16.3.1 分式方程（学用）-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级下册数学（华东师大版）

第16 式 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程 知识梳理 3 r-1 *2+x-2 1.分式方程的概念 方程中含有分式,并且分母中含有 的方程叫做分式方程 2.解分式方程的步骤 (1)找最简公分母,如果分母是多项式,要 规律与方法:解分式方程,关键是找到最简 先 : 公分母,化为整式方程,方程两边在乘最简公分 (2)去分母:方程两边都乘 母时,不要漏乘了没有分母的项,也要注意前面 约去分母,将分式方程化为 是负号的式子去分母后的符号。 (3)解这个整式方程,得到整式方程的 【变式训练1】解分式方程 2x-2: (4)检验:代入最简公分母,如果最简公分母 的值为 ,则这个未知数的值是原分式方程 的 :如果最简公分母的值 则这个未知数的值是 (也 可直接代入原分式方程中,看是否使原分式方 程中 - 典例精析 考 点①解分式方程 r*+x2-x 6 指南针·八年级下册·数学(HS 考 点② 增根的概念 规律与方法:这类题是先去分母,化为整式方 程,求出未知数,此时方程的解含有待定系数,根据 已知,可求出待定系数的一个范围,然后令最简公 分母不为0,又可求出待定系数的一个范围,两者 结合即可求出待定系数的取值范围 【变式训练3】 (眉山中考)关于x的方程 -2 围是 规律与方法:增根是去分母后的整式方程的 课后演练 根且使最简公分母的值为0,这类题的解法是:先 去分母,可不化简,这样后面计算更简便,再令最 【基础过关】 简公分母为0,求出未知数的值,然后代入去分母 后的方程,求出其中的待定系数 的解,那么实数的值为 ( 若方程 【变式训练2】 (x+1)(x-1) _~ A.-2 B.2 C-4 D.4 ( 2.(齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程 A.-0 B.1 2x-m-1的解是负数,那么实数m的取值范 x十1 C.2--1 D.x-1或-1 围是 ( ~ 考 点③已知分式方程根的符号,求待定系 A.m<-1 B.m>-1且m0 数取值范围 C.m>-1 D.m<-1且m-2 2 2+m2 【例3】 若关于x的方程一 -22-π 3.对于实数a、b,定义一种新运算“”为;a 的解为正数,则的取值范围是多少 r-4 的解是 ( _~ A.x-4 B.c-5 C.x-6 D.=7 #一 ·18· 第16毫 式 【能力提升】 等,则x=___. -1 -2x+的解为整数,则整数a- =3有增根,则n=___. x+1 7.(雅安中考)若关于x的分式方程2- (2)若分式方程王 -2 -n-2有增根,则这 x-11-x 2-x 个增根是 10.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组 8.解方程: [x十3 2 至少有2个整数解,且关于y的 r*-4.x+4 2x-a>2 +4-2有非负整数解,则 分式方程-1 1-22-y 所有满足条件的整数a的值之和是 n x+2x-1-(x+2)(x- 一的 解为负数,试求的取值范围 (2)(眉山中考)3 x-12+1 (3)2+2+2r-2 r-2r2-2x .19· 指菊针·八年级下册·数学(HS) 核心素养 第2课时 分式方程的应用 12.阅读下列材料:x+1-c+的解是:cc, x 知识梳理 1 r= 二.1 7 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:审题,分析题中的已知事项,求什 . 么,明确各数量之间的等量关系; (2)设:设未知数,一般情况是求什么就设 3 什么; 23 (3)列:列方程,根据题中的等量关系列出 (1)请观察上述方程与解的特征,猜想方程 方程; _c+”(nz0)的解,并验证你的结论; (4)解:解方程 C (5)检:一是检验求出的解 (2)利用这个结论求解关于x的方程; ;二是检验求出的解 2-2 (6)答:回答题中的问题,注意不要漏 2-1 -1 写 典例精析 考 点1分式方程的应用(行程问题) 【例1】甲、乙两地相距14千米,在一次郊 游中,一部分人骑自行车先走40分钟后其余的 人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的 速度是自行车速度的3倍,求这两种车的速度 规律与方法:行程问题要抓关系:路程一速 度×时间,要找准题目中的主要等量关系,行程 问题还要注意:①速度的单位,②单位的统一。 .20·第16◆分或 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时分式方程 知 3 识 梳 (2)11-+x-2 解：(2)原方程化为1 3 1.分式方程的概念 9x-1(x+2)(x-1) 方程中含有分式，并且分母中含有未知 化简，得x+2=3, 数的方程叫做分式方程， 解得x=1,经检验，x=1不是原方程的解， 2.解分式方程的步骤 原方程无解 (1)找最简公分母，如果分母是多项式，要 规律与方法：解分式方程，关键是找到最筒 先分解因式； 公分母，化为整式方程.方程两边在乘最简公分 (2)去分母：方程两边都乘最筒公分母， 母时，不要漏乘了没有分母的项，也要注意前面 约去分母，将分式方程化为整式方程； 是负号的式子去分母后的符号， (3)解这个整式方程，得到整式方程的 【变式训练1】解分式方程： 解； (山两中考)+1-222 (4)检验：代入最简公分母，如果最简公分母 解：由题意得最简公分母为2(x一1)， 的值为0，则这个未知数的值是原分式方程 “.原方程可化为：2+2x-2=3. 的增根；如果最简公分母的值不为0， 则这个未知数的值是原分式方程的根（也 可直接代入原分式方程中，看是否使原分式方 程中分母为0). 检套：起x=号我入2x-D=1≠0，且原方 程左边=右边. 典例精析 小原方程的解为x= 2 考点①解分式方程 【例】字z十2 =6 (2)(湖北中考)2+xx-工 5 1 =0 x2-xx2-1 5 解：(1)原方程化为 屏：原方程麦形为：xx+一x(x-=0, 西边同乘x(x+1)(x-1),得：5(x-1)一(x +3 6 x(x+D+x(x-D-(x+DGx-D' +1)=0, 方程两边同乘x(x+1)(x一1)得 去括号得：5-5-x-1=0, 7(x-1)+3(x+1)=6x. 移项，合并同类项得：4x=6, 3 化简，得4x=4,解得x=1 系羲化为1得：x=2: 经检验，当x=1时，x(x+1)(x一1)=0， ,“x=1不是原方程的解，原分式方程无解 经检验，x= 是原分式方程的解 2 ·17 相新计+八年镇下爵，数攀(HS) 考 点② 增根的概念 因为x=2时原方程无解 【例2】当m取何值时，方程异十 5 所以可得2-罗≠2，解得m0。 x2一会产生增根 =m 所以m<6且m≠0. 解析：先去分母，化为整式方程，再令x2一1 规律与方法：这类题是先去分母，化为整式方 程，求出未知数，此时方程的解含有待定系数，根据 =0,求出x的值，代入整式方程，可求出m 已知，可求出待定系数的一个范围，然后令最筒公 解高+-D 分母不为0，又可求出待定系数的一个范围，两者 2(x-1)-5(x+1)=m.① 结合即可求出待定系数的取值范围 令(x+1)(x-1)=0,得x=土1， 【变式训练3】（眉山中考）关于x的方程 把x=1代入①，得m=-10. x十m 把x=一1代入①，得m=一4 x-2 3=的解为非负数，则m的取值范 2-x .m=一10或-4. 围是m≥-5且m≠-3 规律与方法：增根是去分母后的整式方程的 后演 练 根且使最简公分母的值为0，这类题的解法是：先 去分母，可不化筒，这样后面计算更简便，再令最 【基础过关】 简公分母为0，求出未知数的值，然后代入去分母 后的方程，求出其中的待定系数 1(福裤中考)已知x=1是方程2”，2 3 【变式训练2】若方程（红+1）(x- 6 的解，那么实数m的值为 (B) A.-2 B.2 C.-4 D.4 =1有增根，则它的增根是 (B) 2.(齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程 A.x=0 B.1 2x一m=1的解是负数，那么实数m的取值范 x+1 C.x=-1 D.x=1或-1 围是 (D) 考点③已知分式方程根的符号，求待定系 A.m<-1 B.m>-1且m≠0 数取值范围 C.m>-1 D.m<-1且m≠-2 【例3】若关于x的方程22+号=2 3.