第1章 整式的乘除-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（2024.新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第1章 整式的乘除 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C B B B C A 1．（2分）（2024秋•宜昌期中）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 解：，故符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意． 故选：． 2．（2分）（2024春•滁州校级期中）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 解：．，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； ．，能用平方差公式进行计算，故该选项符合题意； ．，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； ．，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； 故选：． 3．（2分）（2024秋•天河区校级期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为　　 A． B． C． D． 解：长方形的面积为． 故选：． 4．（2分）（2024春•金水区期中）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 解：．，故不正确，不符合题意； ．，故不正确，不符合题意； ．，故不正确，不符合题意； ．，故正确，符合题意； 故选：． 5．（2分）（2024春•新华区校级期中）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为　　 A． B． C． D．3 解： ， 由条件可知． 解得． 故选：． 6．（2分）（2022春•龙胜县期中）计算：的结果是　　 A． B． C． D． 解：原式 ． 故选：． 7．（2分）（2024秋•宁远县期中）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据0.00092用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 解：． 故选：． 8．（2分）（2024春•雨花台区校级期中）若，是长方形的长和宽，，，则这个长方形的面积是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：，， ①， ②， ①②得：， ． 故选：． 9．（2分）（2024秋•杨浦区期中）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 解：令，则原式可化简为，则， 解得：，即． 故选：． 10．（2分）（2024春•花山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数” ，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为　　 A．255024 B．255054 C．255064 D．250554 解：设相邻的两奇数分别为，，且为正整数）， ， 根据题意得：， ， 最大为252，此时，， ． 故选：． 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置） 11．（2分）（2023春•三元区期中）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为的形式，则　　． 解：0.00000023科学记数法表示为， ． 故答案为：． 12．（2分）（2016春•高淳区期中）计算：　　． 解： ． 故答案为：． 13．（2分）（2022春•鹤城区校级期中）已知，，则的值为　　． 解：原式． 故答案为：． 14．（2分）（2023春•秦都区校级期中）如图，以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形的面积为 　6　． 解：设，， 四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ，， 解得：，， ， ， 长方形的面积为6， 故答案为：6． 15．（2分）（2024春•浦江县校级期中）已知：，计算：的值　8　． 解：， ， ， 故答案为：8． 16．（2分）（2024春•高新区校级期中）若多项式与多项式的乘积的展开式中不含项与项，则　5　． 解： ， 展开式中不含项与项， ，， 解得；，， ． 故答案为：5． 17．（2分）（2024春•裕华区校级期中）如果展开式中不含项，则　　． 解：． 展开式中不含项， ． ． 故答案为：． 18．（2分）（2024春•雁塔区校级期中）已知，，则的值为 　4　． 解：①， ②， ①②得， ． 故答案为：4． 19．（2分）（2024春•长安区校级期中）① ② ③ 题：猜想　　． 题：当，代数式　　． 解：（1）， 故答案为； （2），或， 当时，；当时，， 或0， 故答案为或0． 20．（2分）（2024春•简阳市期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是 　2699　． 解：设两个数分别为，，其中，且为整数．则． 设两个数分别为，，其中，且为整数．则，时，， 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 且为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，采用题目中小颖的方法，得到特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： 假设是智慧数，那么必有两个正整数和，使得， ①， 和这两个数的奇偶性相同， 等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． 把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组，并且是第三个数，即，是个奇数， 根据小明的方法可得： ，解得，， 即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 故答案为：2699． 三、解答题（本大题共8小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 21．（6分）（2024春•金牛区校级期中）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 解：（1），， ； （2），， ， ． 22．（6分）（2024春•西安校级期中）对于任意有理数，，，，我们规定☆． （1）填空：对于有理数，，若☆，，则　　； （2）对于有理数，，若，☆． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 解：（1）☆， ☆，， ． 故答案为：； （2）①由题意知， ☆， ， ， ， ， ； ②由图可知，， ，， ． 23．（8分）（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当　　时，有最小值是 　　（2）多项式有最 　　（填“大”或“小” 值，该值为 　　（3）已知，求的最值 （4）已知△的三边长、、都是正整数，且满足，求△的周长． 解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； （2）， ， 当时，的值最大，最大值是0， ， 当时，的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； （4）， ， ，， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4， △的周长为． 