18.1.1 平行四边形的性质-三角形中位线定理 教学设计-2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.1.1《平行四边形的性质-三角形中位线定理》教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 三角形中位线定理 2.内容解析 本节课的内容是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”） 第十八章第一节第四课时“三角形中位线定理”，三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线之后的第四种重要线段，是中点问题在三角形中的延伸.三角形中位线定理是初中数学的重要性质定理，是平行线、全等三角形以及平行四边形等内容的深化和应用.它为证明线段之间的数量和位置关系提供了新的方法和依据，架起了几何图形中数量关系和位置关系的桥梁.为学生研究图形位置、数量关系打开了一扇窗户，同时也为以后测量、实际运用和相似三角形学习奠定了知识基础.三角形中位线作为研究平行四边形的一个自然延伸,本节课注重了三角形中位线的“生长点”与“延伸点”.自制了一个平行四边形木架，将平行四边形的一条边上下平移，设计了三角形中位线定理的自然合理的探索发现活动，而且也为定理的证明搭建了合理的思维“脚手架”.它的研究再一次呈现几何图形（甚至是一条线段）研究的路径和方法，为后续学习几何图形提供了“一般观念”的示范作用. 本节课的研究过程中蕴涵着丰富的数学思想. 例如，证明三角形中位线定理时，通过作辅助线把三角形问题转化为四边形问题，运用中位线定理进行证明时，又将四边形问题转化为三角形问题，体现了转化思想. 类比学习平行四边形的一般思路发现、提出本节课要研究的问题，类比探究平行四边形性质的过程探索三角形中位线定理，体现了类比思想.这些重要的思想方法无论在今后的学习中，还是在科学研究中，都有着非常重要的意义.基于以上分析，确定本节课的教学重点为探索并证明三角形的中位线定理，会用中位线定理解决相关问题. 二、目标和目标解析 1.核心素养目标 （1）了解三角形中位线的概念. （数学抽象、逻辑推理） （2） 经历探索三角形的中位线定理的形成过程，体会研究几何图形的一般路径和常用方法，发展学生的合情推理和逻辑推理能力，渗透数学思想方法. （数学建模、数学运算） （3）能运用三角形中位线定理解决一些简单的问题. （直观想象、数据分析） 2.教学重难点 能类比三角形中线的定义给三角形中位线下定义，知道中位线定理的研究是以定义为出发点的.能经历“观察—测量—发现—猜想”的过程，探索出三角形中位线定理，发展学生的几何直观和合情推理能力.能用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法,进一步发展推理论证能力.能运用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，解决生活中的实际问题，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力. 三、学情分析 知识层面：七年级学生已经学过三角形中线，高线，角平分线.又刚学完平行四边形的性质和判定，为学习三角形中位线奠定了知识基础.探索层面：学生刚经历了平行四边形的性质、判定的学习过程,知道研究几何图形的一般套路.探究性质时，熟悉提出猜想、证明猜想的探究过程，这为学生探究三角形中位线定理提供了解决问题的模板. 授课班级学生平时一直在实行小组合作学习，数学基础比较扎实，思维活跃，但逻辑推理能力还有待进一步提高，对几何图形的研究策略的积累较少.而本节课的学习对学生逻辑推理能力和转化思想要求较高. 因此，预估学生能猜想出 DE 与 BC 的关系，但推理证明 DE∥BC， DE=BC 这个结论对于学生来说较为困难.此外，作为几何探究课，该如何确定几何图形性质的探索方法，对学生的数学素养、数学思维要求较高，部分学生可能存在一定的困难. 