对于实数a、b,定义一种新运算“⑧”为：a②b 2-x 的解为正数，则m的取值范围是多少？ 。一存，这里等式右边是实数运算.例如：1⑧ 1 解：原方程化为整式方程， 31-3=-8则方程x®(-2》=2 得2-x-m=2(x-2),解得x=2-号 41 的解是 (B) 因为装子x的方程2，+十m=2的解为 A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7 x-22-x 正数 4已知x-1是分式方程中-坠的根，则实数 可得2-号>0，解得m<6, k= 18 第16◆分或 5.(济南中考)代数式，3与代数式23的值相 【能力提升】 等，则x=7 6(巴中中考)关于x的分式方程段+2 9.(1)(达州中考)若分式方程2红二-4 x-1 x-2 =3有增根，则m=-1 一年的解为推数则整数@=扎 7.(雅安中考)若关于x的分式方程2-1- x-2 (2)若分式方程，二严x=2有增根，则这 2的解是正数，则k的取值范周是4 个增根是x=1, 10.(重庆中考)若关于x的一元一次不等式组 且k≠0_ 8.解方程： +3∠4 2 至少有2个整数解，且关于y的 (1(青海中考)子21=-x+ 4 2x-a≥2 解：方程两边同乘(x一2)2，得x(x一2)一(x 分式方程】+ 4 y-22-y =2有非负整数解，则 2)2=4, 所有满足条件的整数a的值之和是4· 解得x=4 经检验，当x=4时，(x一2)2≠0. 1.已知方程：号马红+20x-可的 m 所以原方程的解为x=4 解为负数，试求m的取值范围. 解：两边都乘(x十2)(x一1)， (2)(眉山中考)2x 3 得(x-1)2-x(x+2)=m,x=m二=1-m -44 解：方程两边同乘(x一1)(2x+1)得： 由题意x<0,则”<0，得m>1,姜使原方 2x+1=3(x-1) 程有解，水须x≠一2，且x≠1 解这个整式方程得：x=4, 检验：当x=4时，(x一1)(2x+1)≠0， ”≠-2即m≠9,1与"， ,原方程的解是x=4 即m≠-3，义m>1 ,.m的取值苑圆是：m>1且m≠9. (3)2x+2-x+2-x-2 x x-2 x2-2x' 解：去分母得 2(x+1)(x-2)-x(x+2)=x2-2, 化简，得-4=2，解得x=一 经检验，x=一 】是原分式方程的解。 ·19. 相新计+八年镇下爵，数攀(HS】 核 素养 第2课时分式方程的应用 12.阅读下列材料：x十】=c十】的解是：=c, 知识榄理 列分式方程解应用题的一般步骤 解是：=c,=-； (1)审：审题，分析题中的已知事项，求什 么，明确各数量之间的等量关系； x+是=c+名的解是，=6，=名： c (2)设：设未知数，一般情况是求什么就设 x+3=c+3的解是x1=c,-3 什么： C (3)列：列方程，根据题中的等量关系列出 (1)请观察上述方程与解的特征，猜想方程x 方程； +”=c+(m≠0)的解，并验证你的结论； (4)解：解方程； (5)检：一是检验求出的解是不是分式 (2)利用这个结论求解关于x的方程： 程的解；二是检验求出的解是否符合题意； x+2 -a+。 (6)答：回答题中的问题，注意不要漏 写单位 解：(1)=c,2=m 典例精析 将=C,=m 考点① 分式方程的应用（行程问题） 分别代入原方程，均特合，因此猜想正确. 【例1】甲、乙两地相距14千米，在一次郊 -1-a+ (2)x+2 a-与可化为： 游中，一部分人骑自行车先走40分钟后其余的 人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的 -1+2 x-1-a-1+2 -1 速度是自行车速度的3倍，求这两种车的速度. 解：设自行车的速度是xkm/h,据题意得 由上迷结论可得：=a,=a a-1 14_14+40 x3x60 解得x=14, 经检验，x=14是原方程的根， 当x=14时，3x=42. 答：自行车的速度是14km/h,汽车的速度 是42km/h. 规律与方法：行程问题要抓关系：路程一速 度X时间，要找准题目中的主要等量关系.