18.1 第1课时 勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（沪科版）

勾股定理，这是什么三角形？再说具体点，直角三角形，此乃勾股形也。你说啥，古时候直角三角形就叫勾股形，两条直角边里短的是勾，长的为股，斜边则叫嫌，注意是咸不是咸，直角边的长度分别记为A和B斜边长度记为C则一定有A的平方加B的平方等于C的平方，这就是勾股定理，好神奇，数和形的完美结合。正因如此，古今中外的很多人都为他疯狂，中国的山高、赵爽、刘辉，古希腊的毕达哥拉斯、欧几里得，甚至还有美国总统回头看毕达哥拉斯。他证明了勾股定理之后特别嗨，直接杀了100头牛祭祀，所以这个定理也叫毕达哥拉斯定理或者百牛定理。牛也太可怜了吧，但是有个人比牛还可怜，那就是毕老的学生西帕索斯。作为一个好奇的宝宝，他提了一个问题，如果一个等腰直角三角形的直角边长为一，那么这个三角形的斜边长是多少呢？毕达格拉斯大手一挥算，直角边的平方都是一的平方，也就是一加起来等于2，换句话说，斜边的平方就是2，谁的平方等于二呢？这个数怎么找也找不到，根本无法用整数或分数表示。疲劳很受伤，后果很严重，奇葩索斯就被扔到海里喂鱼了。但是，知识的进步不会就这样被抹杀。西帕索斯的问题引发了第一次数学危机，大大拓宽了人们对数的认识，而这一切都源于勾股定理简单明了的结论。对了，上课可要积极发言，放心，你的老师是一定不会拿你喂鱼的。 18.1 勾股定理 第18章 勾股定理 第1课时 勾股定理 优翼八下数学教学课件（HK） 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 情景引入 导入新课 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解. 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了它，下面让我们一起通过视频来了解吧！ 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）： A B C 问题1 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？ 勾股定理的认识及验证 新课讲授 A B C 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形 三边之间有什么特殊关系？ 6 问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的边长为单位 1)： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？ 方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图： 右图： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形)： 左图： 右图： 你还有其他方法求 C 的面积吗？ 根据前面求出的 C 的面积直接填写下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 右边的动图形象地说明了命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！ a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形. 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 + b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 课外链接 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得： 欧几里得证明勾股定理 推荐书目 在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. （a、b、c 为正数） 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2. 公式变形： 勾股定理 a b c 归纳总结 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2 + 股2 = 弦2 小贴士 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = c. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解：(1) 由勾股定理得 (2) 由勾股定理得 C A B 利用勾股定理进行计算 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a； (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 解： (1)设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52， 解得 (2) ∠A = 30°，b = 15， 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152， 解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 归纳 【变式题2】在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长. 解：由于斜边不确定，需分类讨论： 当 AB 为斜边时，如图①， 当 BC 为斜边时，如图②， 4 3 A C B 4 3 C A B 图① 图② 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 归纳 例2 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 由直角三角形的面积求法可知，直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理结合使用． 归纳 练一练 根据标注的面积，求下图中未知边长 x，y 的值： 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15. 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5. 1. 下列说法中，正确的是 （ ） A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2 D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2 C 2. 图中阴影部分是一个正方形， 则此正方形的面积为 cm². 8 cm 10 cm 36 当堂练习 3. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 a = 15，b = 8，则 c = ； （2）若 c = 13，b = 12，则 a = . 4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长 为___________. 17 5 2 或 10 5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角 形的面积. 解：设另一条直角边长是 x cm. 由勾股定理得 152 + x2 = 172， 即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64， 解得 x = ±8（负值舍去）. 所以另一直角边长为 8 cm. 直角三角形的面积是 (cm2). 6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1，求△ABC 的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°． 在 Rt△ADB 中，∵∠B +∠BAD = 90°，∠B = 45°， ∴∠B =∠BAD = 45°. ∴ BD = AD = 1. ∴ AB = . 在 Rt△ADC 中，∵∠C = 30°， ∴ AC = 2AD = 2. ∴ CD = . ∴ BC = BD + CD = 1 + . ∴△ABC 的周长为 AB + AC + BC = . 解：∵ AE＝BE， ∴ S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵ AE2＋BE2＝AB2，∴ 2AE2＝AB2. ∴ S△ABE＝ AB2 ＝ . 同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵ AC2＋BC2 ＝ AB2， ∴ 阴影部分的面积为 AB2＝ . 7. 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3，求△ABE 及阴影部分的面积. 能力提升： 勾股定理 内容 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 课堂小结 $$