第一章 1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 三角形的证明 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 直角三角形全等的判定 直角三角形的性质与判定 1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 第1课时 直角三角形的性质与判定 八年级下册数学（北师版） 直角三角形的两个锐角互余. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 复习回顾 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 直角三角形的性质与判定 1 △ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°. 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么? 探究新知 ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形. ∴∠C = 90°. 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 2 a c b 勾 弦 股 勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. 证法1 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 证明欣赏 c ∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ， c 2 = a 2 + b 2， ∴ a 2 + b 2 = c 2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． c 2 4× ab + ( b - a ) 2 证法2 赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？为什么？ A B C 已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2. 求证：△ABC 是直角三角形． 例1 证明此命题： 分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自 己写出证明过程吗？ 证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°， DE = AC，FE = BC， 则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理). ∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)， ∴ AB 2 = DF 2. ∴ AB = DF. ∴△ABC≌△DFE (SSS). ∴∠C =∠E = 90°. ∴△ABC 是直角三角形． D F E ┏ A B C 定义总结 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3) 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4) 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 互逆命题与互逆定理 3 合作探究 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流. 观察上面三组命题，你发现了什么? 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 说出下列命题的条件和结论： 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 归纳总结 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗? 想一想 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 举特例： 原命题：2 = 2，22 = 22； 逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2 此原命题是真命题；逆命题是假命题. 1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1) 两条直线平行，内错角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 内错角相等，两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 成立 不成立 练一练 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2” “定理3与定理4” 都为互逆定理. (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 归纳总结 注 意 直角三角形 角的性质 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理1：直角三角形的两个锐角互余 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形 当堂小结 互逆命题与 互逆定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 【解析】Rt△ABC 中，AB 2 = AC 2 + BC 2 = 100， ∴ AB = 10 cm. BE = AB = 5 cm. B 课堂练习 2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？ 试举出几个例子说明. (1) 同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真 (2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形， 那么它有两个角相等. 真 $$