24．（8分）（2024秋•海安市期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例若，，试比较、的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学到了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较、的大小． 解：设， 则 ， ， 所以． 25．（8分）（2024春•西湖区校级期中）给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式． （1）关于的二次多项式的特征系数对为 　，2，　； （2）求有序实数对，0，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对，2，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 解：（1）根据题意可知关于的二次多项式的特征系数对为，2，． 故答案为：，2，； （2）有序实数对，0，的特征多项式为：， 有序实数对，，的特征多项式为：， ； （3）有序实数对，2，的特征多项式为：， 有序实数对，，的特征多项式为：， ， 有序实数对，2，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为， ，，， ，即的值为． 26．（8分）（2024春•蓬莱区期中）有两类正方形，，其边长分别为，．现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形，的面积之和为　13　． （2）小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形，外，还需要以，为边的长方形　　个． （3）三个正方形和两个正方形如图3摆放，求阴影部分的面积． 解：（1）设正方形，的边长分别为，， 由图1得，由图2得， 得，， 故答案为：13； （2） ， 需要以，为边的长方形7个， 故答案为：7； （3），， ， ， ， ， ， 图3的阴影部分面积 ． 27．（8分）（2023春•天长市校级期中）观察以下等式： （1）按以上等式的规律，填空： 　　； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：． 解：（1）； 故答案为：； （2）； （3）原式． 28．（8分）（2022春•巴中期中）阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　是　“友好数对”．（填“是”或“不是” （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　　和 　　． 因为它们是友好数对，所以　　． 即，，，的等量关系为：　　． （3）请从下面、两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同． ．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 解：（1），， ， 和84是友好数对． 故答案为：是． （2）一个数的十位数字为，个位数字为；另一个数的十位数字为，个位数字为， 交换后十位数字为，个位数字为，另一个的十位数字为，个位数字为， 两个数依次表示为，， 这两个数是友好数对， ， 化简得：． 故答案为：，，，． （3）选，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24， 只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一． 选，由（2）得：， 解得：， 两个两位数为：31和39． 选或选都可以，只要满足“友好数对”的定义即可． 故答案为：或 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$★期中复习真题汇编★ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期中复习培优检测（新教材） 第1章整式的乘除 检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.44（较难） 班级： 姓名： 学号： 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。多为常考题，易错题，压 轴题类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。试卷百分 制，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信 你能够取得满意成绩！ 一、选择题（本题共10道小题，每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的。 1.(2分)(2024秋·宜昌期中)下列运算正确的是() A.a2·a3=a B.(a2)3=a3 C.(a'b)'=a'b D.a5÷a3=a2 2.(2分)(2024春·滁州校级期中)下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是() A.(-m-n)(m+n)B.(3m-n)(3m+n)C.(-m+n)(m-n)D.(3m-n)(n-3m) 3.(2分)(2024秋·天河区校级期中)李老师做了个长方形教具，其中一边长为+2b,另一边长为b, 则该长方形的面积为() A.a+3b B.2a+6b C.ab+2b D.ab+2b2 4.(2分)(2024春·金水区期中)下列运算结果正确的是() A.a2+a2=2a B.(-3pg)2=-6p2q C.(a+b)2=a2+b2 D.x2.(-x)2=x 5.(2分)(2024春·新华区校级期中)已知关于x的多项式ar+1与3x2+x+2的乘积的展开式中不含x的 二次项，则a的值为() B C.-3 D.3 10)的结果是( 6.（2分)（202春·龙鞋县期中)计第：-京x0-启x-京x×0-的x- ) A.101 B.101 C.101 D. 200 125 100 100 7.(2分)(2024秋·宁远县期中)可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1cm可燃冰的质量仅为 第1页共7页 ★期中复习真题汇编★ 0.00092g·数据0.00092用科学记数法表示为( ) A.92×103 B.9.2×10 C.92×10-3 D.0.92×10-3 8.(2分)(2024春雨花台区校级期中)若a,b是长方形的长和宽，(a+b)2=20,(a-b)2=4,则这 个长方形的面积是() A,3 B.4 C.5 D.6 9.(2分)(2024秋·杨浦区期中)已知(x-2021)2+(x-2025)2-34,则(x-2023)的值是() A.5 B.9 C.13 D.17 10.(2分)(2024春·花山区校级期中)如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正 整数为“和谐数”如(8=32-12,16=52-32，即8,16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中， 所有的“和谐数”之和为() A.255024 B.255054 C.255064 D.250554 二、填空题（本题共10道小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题 卡上相应的位置) 11.(2分)(2023春·三元区期中)据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级 计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒.若 把数字0.00000023用科学记数法表示为2.3×10°的形式，则n=一 12.(2分)(2016春·高淳区期中)计算： 2015 20142+20162-2— 13.(2分)(2022春·鹤城区校级期中)已知2=3,4=5，则2-2”的值为， 14.