行程 问题还要注意：①速度的单位，②单位的统一， ·20指南料·八年报下哥·数学考答案() &-寻- 一1。- 7.(100 000042 0730 0000 【6$(1A种家电丹的选为00元,B家电的 413×10°0-70×0 上逐论1叫一 任为100元 107×104p100075×10 案1、选A家,点神家 8CIBC 12该场共有;神踪死立。 第2课时,分式方程的应用 核心表 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 文室上.A家,8 1. 7041×0一13121 知没梳 47这件家电中包含!件B种家电. 方案数赴A家电47件,B家 第1课时 分式方程 (①是不是式方的 是符合题意(心单段 福 第16章 专题复习 【】行车的这是1.在的选是t/h 【例】1--. 章末测试题 是最. 【应过词1】D LBB 3C 4.D 5.A 6B 7.D 8.D 出一得。-土2.-. 一、选排题 (410 不为分式方程的组 分注 【】 听-代人原试=1. 典例析 (式_ (21场共有4神进货案. 二.填空 【】(1)题方程化 【3】(1)A题每天运货符0确,每 .7 / 1>o1 1n 曲题-1-1. 每天运物100(一2)勤文A型12分,8题 0+1-1-0-11 三. .-时,--4. 40-- 配落18时,响号会析是51万死 士。 校Cr+1-1答 选后 r-1+0+11-4. 【】-). 10 2A30405.500 _-- .(一(方程x 1路 -- ,刊一段一上 -是 ,-1-11- .(1)安际效工时,每无改造答网的长度是72来 .(1A题死电的单恰为9万无,B充电社的价为1? 一1不是草方程的,累分式方程无效 _句 (2旨天改清回量少还要加采 2第三用最少,少用一1文十1.?× 站 2程化为“口- -)一1 .20 提-. (110万(②>共石神案(-0 - 料上一,经给验一一1不超方程的解,算方程实解 第17章 函数及其图象 16.4 零指数写与负整数指数写 【1】(1)-(1-寻 -1 17.1 变量与函数 【2】先去分是,比为题式,再令之一1一.求一的 第1课时 零指数与负整数指数写 对梳理 mi识 【3】-1+1-0.闻0。 ,代入框犬古程,污点 1.不等干的数的1 1.不回析 不 由此1-. 精n ,-11-” 3析 用达 2.满 晚一白量 量 画数 -1-+11-① 【】(11第式--1-(2题式-100 -()一: 典陪析 +D-1-0-1 【文线】】(1式-?(2式-- -)]一 【2习】15与,之回的关元5-一3量为,是 (例】D 把:-1代人改-1. 是--1化A①得-一1 【9】(1-2题- -(-一: 为8写 --0晚-. (试-) 【线】 - y与。艺的无式,是为0受量为与 【5】B 【】n_+-0 【 程为式方程 【】VV -,---.-?-. 1-1 【0】(1为一即无数2-1. +--- 1.A 2B3.D 4B 5.-1 ++十&十 】1A() 为天了的方程 ”-2的为数 6.(1 -x-. 7.:1r? 可二。 ++-b-0. nC1.: 12-1减线113.8 -或十- __4 用为上一?计喜程无。 心路 4.r 6.-1-r 队可一是二?, 7.(1y是2的数(2)“选”结时,本的速度义 -- 采七时度下降引,记增加力这,现在成结 10.1答不暗一,用小在日 听且 第2课时 科学记数法 【3对】--】 -晚厚--1. 8.D9.D 后演 x1 1 【】叶十十一叶-1 y=+1t、 心苦 1.11 2.D 3.B 幽桂析 【】110.0000-514×10. 1-576-171:且 叶)叶。 -001--1×10-. 8-t1n-(--1 17.2 函数的图象 对-& 281000-.1×0 -150000--2.文1r 梳 第1课时 平面直角坐标系 +1(-]1n1 (2×0 【词1】(19)1×1 + 一用来 11.1H (1文0 3(y 核心素 【例习】)方末是这种走经被段积的810 4.(3士) 1----. 【调习】(1×10nr(24×(个) 典析 外别代入方程,均符合,用此陪型正确 课后 【】(1(三【词1】D -, 1A 2B 3.D 43.14×I 31×- 5.5×16× 【】BP无于对. 17 。-1--1-.