因此，为了实现良好的学习效果，除了运用多媒体、投影、教具、学具辅助教学外，本节课通过设置层层递进的小组活动搭设“台阶”，教室设置“独立证明-提出困惑-组内帮扶-组内讨论-组间互换交流-全班展示”等活动方式来突破难点.基于以上分析，确定本节课的教学难点：会添加辅助线完成转化，证明三角形中位线定理. 四、教学策略分析 1. 教学策略 （1）突出重点. 首先，学生借助一边平移的平行四边形木架这个学具直观观察，在动手操作中感知三角形中位线定理的图形基本结构；接着，学生通过观察、测量、旋转等实验活动猜想出 DE 与 BC 的关系；最后，通过演绎推理证明 DE∥BC，DE=BC. 通过让学生经历观察、猜想、验证、证明等几何研究的基本活动，体会“用合情推理发现结论，用演绎推理证明结论”这一几何研究的基本思考方式，进一步明确几何图形性质研究的一般方法，突出教学重点. （2）突破难点. 证明中位线定理的过程中，如何添加辅助线，一方面，平行四边形学具可以给学生一个很好的启发.另一方面，在小组讨论的过程中，教师引导学生由问题目标出发，分析达到目标的方法，即根据已有经验通过构造平行四边形进行证明，从而会想到过点 C 作 CF∥AB 交 DE 的延长线于点 F，从而进行证明.从而突破教学难点. 2. 教法 采用启发式、探究式教学方法. 3. 学法 本节课突出学生的动手操作、自主探究、合作交流、讲解展示，培养学生动手、动脑、动口的能力，真正让学生不仅仅是在“听数学”，而且能够在“看数学”“做数学”后还经历了“想数学”“讲数学”. 4. 教学媒体 教具：教材、学案、多媒体课件、实物投影仪等. 学具：自制平行四边形木架、三角尺、圆规、长木尺等. 五、教学过程设计 结合教材内容和教学目标，以及本班学情，设定本节课的教学环节及时间分配如下所示. 教学过程设计如下 1.温故再探 发现问题 问题 1：怎样研究平行四边形的？ 学生活动：学生回忆平行四边形的研究路径—定义— 性质—判定—应用. 追问：平行四边形的性质是研究什么？从哪些角度进行研究的？ 师生活动：师生共同归纳出性质是从定义出发，推出其构成要素（边、角和对角线） 的特殊性.性质的研究方向—边、角、对角线. 活动：如果将平行四边形的一边上下移动，在平移的过程中，你有什么发现？ （小组活动 2 分钟） 小组活动发现 1：我们组发现木条在移动的过程中，分开的两个四边形是平行四边形. 师生活动：师：追问为什么是平行四边形？ 生：因为它和上下两个底边是平行且相等的，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到的. 小组活动发现 2：发现左边的三角形逐渐变大时，右边的三角形逐渐变小. 小组活动发现 3：我们组发现当木条停在这个位置时，左右两个三角形全等.并且全等以后还能得到线段相等. 师生活动：当木条处在中点位置时最为特殊，此时 AC 左右两部分完全一样，我们去掉一半作为我们的研究对象，得到一个什么图形？ 在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点.线段 DE 就叫做△ABC 的中位线（教师板书课题） 【设计意图】在平行四边形研究路径及性质研究的方向中将平行四边形的边平移变换，让学生在动态中感知，在静态中思考，让学生体会到三角形的中位线是平行四边形的深化研究.同时经历从一般到特殊，抽象出本节课的研究对象——三角形中位线.核心问题 有向解决（24 分钟） 温故再探 发现问题（3 分钟） 2.经验类比 提出问题 问题 2：如图：在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点.类比学习平行四边形的一般思路，你能提出与中位线 DE 有关的问题吗？ 学生活动：类比研究平行四边形的一般思路，学生会提出如下问题：中位线的定义是什么？有何性质？判定呢？ 线段 DE 与 BC 有什么关系？ DE 把△ABC 分成两个三角形，△ADE 与△ABC 的周长与面积有什么关系？ 