对称点的坐标的特征 x y O 问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于x 轴的对称点吗? A (2，3) A′(2，-3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗？ x y O 做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点. C (3，-4) C'(3，4) B(-4，2) B'(-4，-2) (x，y) 关于 x 轴 对称 ( ， ) x -y 知识归纳 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等，纵坐标互为相反数. 练一练: 1.点 P (-5，6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为__________. 2.点 M (a，-5) 与点 N (-2，b) 关于 x 轴对称，则 a =_____，b =_____. (-5，-6 ) -2 5 x y O A (2，3) A′(-2，3) 问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于y 轴的对称点吗? 你能说出点A 与点 A' 坐标的关系吗？ x y O 做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点. C (3，-4) C'(-3，-4) B(-4，2) B'(4，2) (x，y) 关于 y 轴 对称 ( ， ) -x y 知识归纳 关于 y 轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数，纵坐标相等. 练一练: 1. 点 P(-5，6) 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标为________. 2. 点 M(a，-5)与点 N(-2，b) 关于 y 轴对称，则 a =____， b =_____. (5，6 ) 2 -5 如图，分别写出以下各点关于原点对称的点的坐标. -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x y 4321 -1 -2 -3 -4 E B A D C H F G M N Q 思考：关于原点对称的两点的坐标又有何特征呢？ P A(3，1)， B(1，3)， P(0，3)， C(-1，3)， D(-3，1)， M(0，3)， E(-3，-1) F(-1，-3) Q(0，-3) G(1，-3) H(3，-1) N(0，-3) O x y （x，y） M N （-x，-y） 总结归纳 关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 做一做 点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ） A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称 C.关于 y 轴对称 D.不能构成对称关系 B 例5 已知点 A (2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)． (1)若点 A、B 关于 x 轴对称，求 a、b 的值； (2)若 A、B 关于 y 轴对称，求 (4a＋b)2022 的值． 解：(1)∵点 A、B 关于 x 轴对称， ∴ 2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0. 解得 a＝－8，b＝－5. (2)∵A、B 关于 y 轴对称， ∴ 2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b. 解得 a＝－1，b＝3. ∴ (4a＋b)2022 ＝ 1. 解决此类题可根据关于 x 轴、y 轴对称的点的特征列方程(组)求解． 例6 已知点 P (a＋1，2a－1)关于 x 轴的对称点在第一象限，求 a 的取值范围． 解：依题意得 P 点在第四象限， 解得 即 a 的取值范围是 方法总结：解决此类题，一般先根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内坐标的符号，列不等式(组)求解． 1. 如图，点 A 的坐标为 ( ) A. ( -2，3) B. ( 3，-2) C . ( -2，-3) D . ( 2，3) x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A A 当堂练习 2. 如图，点 A 的坐标为 ， 点 B 的坐标为 . x y O 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 -1 -2 A B (-2，0) (0，-2) 3. 在 y 轴上的点的横坐标 是______，在 x 轴上的点 的纵坐标是______. 4. 点 M（- 8，12）到 x 轴 的距离是______，到 y 轴 的距离是______. 0 0 12 8 5. 设点 M（x，y）在第二象限，且 | x | = 2，| y | = 3，则点 M 关于 y 轴的对称点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（-2，3） C．（-3，2） D．（-3，-2） A 6. 如图，点 P（-1，2）关于过点 （1，0）且垂直于 x 轴的直线 l 的对称点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） C l A（3，6） B（0，－8） C（－7，－5） D（－6，0） E（－3.6，5） F（5，－6） G（0，0） 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 y 轴负半轴上 x 轴负半轴上 原点 7.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ 8.已知点 P (a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点 P 的坐标． （1）点 P 在 x 轴上； （2）点 P 在 y 轴上； 解：（1）∵点P(a－2，2a+8)在 x 轴上， ∴2a+8 = 0，解得a = －4， 故a－2 = －4－2=－6，则 P (－6，0)； （2）∵点 P (a－2，2a+8)在y轴上， ∴a－2 = 0，解得 a = 2， 故2a+8 = 2×2+8 = 12，则 P (0，12)； 8.已知点 P (a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点 P 的坐标． （3）点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQ∥y 轴； 解：∵点 Q 的坐标为(1，5)，直线 PQ∥y 轴， ∴a－2 = 1， 解得 a = 3， 故2a+8 = 14，则 P (1，14)； 8.已知点 P (a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点 P 的坐标． （4）点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等． 解：∵点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等， ∴a－2 = 2a+8 或 a－2+2a+8 = 0， 解得 a = －10 或 a = －2， 故当 a=－10时，则a－2 = －12，2a+ 8= －12， 则P(－12，－12)； 故当a = －2时，则a－2 = －4，2a+8 = 4， 则 P(－4，4)． 综上所述，P(－12，－12)，(－4，4)． 平面直角坐标系 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 对称点的坐标特征 点的坐标的确定 课堂小结 $$