精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

衡阳县四中2024-2025学年下学期高一第一次月考卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又，所以，得到， 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由推不出，例如， 由可得或，当时不能推出， 例如； 所以是的既不充分又不必要条件， 故选：D 3. 已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则进行计算. 【详解】依题意得， 因为， 所以. 故选：C. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而形状为钝角三角形， 故选：B. 5. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律及模长坐标表示可得，再应用向量夹角公式求夹角. 【详解】因为，所以， 又，，所以，得， 所以， 因为，所以， 故选：C 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用“排除法”求解.先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值符号进行排除. 【详解】因为函数的定义域为， 且 . 所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误； 又， 而，即，所以， 所以，故C错误. B符合函数的性质. 故选：B 7. 已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合余弦函数性质计算可得，即可得，再将代入计算即可得. 【详解】由，则， 则有，解得， 则，又，则， 故. 故选：C. 8. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即.  当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时.  当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为.  的最大值为，最小值为，它们的差为.  故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 若，则 C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量与任意向量共线可判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断. 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量与任意向量共线，如，共线，但不相等，故B错误； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：CD. 10. （多选）在中，，则角A为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理可得.结合，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“五点法”求得的解析式，从而判断A，利用三角函数的平移规则可判断B，利用代入检验法可判断C，利用三角函数的最值性质可判断D，从而得解. 【详解】依题意可得，， 所以，又，解得，所以， 对于A：由图象知过点，即， 所以，则， 又，所以，所以，故A正确； 对于B：由的图象向左平移个单位长度 得到的图象，故B错误； 对于C：因为， 所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 对于D：若， 则取得最大（小）值且取最小（大）值， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得m，从而得到的坐标求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，所以， 则， 所以. 故答案为： 13. 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为， 所以 因为，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可. 【详解】均为正实数，， 当，即时，，即， ， 当时，取到最大值； 当时，； 综上所述，的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 平面内给定两个向量 （1）求夹角的余弦值. （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积，结合夹角余弦值，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 则夹角的余弦值. 【小问2详解】 由题意可得， 则. 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）设函数，若，求最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【小问1详解】 由题知， 因为，所以，且， 所以. 【小问2详解】 法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 17. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 18 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的取值范围； （3）若方程在上的解为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦及余弦公式化简得出，再根据正弦函数的单调增区间化简求解； （2）先根据平移得出，再应用有解得出，最后应用正弦函数值域结合二次函数值域即可求解； （3）应用有解结合三角函数对称性得出，再根据计算化简求值. 【小问1详解】 由得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 图象上的所有点向左平移个单位后，得到 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 因为， 所以当时， 令，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或，故的取值范围为． 【小问3详解】 因为为方程在上的两解， 在上的图象如图所示 因为，则． 由图可知，关于直线对称，所以，即 所以． 因为，所以 又因为，所以 所以 【点睛】关键点点睛：（2）解题的关键是把存在问题转化为，再解一元二次不等式即可. 19. 在中，角所对的边分别为. （1）若，求面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【小问1详解】 由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. 【小问2详解】 因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县四中2024-2025学年下学期高一第一次月考卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ） A. 0 B. C. 4 D. 8. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 若，则 C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若，则 10. （多选）在中，，则角A为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________． 14. 定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 平面内给定两个向量 （1）求夹角的余弦值. （2）求 16. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）设函数，若，求的最大值. 17. 中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 18. 已知函数 （1）求单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的取值范围； （3）若方程在上的解为，求． 19. 在中，角所对边分别为. （1）若，求的面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$