师：这节课我们主要研究它的定义和性质，判定后续再做探究. 追问 1：中位线的性质是要研究什么？ 学生活动：根据图形性质要研究什么的经验，从定义出发，要研究 DE 与BC 的关系. 【设计意图】类比经验，对于新的几何图形——三角形的中位线要研究什么？培养学生提出问题的习惯. 3.核心问题 有向解决 问题 3：如何给三角形的中位线下定义呢？DE 与 BC 有什么关系？并说出你是怎样探究它们之间的关系的？ （小组合作探究展示） 学生展示方式：一个小组主讲，其他组自由补充或追问 定义展示：教师巡视发现给的定义有下列情况，就 先请定义不严谨的小组主讲 小组主讲 1：学生主讲定义，边讲边板书，三角形两边中点的连线. 小组补充 2：认为连线不恰当，应该是线段.我们以前学过三角形的中线，是连接三角形一个顶点与对边中点的线段，所以类比三角形的中线给出的定义. 跟踪练习 画一画： 1.一个三角形有几条中位线？请在△ABC 中画出所有的中位线. 2.三角形中位线与三角形中线有什么区别？分别画一条来比较. 关系展示：教师巡视发现探究的关系有下列情况，先请探究关系全面的小组主讲，其他组再说自己组超越他们组的地方，目的是补全探究性质的完整过程. 小组主讲 1：讲出通过测量和用过的平行四边形木架发现 DE 与 BC 有两种关系，一种是位置关系：DE∥BC， 另一种是数量关系：DE=BC， 并将结论板书在黑板上. 小组补充 2：测量一对同位角是否相等发现平行. 小组补充 3：类比了研究平行四边形性质的过程，先目测发现大约是一半的关系，接着就用他们组的测量也成立，接着我们打算证明. 【设计意图】学生在探究关系的过程中再一次经历观察、度量、猜想的基本活动，经历合情推理的过程，这不仅有助于学生理清思路、发现结论，而且有助于发展学生的创新意识.同时学生从中学会了“探究"之法，感受了“发现”之趣. 问题 4：猜想的关系一定正确吗？怎么说明种关系对于任意三角形的中位线都是成立的呢？ 如何证明你的猜想？ 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.求证：DE∥BC， DE=BC， 探究证明过程流程：独立证明-提出困惑-组内帮扶-组内讨论-组间互换交流-全班展示（两位同学板演证明过程） 追问 1：请没有思路的同学来说一下，你的困惑点在哪？ 追问 2：小组内会的同学帮助解决这个问题，讲一讲你是怎么想到的辅助线？ 追问 3：组内交流各自的证法，组长负责收集，你们组一共有多少种证明方法？ 追问 4：相邻组长交换位置，比一比哪个组的方法多？能否交流出更多的方法？ 学生方法展示 1：延长 DE，使 EF=DE，连接 CF，我是怎么想到的呢？我是从问题证平行开始分析的，要证平行，我就想到证同位角角 ADE 和角 B 相等，于是你就想到转化，想办法去证与角 ADE 相等的角会有谁，于是就想到了这个木架中的全等，受平行四边形木架启发，于是就想到构造全等，自然想到延长DE，使 EF=DE，然后易证四边形 BCFD 是平行四边形，从而证出结论. 学生方法展示 2：我的辅助线在第一个同学的基础上又连接 AF，CD.是因为延长之后我发现 AE=CE,DE=EF,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，四边形 ADCF 就是平行四边形，再证四边形 BCFD 是平行四边形，就得到DE∥BC， DE=DF=BC. 学生方法展示 3：作 CF∥AB，交 DE 的延长线于点 F，剩余的方法和第一个同学一样.学生方法展示 4：取 BC 的中点，为什么会想到取中点，因为 要证 DE=BC，于是我就想到取中点找到 BF=BC，然后再证 DE=BF 就可以了，然后我又连接FE 并延长使 EG=EF，用第一位同学先证全等，再证四边形 ABFG 是平行四边形，又因为 D、E 分别是 AB，AC 中点，所以 BD 平行且等于 EF 得到四边形BDEF 是平行四边形，从而证出结论. 【设计意图】再次体会几何研究的“观察—猜想—证明”的过程.