16.3 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（华东师大版）

16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第16章 分 式 第1课时 分式方程及其解法 优翼八下数学教学课件（HS） 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程为 . 问题引入 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一 次方程有什么区别？ 导入新课 问题1 一艘轮船在顺水时航行 80 千米和在逆水时航行 60 千米用的时间相同，已知水流的速度是 3 千米/时，问轮船在静水中的速度 x 千米/时应满足怎样的方程. 分式方程的概念 新课讲授 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园， 某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？ 思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？ 分母中都含有未知数. 分式方程的概念 分式方程的特征 分母中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数. 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x). 解：方程两边同乘 (30 + x)(30 - x)，得 90(30 - x) = 60(30 + x)， 解得 x = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 5 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 5 和 x2 - 25 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 例1 解方程： 解 ：方程两边都乘最简公分母x(x－2)，得 解这个一元一次方程，得 x = －3. 检验：把 x=－3 代入最简公分母，得 因此 x = －3 是原分式方程的解． 典例精析 解：两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)， 得 x+2 = 4. 解得 x = 2. 检验：把x = 2代入原方程，最简公分母为 0，分式无意义. 因此x = 2不是原分式方程的解，从而原方程无解. 提醒：在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现使最简公分母（或分母）为零的根是增根. 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 例3 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________． 解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1. ∵ 关于 x 的方程 的解是正数， ∴ x＞0 且 x≠1. ∴ -a -1＞0 且 -a -1≠1，解得 a＜-1 且 a≠-2. ∴ a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2. a＜-1 且 a≠-2 例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零． 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 方法总结 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( ) D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　) A. B. C. D. D 当堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( ) A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8 C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8 A 4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5 D 5.解方程 解： 方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得 x = 9. 检验：当x = 9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 6.解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当x = 1时， (x-1)(x+2) = 0， 因此x = 1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 7. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入最简公分母，得 所以原方程的解为 8.若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以 x-2， 得2-x+m = 2x-4， 合并同类项，得3x = 6+m， ∴m = 3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴x = 2， ∴m = 0. 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程 课堂小结 $$