第一章 1.3 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 三角形的证明 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 三角形三边的垂直平分线与作图 线段的垂直平分线的性质与判定 1.3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 八年级下册数学（北师版） 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 数学建模 情景导入 求证三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等 线段垂直平分线的判定 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 三角形三边的垂直平分线的性质 1 合作探究 已知： 求证： B C A P 如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P. 边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC. 探究新知 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l 是 AB 的垂直平分线 m 是 BC 的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点 P 在 AC 的垂直平分线上 分析： 证明：连接 PA，PB，PC. B C A P l n m ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). ∴ PB = PC. ∴PA = PB，PA = PC ( 线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等 ). ∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 归纳总结 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 试一试 做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形都全等吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h. 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h. Al D C B A a h (D) C B A a h Al D C B A a h Al 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 尺规作图 2 (2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？ 例 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a， 高 AD = h. l D C B a h A 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 典例精析 (1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B. B A 作法： 2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. ● P C D (3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l 过 P 的垂线. (2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长 为半径作圆，相交于 C、D 两点. 试一试 回顾导入 食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置. 解：如图所示， 连接 AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点 P 为所求. 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. A B C P l1 l2 l3 2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. 当堂小结 1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( ) A．80° 　　 B．70° C．60° D．50° C B A D E C 课堂练习 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. F A B C E G D 证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴EG＝EC. ∴△DEG≌△AEC (ASA). ∴∠CAE＝∠CDF. ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. 又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°. ∴ AE＝DE. ∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. F A B C E G D 作法：(1) 作直线 l. 3. 已知：线段 a. 求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a. E D l A B a C N M a a (5) 连接 AB. △ABC 就是所求作的三角形. (4) 在射线 CE 上截取 CA = a， 在射线 CM 上截取 CB = a. (3) 作线段 DE 的垂直平分线 MN 交 DE 于 C. (2) 在直线 l 上任取一条线段 DE. $$