学生先独立思考，培养学生独立分析问题的能力,后没有思路的同学提出困惑点，组内先帮扶解决证明的难点：“辅助线的添加”,接着组与组之间相互交流不同的证明方法.让学生在运用不同方法证明性质的过程中，提高思维的深刻性和广阔性，有助于发展学生的逻辑推理能力，进一步提高学生分析和解决问题的能力.最后由板演的两位同学讲解分析思路，其他同学补充讲解不同证法，提高了学生语言表达能力，同时让学生感受一题多法，体验了“思维”之乐，真正领会了数学思维之奥秘.从而突出本节课的重点，突破难点. 问题 5：回顾一下大家的证明过程，我们是如何证明 DE∥BC， DE=BC? 师生活动：通过回顾证法，师生总结形成如下的结构图. 【设计意图】 从图形角度对证明过程进行归纳总结：无论用哪种方法，都是通过添加辅助线补全图形，构造出平行四边形，转化到平行四边形来证明.发展学生的空间观念，渗透转化思想. 问题 6：你能用文字、图形、符号三种数学语言描述三角形中位线定理吗？ 【设计意图】通过以上问题帮助学生学会文字语言、图形语言、符号语言之间的转化，在符号语言表示过程中让学生进一步理解平行四边形定理的意义—— 它既是平行四边形知识的运用和延续， 又是证明两条线段12或 2 倍关系、线段平行关系更为简捷的途径和方法，启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系， 学会辩证地看问题. 4.欣赏视频 感受历史 其实古人很早就发现了中位线定理，数学家们也给我们留下了很多经典的证明方法，请看短视频. 【设计意图】通过视频让学生了解中位线定理背后的历史文化内涵，特别是中国数学家刘徽的贡献，使学生领悟中华民族独特的数学智慧，增强文化自信和民族自豪感. 5.应用定理 解决问题 集思广益躬行实践： 我们班很爱钻研的一个同学，在墙角处发现拐角的两面墙上有两个黑点，这两个点无法用刻度尺直接穿墙测量，如何测量这两点的距离呢？你能利用中位线的知识帮忙设计一个方案，解决此问题吗？请各小组来到模拟现场，借助你手中的刻度尺合作试试看！ 【设计意图】教师事先在教室设置了模拟现场，让学生亲自实践操作，提高学生动手操作能力.同时体会三角形中位线定理在实地测量中的地位和作用. 巩固新知学以致用 1.解决你们提出的剩余问题. 2.如图所示，点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA的中点.判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论． 【设计意图】乘胜追击，先解决提出的未解决的问题. 第 2 题检验学生能否利用三角形中位线定理解决简单的问题，培养学生的数学应用意识. 同时让学生感受三角形中位线定理为证明平行四边形提供了更简捷的方法. 6.系统归纳 反思悟学 1.本节课你学习了哪些知识？用到哪些数学思想和方法？ 2.你是怎样研究三角形中位线的？ 【设计意图】用问题串的形式引导学生回忆、总结本节课的全部过程，再次进行整体构建，既达到了总结知识点的目的，又形成体系，形成问题研究的“基本套路”，为后续的学习提供路径和方法. 六、教学反思 1.注重整体教学 本节课采用整体教学策略.一方面注重了三角形中位线知识的“生长点”与“延伸点”，把三角形中位线的知识置于平行四边形的知识体系中，引导学生感受数学知识的整体性.另一方面以学生的“学”为中心，以提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力为目标，发展学生几何直观、逻辑推理等数学素养.培养学生数学探究的整体性. 2.落实一般观念 三角形的中位线作为几何图形，在平行四边形提供的几何图形研究一般观念的支撑下，引导学生通过动手操作、自主探索和小组合作等方式开展数学活动,学生基本重复这种“套路”独立完成本节课的探究. 3.促进深度学习 本节课设计了一个活动、6 个问题都是为了让学生学会有向、有序的思维方式，以及科学探究的方法，既有利于学生真正做到深度学习，又有利于发展学生的数学核心素养，从而更好地体现数学育人的课程 学科网（北京）股份有限公司 $$