第一章 1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 等腰三角形 等边三角形的性质 三角形的证明 等腰三角形的性质 线段的垂直平分线 角平分线 直角三角形 等边三角形的判定及含 30° 角的 直角三角形的性质 等腰三角形的判定与反证法 1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定及含 30° 角的 直角三角形的性质 八年级下册数学（北师版） 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，则 AC 长多少米？ 情景导入 探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 请证明自已的结论，并与同伴交流. 1 等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 探究新知 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A =∠ B， 证一证 ∴ AB = AC = BC. ∴ AB = AC. ∵∠B =∠C， ∴ AC = BC. 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. ∴ △ABC 是等边三角形. www.czsx.com.cn A B C 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ ∴ AB = AC = BC. ∴∠A =∠B =∠C. ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形. 定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是 60°. A C B 60° 【验证】 www.czsx.com.cn 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由. A C B D E 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD＝AE. 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∵ AD＝AE， ∴△ADE 是等腰三角形. ∴△ADE 是等边三角形. 又∵∠A＝60°. 回顾导入 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(BC 为小路端点)和一棵小树(A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米， 则 AC 长多少米？ AC = 48 米 含 30° 角的直角三角形的性质 2 操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 30° 30° 想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°. 求证： BC = AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 30° 30° 猜想验证 ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， 30° A B C D 证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD. ∴ △ABD 是等边三角形 ( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC＝ BD ＝ AB. ∴ AB＝AD ( 全等三角形的对应边相等). ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∵ AC＝AC， ∴∠ACD＝90°，∠B＝60°. 还有别的方法吗？ 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直 角边等于斜边的一半) A B C 30° 拓展推论：BC∶AC∶AB ＝ 定义总结 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ AB. C B A D 证明：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角). ∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°. C B A D ∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等 于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∵ CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴ CD＝ AB. 证明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90° ∴ BC = ∠B = 60°． ∴∠BCD = 30°． ∴ BD = ∴ BD = 例3 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．求证：BD＝ D A C B 30° 1. 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 2. 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想. 当堂小结 1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则 △ABC 的周长为_____cm. 9 2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，则 AC =_____，BC =______． A B C 3 30° 6 课堂练习 3. 已知：如图，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA， 且 DF 平分∠CDE. 求证：△ABC 是等边三角形. 证明： ∵ AB＝BC， ∴△ABC 是等边三角形. 又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE， ∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°. ∴△ABC 是等腰三角形， ∴∠EDF＝∠FDC＝60°. 又∵ DF∥ BA， $$