16.3 第2课时 分式方程的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第16章 分 式 第2课时 分式方程的应用 优翼八下数学教学课件（HS） 问题引入 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 3. 验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种是代入原分式方程.通常使用第一种方法. 导入新课 4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本等量关系式是什么？ 基本上有 4 种： (1) 行程问题：路程 = 速度×时间以及它的两个变式； (2) 数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法； (3) 工程问题：工作量 = 工时×工效以及它的两个变式； (4) 利润问题：批发成本 = 批发数量×批发价； 打折销售价 = 定价×折数÷10； 销售利润 = 销售收入一批发成本； 每本销售利润 = 定价一批发价； 利润率 = 利润÷进价. 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 =“1” 设乙单独完成这项工程需要 x 天. 列分式方程解决工程问题 新课讲授 解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以 2x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量 =“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要 x 天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 工作时间(月) 工作效率 工作总量 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为 “3 行 4 列” 知识要点 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率； 3. 弄清基本的数量关系，如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和”. 4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时. 解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 做一做 解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要(x＋3) 小时． 由题意得 . 解得 x＝6. 经检验 x＝6 是方程的解．∴ x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需 9 小时． 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 2. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操纵员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各输入 2640 个数据，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 解：设乙每分钟输入 x 个数据，则甲每分钟输入 2x 个数据. 依据题意，得 解得 x = 11. 经检验：x = 11是原方程的解. 当x = 11时2x = 22，所以乙用了 240 分钟，甲用了 120 分钟，甲比乙少用 120 分钟，符合题意. 答：甲每分钟输入 22 个数据，乙每分钟输入 11 个数据. 例2 朋友们约着一起开着 2 辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了 200 km 时，发现小轿车车只行驶了 180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少 km/h？ 0 180 200 列分式方程解决行程问题 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x + 10 x 分析：设小轿车的速度为 x km/h. 面包车行驶的时间 = 小轿车行驶的时间 等量关系： 列表格如下： 解：设小轿车的速度为 x km/h，则面包车的速度为 x + 10 km/h，依题意得 解得 x ＝ 90 经检验，x ＝ 90 是原方程的解， 且 x = 90，x+10 = 100，符合题意. 答：面包车的速度为 100 km/h，小轿车的速度为 90 km/h. 注意两次检验: (1)是否是所列方程的解； (2)是否满足实际意义. 做一做 1. 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了 200 km，小轿车行驶了 180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在 300 km 的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少 km/h？ 0 180 200 300 解：设小轿车提速了 x km/h，依题意得 解得 x＝30 经检验，x＝30 是原方程的解，且 x＝30，符合题意. 答：小轿车提速了 30 km/h. 2.两车发现跟丢时，面包车 行驶了 200 km，小轿车行 驶了 180 km，小轿车为了 追上面包车，他就马上提 速，他们约定好在 s km 的 地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少？ 0 180 200 S 路程 速度 时间 面包车 小轿车 s-200 s-180 100 90+x 解：设小轿车提速为 x km/h，依题意得 解得 x = 3. 小轿车平均提速 v km/h， 用相同的时间，小轿车 提速前行驶 s km，提速 后比提速前多行驶 50 km， 提速前小轿车车的平均速度为多少 km/h？ 0 s s + 50 路程 速度 时间 提速前 提速后 s s+50 x x+v 解：设小轿车提速前平均速度为 x km/h， 依题意得 解：设小轿车提速前平均速度为 x km/h， 依题意得 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审：审清题意，找出相等关系； 2. 设：设出未知数； 3. 列：列出方程； 4. 解：解这个分式方程； 5. 验：验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6. 答：写答案. 例3 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是 15 元，今年 7 月的水费是 30 元.已知今年7月的用水量比去年 12 月的用水量多 5 m3，求该市今年居民用水的价格. 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年 7 月的用水量－去年 12 月的用水量 = 5m3. 列分式方程解决商业问题 解：设该市去年居民用水的价格为 x 元/m3，则今年的水价为 元/m3，根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根. 答：该市今年居民用水的价格为 2 元/m3. 例4 某果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余的水果. (1) 求第一次水果的进价是每千克多少元； 解析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案； 解：设第一次购买的进价为 x 元，则第二次的进价为 1.1x 元， 根据题意得 ， 解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克 6 元． (2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． 解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克). 第二次购买水果 200＋20＝220 (千克). 第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)， 第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6) ＝－12 (元). 所以两次共盈利 400－12＝388 (元). A. B. C. D. 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 (　　) A 当堂练习 2. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达. 已知 A、B 两地相距 80 km，水流速度是 2 km/h，求轮船在静水中的速度. 解：设船在静水中的速度为 x km/h，根据题意得 解得 x = ±18. 检验：x =－18 不合题意，舍去，故 x = 18. 答：船在静水中的速度为 18 km/h. 方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得 80x + 160－80x + 160 = x2 －4. 3. 农机厂到距工厂 15 km 的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为 x km/h，依题意得 解得 x＝15. 经检验，x＝15 是原方程的根. 由 x＝15 得 3x＝45. 答：自行车的速度是 15 km/h，汽车的速度是45 km/h. 4. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请问篮球和排球的单价各是多少元？ 解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 (x＋60) 元，根据题意，列方程得 解得 x＝100. 经检验，x＝100 是原方程的根，当 x＝100 时，x＋60＝160. 答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元． 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三列四解五验六答 321法 课堂小结 $$