第10讲 基本立体图形（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第10讲 基本立体图形 学习目标： 1．理解棱柱、棱锥、棱台的定义，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能识别； 2．能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形; 3．理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体； 4．了解简单组合体的概念和基本形式 5．会根据旋转体的几何特征进行相关运算 重点难点： 重点：通过观察空间实物，概括多面体，旋转体以及基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆|锥、圆台、球等）的结构特征. 难点：运用多面体、旋转体的特征对现实生活中的简单几何体进行抽象概括. 一、空间几何体的分类 名称 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 二、多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 三、旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 四、组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 考点01棱柱、棱锥、棱台的结构辨析 1．下列命题中成立的是（    ） A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【答案】B 【详解】对A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起, 所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥，如图，故A错误； 对B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直， 则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确； 对于C，如图所示，若， 满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误； 对D，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体， 比如底面为三角形的直三棱柱，故D错误. 故选：B. 2．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 3．给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱； ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是 . 【答案】 【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错； 对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对； 对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体， 如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错； 对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示： 该几何体不是棱柱，④错. 故答案为：. 4．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【详解】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'. 故选：B. 5．下面图形中，为棱锥的是（    ） A．①③ B．③④ C．①②④ D．①② 【答案】C 【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥. 故选：C 6．（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 考点02旋转体的结构辨析 7．下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【详解】解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 8．下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 9．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 【答案】BD 【详解】对A：半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面， 球面围成的几何体叫作球，故A错误； 对B：以直角三角形的直角边所在直线为轴， 其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥，故B正确； 对C：当两个平行截面不平行于上、下两个底面时， 两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误； 对D：将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确． 故选：BD． 10．下列说法正确的是 .（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④ 【详解】对于①，以直角梯形直角腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台， 以直角梯形的斜腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，①错； 对于②，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，②错； 对于③，以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥，③对； 对于④，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，④对. 故答案为：③④. 11．下列几何体是台体的是( ) A．     B．    C．    D． 【答案】D 【详解】侧棱没有相交于一点，故不是台体 两个底面没有平行，不是台体 是棱锥，不是台体 是圆台 故选：D 考点03简单的组合体 12．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正确; 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画. 故选：C 13．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【答案】C 【详解】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用， 即1个面对应条棱，所以共有条棱， 所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数. 故选：C 14．指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．     ①            ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【详解】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 15．为每一个平板找出一个塞头，使这个塞头可以盖上这一平板的三个孔． 【答案】1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 【详解】能盖住第1块板的几何体的三视图，需要是正方形，三角形和长方形，圆，满足条件的只有5， 能盖住第2块板的几何体的三视图，需要是圆，如图的两个长方形，以及如图的三角形和长方形，满足条件的只有4， 能盖住第3块板的几何体的三视图，需要长方形，圆和如图的H型，满足条件的只有6， 能盖住第4块板的几何体的三视图，需要如图的两个长方形，圆，和门型，满足条件的只有1， 能盖住第5块板的几何体的三视图，需要圆，正方形和如图的L型，满足条件的只有3， 能盖住第6块板的几何体的三视图，需要如图的U型，三角形和正方形，满足条件的只有7. 所以答案是1—5，2—4，3—6，4—1，5—3，6—7． 16．如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    考点04平面展开图 17．画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 【答案】平面展开图见解析 【详解】图①沿着棱，，展开，得平面展开图如图所示． 图②沿着棱展开，得平面展开图如图所示． 18．若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【答案】 四棱台 前 程 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 19．在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称． 【答案】三棱台 【详解】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面与下底面平行，侧面与底面不垂直，所以该几何体为三棱台. 20．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为 ． 【答案】 【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，所以该正方形的边长为，     又圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长， 所以圆柱的底面圆半径为1， 故该圆柱一个底面的面积为， 故答案为：. 21．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 考点05旋转体中的简单计算 22．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（     ）cm. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长， 所以， 所以， 故选：C. 23．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 24．