精品解析：山东省聊城市茌平区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期学业质量检测八年级数学 注意事项： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共4页．选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间100分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部涂、写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并交回． 5．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 4. 如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 6 B. 10.5 C. 13.5 D. 16.5 6. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别为32、24，则的长为（　　） A. 8 B. 15 C. 12 D. 6 7. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是90分，85分，88分，则小明本学期体育总评成绩为___________分． 12. 如图，在中，平分，则_____________． 13. 如果，则的值为___________． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 16. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序___________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 三、解答题本题共7个小题，共72分．写出文字说明、推导过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 化简求值：，a取﹣1、0、1、2中的一个数． 19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生： （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好?请给出一条理由． 20. 【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时朋，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考．随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质．在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等． 【问题解决】如图，在中，D是的中点，于E，于F，． （1）求证：平分； （2）连接，求证：垂直平分． 21. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的倍，经调查发现销售450元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店12月第一周销售圆萝卜100箱，长萝卜150箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了30箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了540元，请问圆萝卜打了几折？ 22. 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，； （1）试说明：； （2）判断和的大小关系，并说明理由； 23. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期学业质量检测八年级数学 注意事项： 1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共4页．选择题30分，非选择题90分，共120分．考试时间100分钟． 2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置． 3．试题答案全部涂、写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题． 4．考试结束，答题卡和试题一并交回． 5．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不能说明，故A不符合题意； B．，则，，可以说明，故B符合题意． C．，则，，不能说明，故C不符合题意； D．，则，，不能说明，故D不符合题意． 故选：B． 2. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有45个人，则第23名的成绩是中位数，且只有22人获奖， 所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的中位数． 故选：C 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 4. 如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据棋盘中心的黑色棋子位置用表示，建立平面直角坐标系，结合轴对称性质，即可作答． 【详解】解：∵棋盘中心的黑色棋子位置用表示， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形， ∴小亮放白色棋子的位置可能是， 故选：C． 5. 如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A. 6 B. 10.5 C. 13.5 D. 16.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故选：C． 6. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别为32、24，则的长为（　　） A. 8 B. 15 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 故选：A． 7. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的定义，熟练掌握平均数与方差的定义是解题的关键． 根据方差算式可知数据为2、4、5、5，据此计算平均数、众数、中位数和样本容量即可． 【详解】解：由于方差算式中有四个平方项，分母为4， 则数据点为5、2、5、4，即数据为2、4、5、5，样本容量为4，则④错误； 根据数据之和为，个数为4，平均数，则①正确； 在这组数据中5出现次数最多，则众数为5，②正确； 将数据排序后为2、4、5、5，则中位数为，故③错误； 综上，正确的有①②． 故选：A． 8. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 10. 如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是90分，85分，88分，则小明本学期体育总评成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的知识；解题的关键是熟练掌握加权平均数的性质，从而完成求解．结合题意，根据加权平均数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，小明本学期体育总评成绩为： （分） 故答案为： 12. 如图，在中，平分，则_____________． 【答案】36 【解析】 【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可． 【详解】解： 设的度数为x， ， 平分， ， ， 解得：， ． 故答案为：36． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是能根据位置关系将各角的大小表示出来． 13. 如果，则的值为___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的应用，先由整理得，求出，再求的倒数，即为的值，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴的值为． 故答案为： 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 15. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动________s时，． 【答案】6或2 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 16. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序___________． ①的面积等于的面积； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，①利用三角形的中线，可知和是等底同高的两个三角形，即可判断；②根据同角的余角相等证明即可判断根据等角的补角相等先证明，再利用外角的性质即可判断；③；④根据和的关系，即可判断． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 所以，上面说法中正确的①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题本题共7个小题，共72分．写出文字说明、推导过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 化简求值：，a取﹣1、0、1、2中的一个数． 【答案】﹣1． 【解析】 【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入即可． 试题解析：原式==， 当a=2时，原式==﹣1． 考点：分式的化简求值． 19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 a 8 4.89 九年级 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______； （2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生： （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好?请给出一条理由． 【答案】（1）8，9 （2）八 （3） 解：我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，6，6，7，8，8，8，9，11，12，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 九年级10名学生每周锻炼9小时的最多有4人，所以众数， 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 略 20. 【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时朋，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考．随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质．在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等． 【问题解决】如图，在中，D是的中点，于E，于F，． （1）求证：平分； （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） D是的中点， ， ，， ， 又， ， ， 平分； （2） ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，平分， 即垂直平分． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定，证明，可得，再根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质证明，可得，进一步可推得，再根据等腰三角形的三线合一性质，可证，平分，即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，灵活运用相关定理是解题的关键． 21. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的倍，经调查发现销售450元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店12月第一周销售圆萝卜100箱，长萝卜150箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了30箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了540元，请问圆萝卜打了几折？ 【答案】（1）圆萝卜每箱售价为30元，长萝卜每箱售价为20元； （2）圆萝卜打了八五折． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设长萝卜每箱售价为元，则圆萝卜每箱售价为元，根据题意，得求解即可； （2）设圆萝卜打了折，根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设长萝卜每箱售价为元，则圆萝卜每箱售价为元，根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：圆萝卜每箱售价为30元，长萝卜每箱售价为20元； 【小问2详解】 解：设圆萝卜打了折，根据题意得： ， 解得：， 答：圆萝卜打了八五折． 22. 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，； （1）试说明：； （2）判断和的大小关系，并说明理由； 【答案】（1） 证明：为的角平分线，  ， 在和中， ，  ，  ，  ， ； （2）， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）先证明，得出，根据，得出，即可得出结论； （2）根据，得出，证明，根据，得出，根据等腰三角形判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $