精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024～2025学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； B.符合轴对称图形定义，故此项符合题意； C.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； D.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； 故选：B ． 2. 芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为千克，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．以这些点为顶点，在图中，能画出平行四边形的个数最多为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形判定等知识，连接、、，由D，E，F分别是，，的中点，根据三角形中位线定理得，，，，则四边形、四边形、四边形都是平行四边形，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、， ∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，，， ∵，， ∴，且；，且；，且， ∴四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∴以D，E，F这些点为顶点最多能画3个平行四边形， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．利用完全平方公式对A选项进行判断；利用积的乘方与幂的乘方对B选项进行判断；利用二次根式的加法运算对C选项进行判断；先把除法运算化为乘法运算，再利用二次根式的乘法法则运算，则可对D选项进行判断． 【详解】解：A．，正确，所以选项符合题意； B．，错误，所以选项不符合题意； C．与不能合并，错误，所以选项不符合题意； D．，错误，所以选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：．，故本选项正确，符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，故本选项错误，不符合题意； ．，例如，，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变． 6. 等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论求解，一是当顶角是100°，二是当底角是100°，根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论． 【详解】解：（1）当顶角是100°时， ∵一个等腰三角形的顶角为100°， ∴它的底角； （2）当底角是100°， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴另一底角也是100°， ∵，这与三角形的内角和为180°相矛盾， ∴底角不能为100°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． 7. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出． （1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； （2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，． 则能用于证明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 分析】根据作图方法可知，，，，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，， 根据三组边对应相等（SSS），可证． 故答案为：A． 【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 若，且，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 10. 如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（ ）． A. a，b，c B. a，b，d C. a，c，d D. b，c，d 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为______m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 即梯子的顶端距地面为， 故答案为：2． 15. 甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港.已知水流速度xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为____________h. 【答案】． 【解析】 【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间． 【详解】∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h， ∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h， ∴返回时的时间为：h． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，熟练掌握顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系是解题的关键． 16. 如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为和， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 17. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 18. 如图，中，，，，是角平分线，则线段的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线． 作于，作于，分别解直角三角形求得和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】解：如图，作于，作于， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ， 在中，设， 在中，， ∴， 由得，， ， ， 故答案为： 2 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： ①； ②． （2）先化简：，再将x在，0，1，2中取一个合适的值代入求值． 【答案】（1）①；②；（2），4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，多项式的运算，分式的化简求值，需要熟练掌握运算法则解题的关键． （1）①先进行小括号内化简，然后进行二次根式的除法运算即可解答；②利用平方差和完全平方公式进行多项式运算，然后合并同类项即可； （2）利用完全平方公式、平方差公式对分式进行化简，再根据分式有意义的条件选出合适的值，代入求解即可． 详解】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2）原式 ， ，，， ，， 在，0，1，2中，只能取1， 当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 21. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键， （1）根据勾股定理可得到的长，可得到，从而推出四边形是平行四边形，故可得，从而得到的长； （2）根据，代入即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 22. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案： 方案（一）：第一次提价a％，第二次提价b％； 方案（二）：第一次提价b％，第二次提价a％； 方案（三）：第一、二次提价均为％，其中a，b是不相等的正数． （1）请通过演算说明方案（一）、方案（二）提价一样； （2）请通过演算说明方案（三）提价最多． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用代数式运算来比较不同价格提升方案的结果，涉及到百分数运算、多项式乘法以及完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据各方案中的第一次、第二次提价百分率，分别表示出两次提价后的提价百分率，即可得出结论； （2）利用方案（三）两次提价后的提价百分率减去方案（一）两次提价后的提价百分率，结果大于0，即可得出结论 【小问1详解】 解：设提价钱的价格为1，那么两次提价后的价格为 ∵方案一： 方案二： ∴方案（一）、方案（二）提价一样． 【小问2详解】 方案三：， ∵， ∴只要比较与的大小． 由于， ∵a，b是不相等的正数， ∴， ∴方案（三）提价最多． 23. 在中，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ． 其中，①是______；②是______． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 【答案】（1）， （2）；证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【小问1详解】 解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 证明：如图， 过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 24. 开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了元和元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低，求橘子每千克的价格． 【答案】元 【解析】 【分析】设橘子每千克的价格为元，则香蕉每千克的价格为元，然后根据学校食堂花了元和元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多列出方程求解即可． 【详解】解：设橘子每千克的价格为元，则香蕉每千克的价格为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，当时，，且符合题意． ∴原分式方程的解为． 答：橘子每千克的价格为元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 25. 若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3），，，， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解应用，正确理解题新定义是解题的关键． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值； （3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的二次三项式，关于对称， ∴， ∴， ∴可取 ∴， ∴一个关于x的二次三项式可以为：． 【小问2详解】 解：∵关于对称， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵关于对称， ∴关于对称， ∴， ∵，c为正整数， ∴，，，，． 26. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ， ， ； ②当点在线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为千克，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．以这些点为顶点，在图中，能画出平行四边形的个数最多为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右变形正确是（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 7. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出． （1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； （2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，． 则能用于证明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 若，且，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 10. 如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（ ）． A. a，b，c B. a，b，d C. a，c，d D. b，c，d 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 12. 分解因式：__________． 13. 已知，，则_____． 14. 如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为______m． 15. 甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港.已知水流速度xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为____________h. 16. 如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为__________． 17. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 18. 如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. （1）计算： ①； ②． （2）先化简：，再将x在，0，1，2中取一个合适的值代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 21. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 22. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案： 方案（一）：第一次提价a％，第二次提价b％； 方案（二）：第一次提价b％，第二次提价a％； 方案（三）：第一、二次提价均为％，其中a，b是不相等的正数． （1）请通过演算说明方案（一）、方案（二）提价一样； （2）请通过演算说明方案（三）提价最多． 23. 在中，，且． （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ． 其中，①是______；②是______． （2）如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明． 24. 开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了元和元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低，求橘子每千克的价格． 25. 若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c的值． 26 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$