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，设圆台的母线交于点， 为圆台的母线，且，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍， 所以，所以，所以， 由圆台侧面展开图扇环的圆心角为, 所以下底面圆的周长为，所以，所以， 在直角梯形中，易求得. 故选：C. 25．已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得. 故选:B 26．已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆角的的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 27．将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 考点06截面问题 28．一个棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则所截得小棱锥与原棱锥的高之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C． D． 【答案】C 【详解】解：设截得小棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 因为截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 所以，则， 故选：C 29．圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 30．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 31．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于 . 【答案】 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 32．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 33．若棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为50，求该截面与棱锥底面之间的距离． 【答案】 【详解】根据题意，设截面与棱锥底面的距离为，则有，解得， 故该截面和底面的距离是. 考点07距离最短问题 34．如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 35．某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 36．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 37．圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 . 【答案】 【详解】 如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形， 设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半， 得：，即， 在中，点是的中点，由余弦定理得： ， 所以，故所求的最短距离为. 故答案为：. 38．已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 39．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为； 在中，，则． 所以的最小值为. 故答案为：. 基础试炼 1．下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 2．如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】B选项，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体； C选项，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体； D选项，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体； A选项，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意. 其余平面图形旋转得到的几何体如图：      故选：A 3．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【详解】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 4．圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆锥侧面沿母线剪开并展开成扇形，    则该扇形半径，弧长为，圆心角， 最短路线即为扇形中的线段，, 过作的垂线，垂足为，当蚂蚁从点爬行到点过程中，它与点的距离越来越小， 于是为上坡路段，当蚂蚁从点爬行到点的过程中，它与点的距离越来越大， 于是为下坡路段，下坡路段长. 故选：B 5．（多选）下列四个结论正确的有（   ） A．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； B．斜棱柱的侧面可能有矩形； C．正棱锥的底面是正多边形； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BCD 【详解】对于A，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故A错误； 对于B，斜棱柱的侧面是平行四边形，也有可能是矩形， 如图三棱柱，满足，则侧面为矩形，故B正确；    对于C，根据正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，故C正确； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BCD. 6．（多选）用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（    ） A．两条平行直线 B．两条相交直线 C．圆 D．椭圆 【答案】CD 【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆， 若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆. 故选：CD 7．在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 . 【答案】2 【详解】由长方体中心到顶点的距离为体对角线的一半，而体对角线长为， 所以此长方体的中心到顶点的距离为2. 故答案为：2 8．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得如图所示图形，则,, 过作于点，过作于点, 则，所以，即该正四棱台的高为.    故答案为：. 9．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    10．如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？ 【答案】①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 【详解】图①中，有5个平行四边形，且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点； 图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点； 图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点． 把平面展开图进行还原，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 11．如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 12．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 高阶突破 1．金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1，组成金刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正三棱锥放入正方体中，由题意为正方体中心，如图，    设正方体棱长为，则，， 在中，由余弦定理可得， 故选：D 2．如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连结， 圆锥底面圆的周长为，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为， 则，， ， . 故选：D 3．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 4．（多选）如图，等腰三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】若以为旋转轴旋转，形成的旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示： 若，则旋转体在平面内的投影如选项D所示； 若，则旋转体在平面内的投影为正方形； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如B所示； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如A所示； 所以综上可知ABD有可能是旋转体在平面α内的投影. 故选：ABD． 5．如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 6．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 7．一个空间14面体共有12个顶点，其表面均由边长为1的正方形和正三角形构成，且每个顶点处均有4条棱，则这个14面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设空间14面体的表面中，有个正方形，有个三角形， 于是，解得， 所以这个14面体的表面积为. 故选：B 8．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第10讲基本立体图形 ； 料目录 学习目标及重点难点 知识梳理 棱柱、棱锥、 棱台的结构辨析 旋转体的结构辨析 简单的组合体 基本立 平面展开图 体图形 考点剖析 旋转体中的简单计算 截面问题 距离最短问题 基础试炼 分层精炼 高阶突破 学司目标及重点点 学习目标： 重点难点： 1,理解棱柱、棱锥、棱台的定义，认识棱柱、棱 重点：通过观察空间实物，概括多面体，旋转体以 锥、棱台的结构特征，并能识别： 及基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、 2.