17.1 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

17.1 变量与函数 第17章 函数及其图象 第1课时 变量与函数的概念及函数的表示方法 优翼八下数学教学课件（HS） 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化. 情境引入 导入新课 气温随海拔的变化而变化. 汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化. 为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律. 我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化，那我们 如何来研究各种运动变化呢? 数学上常用变量与函数来 刻画各种运动变化. 变量与函数 导入新课 问题1 如图，用热气球探测高空气象. 当 t = 3 min，h 为 650 m 设热气球从海拔 500 m 处的某地升空，它上升后到达的海拔高度 h m 与上升时间 t min 的关系记录如下表： 时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度 h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 … 当 t = 2 min，h 为 600 m 当 t = 1 min，h 为 550 m 当 t = 0 min，h 为 500 m （1）计时一开始，热气球的高度是多少？ （2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？ （3）你能总结出 h 与 t 的关系吗？ 500 m 500 + 50×1 = 550 m 500 + 50×2 = 600 m 500 + 50×3 = 650 m … 500 + 50t = (500 + 50t) m h = 500 + 50t （4）哪些量发生了变化？哪些量 没有发生变化？ 保持不变的量 （常量） 热气球原先所在的高度 500 m 热气球上升的速度 50 m/min 不断变化的量　　　　　　 热气球升空的时间 t min 热气球升空的高度 h m （变量） 因别人变化而变化的量（因变量）__________. 自我发生变化的量（自变量）__________； （5）热气球上升的高度 h 与时间 t，这两个变量之间有关系吗？ t h 结论：在一个变化的过程中，可以取不同数值的量，称为变量，取值固定不变的量称为常量(或常数). 时间 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度 h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 … 典例精析 例1 指出下列事件过程中的常量与变量. (1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ； (2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 . 5 a，m 2，π C， r 注意：π 是一个确定的数，是常量 S，h 　　 指出下列变化过程中的变量和常量： 　 （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说用了 t 天，平均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2． （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为 α，则另一个锐角 β (度)与 α 间的关系式是 β = 90－α. 练一练 例2 阅读并完成下面一段叙述： 1. 某人持续以 a 米／分的速度用 t 分钟时间跑了 s 米，其中常量是 ，变量是 . 2. s 米的路程不同的人以不同的速度 a 米／分各需跑的时间为 t 分，其中常量是 ，变量是 . 3. 根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： .　　　　　　　　　　　 在不同的条件下，常量与变量是相对的 a t，s s a，t 问题2 下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O (1) 你发现哪些是变量？ 　　　 哪个是自变量？ 　 哪个是因变量？ 为什么？ (2) 任意给出这一天中的某一时刻，如 4.5 h、20 h，你 能找到这一时刻的用电负荷 y MW（兆瓦）是多少 吗？说明了什么？ 时间、负荷 时间 负荷 因为负荷随着时间的变化而变化. 能，分别为 10000 MW、15000 MW； 说明 t 的值一确定，y 的值就唯一确定了. (3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？ 这一天的用电高峰在 13.5 h 达到 18000 MW，用电低谷在 4.5 h 达到 10000 MW. 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间有下列经验公式： 问题3 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离. 刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. (1) 式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变量？哪个量是因变量？ 256 s，v v s (2) 当刹车时车速 v 分别是 40、80、120 km/h 时，相应的刹车距离 s 分别是多少？ 当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m； 当 v＝80 km/h 时，s＝25 m； 当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m. 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y， 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，我们就说 x 是自变量， y 是因变量. 概念学习 典例精析 例3 下列关于变量 x ，y 的关系式：y = 2x + 3；y = x2 + 3；y = 2|x|；④ ；⑤y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 方法 一个 x 值有两个 y 值与它相对应 问题2：用热气球探测高空气象 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 … 问题1：汽车刹车问题 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法. 我们把通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 函数的表示方法 问题3：绘制气温变化曲线 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 温度T(C) 2 4 6 8 -2 -4 0 我们把用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法. 函数的三种表示法： y = 2.88x 图象法、 列表法、 解析法． 1 4 9 16 25 36 49 知识要点 列表法 图象法 解析法 定义 实例 优点 通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 问题2 具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法 问题3 直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律 用数学式子表示函数关系的方法 问题1 准确地反映了函数随自变量变化的数量关系 函数三种表示方法的区别 1. 设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数. 60 s = 60t t 和 s s t 2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q（kg）与流出时间 t（min）之间的函数关系式是 . Q = 30 - 0.5t 当堂练习 3. 写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数. (1) 运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒) 的关系式； (2) n(n＞3) 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式. 解：(1) ，其中 200 是常量，v、t 是变量，v 是自变量，t 是 v 的函数. (2) ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变量，n 是自变量，s 是 n 的函数. 4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. 　（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）某村的耕地面积是 106 m2，这个村人均占有耕地 面积 y （单位：m2）随该村人数 n 的变化而变化； （3）P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x， 它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 解：（1）S 是 x 的函数，其中 x 是自变量. （2）y 是 n 的函数，其中 n 是自变量. （3）y 不是 x 的函数. 例如，到原点的距离为 1 的点对应实数 1 或 -1. 函数 定义：自变量、因变量、常量 函数的表示方法：解析法， 列表法和图象法 课堂小结 $$