(2分)(2023春·秦都区校级期中)如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出 “中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为一 15.(2分)(2024春浦江县校级期中)己知：2x+3y-3=0,计算：4·8"的值= 16.2分)（2024春·高新区校级期中)若多项式x+2p与多项式2-x+9的乘积的展开式中不含项 与x项，则2p+9=一 17.(2分)(2024春·裕华区校级期中)如果(x+gx+)展开式中不含x项，则q=一 第2页共7页 ★期中复习真题汇编★ 18.(2分)(2024春·雁塔区校级期中)已知(a+b)2=29,(a-b)2=13,则ab的值为 19.(2分)(2024春·长安区校级期中)①(x-1):(x+1)=x2-1 ②(x-1)(x2+x+1)=x3-1 ③(x-1)小(x3+x2+x+1)=x-1 A题：猜想(x-1)(x”+x"+…+x+1)=一 B题：当(-1)-（心5+x+x2+x2+x+1)=0,代数式x22-1=一 20.(2分)(2024春·简阳市期中)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为 “智慧数”，例如3=22-12,7=4-32,16=52-32,3,7,16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始， 第2022个智慧数是 三、解答题（本大题共8小题，共0分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 21.(6分)(2024春·金牛区校级期中)己知m+n=3,mn=-1. (1)求2"·2"+(2")的值： (2)求m2+n2+(m-n)的值. 第3页共7页 ★期中复习真题汇编★ 22.(6分)(2024春·西安校级期中)对于任意有理数a,b,c,d,我们规定(a,b)☆ (c,d)=a2-bc+d2. (1)填空：对于有理数x,素，若(x,k)☆x,)=(x±)，则k=: (2)对于有理数x,y,若x+y=12,(x+y,y)☆(2x+y,y)=104. ①求y的值： ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD,BF.若AB=2x, AD=x,EF=2y,FG=y,求图中阴影部分的面积 A x D 2x E 23,(8分)(2024春·江都区校级期中)王老师在讲完乘法公式(a±b)'=a2±2ab+b2的多种运用后，要 求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值，同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4r+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1因为(x+2)20, 所以当x=-2时，(x+2)的值最小，最小值是0. 所以(x+2)2+11. 所以当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 所以x2+4x+5的最小值是1. 依据上述方法，解决下列问题 (1)当x=时，x2+6x-15有最小值是(2)多项式-x2+2x+18有最（填“大”或“小”） 值，该值为一(3)己知-x2+5x+y+20=0,求y+x的最值 第4页共7页 ★期中复习真题汇编★ (4)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-2a-8b+17=0,求△ABC的周长. 24.(8分)(2024秋·海安市期中)有些大数值间题可以通过用字母代替数转化成整式问题米解决，请先 阅读下面的解题过程，再解答下面的问题 例若x=6789×6786,y=6788×6787,试比较x、y的大小. 解：设6788=a, 那么x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a. 因为x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2，所以x<y. 看完后，你学到了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若x=2007×2011-2008×2010,y=2008×2012-2009×2011,试比较x、y的大小. 25.(8分)(2024春·西湖区校级期中)给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次 多项式ar2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ar2+br+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多 项式 (1)关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为： (2)求有序实数对(1,0，)的特征多项式与有序实数对(1，-2,1)的特征多项式的乘积： (3)若有序实数对(0,2，m)的特征多项式与有序实数对(0，n,2)的特征多项式的乘积的结果为 6x2+x-2,求m的值. 第5页共7页 ★期中复习真题汇编★ 26.(8分)(2024春·蓬莱区期中)有两类正方形A,B,其边长分别为a,b,现将B放在A的内部得 图1，将A,B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的而积分别为1和12，求： (1)正方形A,B的面积之和为· (2)小明想要拼一个两边长分别为(2a+b)和(a+3b)的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A,B 外，还需要以a,b为边的长方形个. (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积. B B B 图1 图2 图3 27.(8分)(2023春·天长市校级期中)观察以下等式： (x+1)(x2-x+1)=x3+1 (+3)(x2-3x+9)=x3+27 (x+6)(x2-6x+36)=x3+216 (1)按以上等式的规律，填空：(a+b)(）=a3+b: (2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立： (3)利用(1)中的公式化简：(x+y)x2-y+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2)· 第6页共7页 ★期中复习真题汇编★ 28.(8分)(2022春·巴中期中)阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数， 若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例 如43×68=34×86=2924，所以43和68与34和86都是“友好数对”， (1)36和84“友好数对”.（填“是”或“不是”。） (2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a,个位数字为b,且ab: 另一个数的十位数字为c,个位数字为d,且c≠d,则a,b,c,d之间存在一个等量关系，其探究和说 理过程如下，请你将其补充完整 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d,将它们各自的十位数字和个位数字 交换位置后两个数依次表示为和一 因为它们是友好数对，所以(10a+b)10c+d)=一， 即a,b,c,d的等量关系为：， (3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择题， A,请再写出一对“友好数对”，与本题己给的“友好数对”不同. B,若有一个两位数，十位数字为x+2,个位数字为x,另一个两位数，十位数字为x+2,个位数字为 x+8,且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数。 第7页共7页