能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形： 圆台、球等)的结构特征 3.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，认识这四种 难点：运用多面体、旋转体的特征对现实生活中的 几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体： 4,了解简单组合体的概念和基本形式 简单几何体进行抽象概括。 5. 会根据旋转体的几何特征进行相关运算 和积梳理 一、 空间几何体的分类 名称 定义 图示 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 由若干个平面多边形围成的几何 顶点 B 体叫做多面体 多面体 由一个平面图形绕它所在平面内 的一条定直线旋转所形成的封闭 旋转体 轴 几何体 二、多面体 定义 图形及表示 结构特征 一殷地，有两个面互相 用表示底面的各顶点的字 ①有两个面互相 A 平行： 平行，其余各面都是四 侧面 母表示棱柱，如右图棱柱 底面 棱 边形，并且每相邻两个 侧棱 ②各侧棱都互相 B顶点 ABCDEF-ABC DE F 平行，各侧面都 柱 四边形的公共边都互相 是平行四边形 平行，由这些面所围成 的多面体 一般地，有一个面是多 顶点 表示顶点和底面各顶点 ①有一个面是多 侧棱 边形： 边形，其余各面都是有 侧面 的字母表示棱锥。如图 棱 ②其余各面都是 一个公共顶点的三角 底面 所示的四棱锥可表示为 锥 有一个公共顶点 形，由这些面所围成的 棱锥S-ABCD. 的三角形， 多面体 用一个平行于棱锥底面 用表示底面各顶点的字母 ①上底面与下底 面是互相平行的 的平面去截棱锥，底面 顶点、C 表示棱台，如右图棱台 棱 上底面 相似多边形： 与截面之间的部分 B 台 侧面一 C侧棱ABCD-AB'CD ②侧面都是梯 D B 下底面 形： ③侧棱延长线必 交于一点 三、旋转体 定义 图形及表示 结构特征 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 以矩形的一边所在直线为旋 圆柱可以用表示 ①圆柱有无数条母线， 它们平行且相等 转轴，其余三边旋转形成的 它的轴的字母表 轴 ②平行于底面的截面是 面所围成的旋转体 侧面 示，右图所示的 柱 母线 与底面大小相同的圆. 底面 圆柱可以表示为 ③圆柱的任何一条母线 圆柱O0. 都平行于圆柱的轴. 以直角三角形的一条直角边 圆锥可以用表示 ①圆锥有无数条母线， §顶点 所在直线为旋转轴，其余两 它们有公共点即圆锥的 轴 它的轴的字母表 母线 侧面 顶点，且长度相等 圆 边旋转形成的面所围成的旋 示，右图所示的 母线 ②平行于底面的截面都 锥 转体 底面 圆锥可以表示为 是圆. 圆锥S0. ③过任意两条母线的截 面是等腰三角形 用平行于圆锥底面的平面去 圆台可以用表示 ①圆台有无数条母线， 上底面 截圆锥，底面与截面之间的 且它们相等，延长后相 它的轴的字母表 侧面 交于一点 部分 母线 0 示，右图所示的 ②平行于底面的截面是 圆 下底面 圆台可以表示为 圆 台 圆台O0. ③过轴的截面是全等的 等腰梯形. ④过任意两条母线的截 面是等腰梯形。 以半圆的直径所在直线为旋 可以用表示球心 球是旋转体，球的表面 转轴，半园面旋转一周形成 半径 的字母表示球， 是旋转形成的曲面，球 球的旋转体 球心 右图所示的球可 是球面及其内部空间组 以表示为球O 成的几何体. 四、组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成：②由简单几何体截去或挖去一部分而成 考点剖析 考，点01棱柱、棱锥、棱台的结构辨析 L.下列命题中成立的是() 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C.一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 2.(多选)下列命题中，正确的有() A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 3.给出下列命题： ①平行六面体是斜四棱柱： ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱： ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体： ④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱. 其中正确的是个数是一 4.如图，在三棱台A'B'CABC中，截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是() B A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 5.下面图形中，为棱锥的是() 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） ① ② ③ A.①③ B.③④ C.①②④ D.①② 6.(多选)如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是() A B A.48=2AB=3BG=3,BC=4 B.48=lMB=2BG=15,BC=3,4G=2,4C=3 C.48=lMB=2BG=1.5BC=3,4G=2,AC=4 D.4B=4B.BC=BC.CA-CA 考点02旋转体的结构辨析 7,下列说法正确的是() A,在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B.直四棱柱是长方体 C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 8.下列说法正确的是()， A.以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C。圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 9.(多选)下列结论中正确的是() A.半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B.直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 10.下列说法正确的是一·（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台： ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆： ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆 锥： ④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面. 11.下列几何体是台体的是( 考，点03简单的组合体 12.从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”·下列几何体 可以“一笔画”的是() B D 6 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 13.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它 们被称为柏拉图多面体如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：项点 数一棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为() A.30 B.20 C.12 D.10 14.指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的 ① ② 15.为每一个平板找出一个塞头，使这个塞头可以盖上这一平板的三个孔. 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 凸凸 凸©□ 凹△口 16.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转，其中AD1IBC,AD⊥CD,当点A在射线DE 上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点 E A B F 考，点04平面展开图 17.画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）， B ① ② 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 18.若一个几何体的平面展开图如图所示. 祝 你 似 前 锦 程 (1)该几何体是一： (2)该几何体中与“祝”字相对的是一，与“你”字相对的是一。 19.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的 几何体的名称. 4π2 20.某圆柱的侧面展开图是面积为“的正方形，则该圆柱一个底面的面积为一 2L.如图在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点 A,B,C重合，重合后记为点P B (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ 9 2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） (2)若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少？ 考点05旋转体中的简单计算 22.美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径 分别为25cm与5cm,汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱 之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：()m. 25cm 30cm 甲 乙 A.10W26 B.10W30 C.10V33 D.10W37 23.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高 为() A.25 B.3 C.5 D.25 180° 24.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为 其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则 该圆台的高为() A.25 C.5 b. 25.已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为☑的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为() 10