精品解析：浙江省台州市路桥区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024学年第一学期九年级期末试卷 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B. 在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C. 小明在一次射击练习时，命中靶心 D. 掷一枚硬币，国徽面朝上 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 8. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是( ) A B. C. 或 D. 9. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ） A. 3.7 B. 4.1 C. 4.5 D. 5 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可以是________．（填一个即可） 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是______． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上频数 杯口朝上的频率 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为________（结果精确到） 14. 如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为______． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为_______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． （1）将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： （2）在（1）条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 21. 如图是一架自制天平，为支点，左侧托盘固定，托盘上放置个砝码，右侧托盘可以在横梁段滑动（点不与点重合）．已知，，个砝码质量为．根据杠杆原理，平衡时，左侧托盘砝码的质量右侧托盘物体的质量．（托盘与横梁的质量忽略不计） （1）设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）由于一支铅笔太轻无法称量，小明进行如下操作：左侧托盘放置个砝码，右侧托盘放置支铅笔，再将托盘由点向点滑动，发现托盘移动到与点的距离为时，天平恰好平衡，求一支铅笔的质量． 22. 如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）求的值； （2）如图2，当点B恰好在的延长线上时，求的长． 23. 已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． （1）若，求二次函数的解析式； （2）若，当时，的最小值为，求的值； （3）已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 24. 如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期末试卷 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 详解】解：把代入，得 ． 故选C． 3. 已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 在十字交叉路口，遇到红灯亮起 B. 在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性 C. 小明在一次射击练习时，命中靶心 D. 掷一枚硬币，国徽面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，故本选项不符合题意； 、在平面内任意画一个三角形，都具有稳定性是必然事件，故本选项符合题意； 、小明在一次射击练习时，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； 、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这批椽的数量为，则每株椽的价格为，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 8. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是( ) A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 9. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 10. 如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ） A. 3.7 B. 4.1 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B中的满足条件， 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可以是________．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，得到，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小， ， 的值可以是， 故答案为：（填大于的数即可）． 12. 关于一元二次方程有一个根是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 杯口朝上的频数 杯口朝上的频率 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为________（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为， 故答案为： 14. 如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理得，，进而由三角形外角性质得，即得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点M，取中点，连接，证明，推出，即得到点M为定点，由，得到点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，由勾股定理求出，在求出，由，求出，进而求出，利用勾股定理即可求出，进而得解． 【详解】解：连接交于点M，取中点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即得到点M为定点， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动， 当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两动点连线经过定点的问题与圆中最值问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形，找到点G的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）把右边的式子移到左边，再因式分解即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． （1）将绕点O旋转得到的，请作出，并写出点的坐标： （2）在（1）的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，勾股定理，弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图，再写出坐标即可得解； （2）由勾股定理可得，再由弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：即为所作，， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点C旋转到点所经过的路径长为． 19. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 21. 如图是一架自制天平，为支点，左侧托盘固定，托盘上放置个砝码，右侧托盘可以在横梁段滑动（点不与点重合）．已知，，个砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左侧托盘砝码的质量右侧托盘物体的质量．（托盘与横梁的质量忽略不计） （1）设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）由于一支铅笔太轻无法称量，小明进行如下操作：左侧托盘放置个砝码，右侧托盘放置支铅笔，再将托盘由点向点滑动，发现托盘移动到与点的距离为时，天平恰好平衡，求一支铅笔的质量． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）根据杠杆原理可求出函数解析式，进而求出自变量的取值范围即可； （）设一支铅笔的质量为， 根据杠杆原理列出方程解答即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∵，，右侧托盘可以在横梁段滑动， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设一支铅笔质量为， ∴， 解得， ∴一支铅笔的质量为． 22. 如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． （1）求的值； （2）如图2，当点B恰好在的延长线上时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，再根据三角形的性质可得，再根据（1）的结论即可得解． 【小问1详解】 解：将绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 的值为； 【小问2详解】 解：， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，并能综合运用以上知识解决问题． 23. 已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点． （1）若，求二次函数的解析式； （2）若，当时，的最小值为，求的值； （3）已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，得出对称轴为直线是解题的关键． （1）先确定二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴，进一步求得a的值，从而求得函数的解析式; （2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线，则,故，由于，所以在中，当时的函数值最小，即，解得 （3）分两种情况，根据二次函数的对称性和增减性得出故的不等式或不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， ∵的图象经过点 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ ∵ ∴， ∴二次函数解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，， 解得：， 【小问3详解】 ∵抛物线对称轴为直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∵， ∴， 当时，二次函数图象开口向上， 若对于，总有， ∴， 解得：， ∴的取值范围为， 当时，二次函数图象开口向下， 若对于，总有， ∴或， 解得：或， ∴的取值范围为， 综上所述，a的取值范围为或． 24. 如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析，② 【解析】 【分析】（1）连接，则，由，，由切线的性质得，则，而，则，所以； （2）①连接，由，，证明，得，则，由，得，可证明，则，所以； ②连接、，则，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，求得，再证明，得，则，所以，则，由，求得，则，所以，则. 小问1详解】 证明：如图1，连接，则， ∵于点，交于点， ∴，， ∴， ∴与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图2，连接， ，， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ； ②解：如图3，连接、， 是的直径， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $