2025年中考数学二轮复习专题2：解直角三角形专练

中考二轮复习专题2：解直角三角形 1．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    (1)求点D到地面的距离； (2)求该建筑物的高度． 2．位于海南省儋州市的东坡书院是全国重点文物保护单位，是苏轼谪居儋州时期的讲学场所．某校开展综合实践活动，小华借助一个斜坡测量书院内载酒亭的高度，如图，坡长米，坡角为，在处测得载酒亭顶端的仰角为，在处测得载酒亭顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)______度；______度； (2)求点到地面的距离； (3)求载酒亭的高度（结果取整数）．（参考数据：，） 3．“轻轨飞梭幻影重，上天入地驶楼中”， 魔幻城市重庆吸引了全国各她的游客，而李子坝的“轻轨穿楼”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡底端距离轻轨所穿楼栋底端处30米远，斜坡长为42米，坡角为，，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端处12米的处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的观景平台和一条新的坡角为的斜坡．      (1)求观景平台的长；（结果保留根号） (2)小青在处测得轻轨所穿楼栋顶端的仰角为，点在同一个平面内，点在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋的高度．（结果精确到0.1米，，） 4．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上. （1）求坡底C点到大楼距离AC的值； （2）求斜坡CD的长度.    科学计算器按键顺序 计算结果 （已取近似值）    0.156    0.158 0.276    0.287 5．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．    问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 6．我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为， (1)求发射台与雷达站之间的距离； (2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：，，，，， ） 7．花园小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高4米的小区商场，商场以上是居民住房．在该楼的前面16米处要盖一栋高18米的办公楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为时，问： （1）商场以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使商场采光不受影响，两楼应相距多少 米？（结果保留一位小数） （参考数据：，，） 8．世园会是成都东部新区成立以来首次举办的国际性盛会，依托天府国际机场和山水生态为底，成都东部新区提出打造“国际度假旅游目的地”，借势打响文旅名片．4月26日，成都世园会将在成都东部新区主会场拉开帷幕，其中最令人瞩目的是位于主会场中心的地标性建筑——锦云楼（图1）．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案：先将无人机垂直上升至距水平地面的C点，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 9．小君学习了解直角三角形知识，周末带着测角仪和同学一起去测量当地一座宝塔CD的高度，由于自然环境限制，他们选定距离宝塔若干米的A处，测得塔顶C的仰角为27°，然后沿着正对塔底的方向前进50米到达B处，在此又测得塔顶C的仰角为45°．如果测角仪的高度忽略不计，那么这座宝塔高度是多少？（tan27°≈0.51，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，结果精确到1米） 10．如图是消防队救援时云梯的示意图，消防车A离建筑物的距离AC=48米，支架AB与地面夹角为45°，救援手臂BD的顶端D距地面C的高度CD是12米，与墙夹角为70°，求支架最高点B距地面的距离BE（精确到0.1，参考数据：sin70°=0.94，cos70°=0.34，tan70°=2.75）． 11. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）． 数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°． 问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）． 参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 12. 某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：） 13. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 14. 小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈． 15. 刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； （2）求大树AB的高度（结果保留根号）． 16. 钢琴音色优美，刚柔并济，在人疲倦时听一些抒情的曲子能缓解疲劳、在人心情郁闷时听一些欢快的曲子可以调节自己的情绪，陶冶情操，修身养性．图1标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，图2为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板AD闭合时与AB重合，此时大盖板为打开状态，支撑杆BC的长度为76cm，支撑杆与水平方向的夹角∠ABC＝60°，大盖板AD的长度为148cm，钢琴的高度为101cm．（参考数据：≈1.7，sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6） （1）求∠BAC的度数． （2）求此时大盖板上点D的高度（即点D到水平面EF的距离）． 17. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 18. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°． （1）求点到的距离（结果保留一位小数）； （2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，） 参考答案 1．(1)5米 (2)米 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【详解】（1）解：过点D作，    由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； （2）如图，    由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2．(1)；； (2)米； (3)米． 【分析】（）过点作，根据图形可求出的度数，利用平行线的性质可求出的度数； （）过点作于于点，解求出即可求解； （）过点作于于，解可得，又可得四边形是矩形，得到，，设米，则米，由可得米，即得米，在中，由得，解得，即可得； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）如图，过点作， 由图可得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：；； （2）解：过点作于于点，则即为所求， 在中，， ∴ （米）， 答：点到的距离为米； （3）解：过点作于于，则， 在中，， ∴， 由（）知， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴（米），， 设米，则米 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴米， 在中，， 即， ∴， 解得， ∴（米）， 答：载酒亭的高度为米． 3．(1)观景台的长为米 (2)轻轨所穿楼栋的高度为35.7米 【分析】（1）由题意可得：，则，延长交于点，在中和在中利用三角函数分别求出的长，从而即可得到答案； （2）过点作于点，于点，则四边形为矩形，从而可得到，则，在中，，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 延长交于点，   ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：观景台的长为米； （2）解：在中，， ，， 过点作于点，于点，如图所示，   ， 则四边形为矩形， ， ， 在中，， ， （米）， 答：轻轨所穿楼栋的高度为35.7米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，正确的进行计算是解题的关键． 4．（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米. 【详解】分析：（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可； （2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，得AF=DE，DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可. 详解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米） 答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米． （2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，    ∴AF=DE，DF=AE. 设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米 在Rt△BDF中，∠BDF=45°， ∴BF=DF=AB-AF=60-x（米） ∵DF=AE=AC+CE， ∴20+x=60-x 解得：x=80-120（米） 故斜坡CD的长度为（80-120）米. 点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 5．能，综合楼的高度约是37.00米． 【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度． 【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下： 作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图： ·   由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°， 在Rt△AEG中， tan ∠AEG=， ∴tan 16°=，即0.287≈， ∴AG = 40×0.287=11.48（米）， ∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米）， ∴HD= AB =24.36米， 在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米， tan∠CAH =， ∴tan 9°= ，即0.158≈， ∴CH =80×0.158= 12.64（米）， ∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米）， 则综合楼的高度约是37.00米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义． 6．(1)发射台与雷达站之间的距离为 (2)这枚火箭从A到B的平均速度大约是 【分析】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，理解题意是关键． （1）利用锐角三角函数关系求解即可； （2）先利用锐角三角函数关系求解、，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 由，得． 答：发射台与雷达站之间的距离为； （2）（2）在中，， 由，得 ， 又∵，得， ∴， 这枚火箭从A到B的平均速度：， 答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是． 7．(1) 居民住房的采光有影响,理由见解析；（2）两楼相距25.8米 【分析】（1）求是否影响采光，就是求办公楼在居民楼上的影子部分是否高过4米，设光线交居民楼于E，那么就是求DE的长度，过点作交于点，设米，则米，在中，，根据列出方程即可． （2）要想商场采光不受影响，那么办公楼的影子的长度等于BD，在直角三角形ABD中，AB=18，∠ADB=那么根据求得BD的值即可． 【详解】解：（1）如图，光线交于点，过点作交于点． 则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，BF=DE； 设米，则米. 在中，， ， ， 居民住房的采光有影响． （2）如图，在中， ，（米）. 答：两楼相距25.8米． 【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决． 8．锦云楼的高度约为 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长，交的延长线于点F，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点F， 则    由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴锦云楼的高度约为． 9．这座宝塔高度是52米 【分析】根据题意可得∠A＝27°，AB＝50米，∠CBD＝45°，利用其公共边CD构造等量关系列方程即可． 【详解】解：根据题意可知：∠A＝27°，AB＝50米，∠CBD＝45°， ∵CD⊥AD， ∴CD＝BD， ∴AD＝AB+BD＝（50+CD）米， 在Rt△ACD中， ∵CD＝AD•tan∠A， ∴CD＝（50+CD）×tan27°， 解得，CD≈52（米）． 答：这座宝塔高度是52米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是熟练运用三角函数的定义列方程． 10．支架最高点B距地面的距离BE为21.6米． 【分析】设BE=x，得出BE=AE=x，过点D作DG⊥BE于G，得出DG=CE=48-x，BG=x-12，解Rt△DBG，根据列出方程，解之即可． 【详解】解：设BE=x米， 在Rt△ABE中，∠A=45°，则BE=AE=x米， 过点D作DG⊥BE于G，则四边形CDGE为矩形， ∴CD=GE=12，DG=CE=48-x， ∴BG=x-12 在Rt△DBG中，∠DBG=∠BDF=70°， ∴，∴， ∴ 经检验是原方程的解 ∴支架最高点B距地面的距离BE为21.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 11. 【答案】16.9m 【解析】 【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设BF=x m， 由题意得： DE=FG=1.5m， 在Rt△CBF中，∠CBF=35°， ∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m）， ∵AB=8.8m， ∴AF=AB+BF=（8.8+x）m， 在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°， ∴tan26.6°= ≈0.5， ∴x=22， 经检验：x=22是原方程的根， ∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m）， ∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12. 【答案】约1.9米 【解析】 【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°， 则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米）， 在Rt△ADC中，∠ADC=30°， 则CD=≈8.30（米）， ∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米）， 答：BD的长约为1.9米． 13. 【答案】(170+60)cm 【解析】 【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可． 【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F， 在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°， 则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm）， 由题意得：=，即=， 解得：EF=135， ∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm， 则=， 解得：AB=170+60， 答：立柱AB的高度为(170+60)cm． 14. 【答案】约为17.1m 【解析】 【分析】过点M作MN⊥AB，利用正切函数得出AN≈，BN≈，结合图形得出，然后求解即可． 【详解】解：过点M作MN⊥AB， 根据题意可得：， ∴AN≈ ， ∴BN≈ ∵AN+BN=AB=50， ∴， 解得：MN=(m)， ∴河流的宽度约为17.1m． 15. 【分析】（1）作DG⊥CE于G，解Rt△CDG，即可求出DG； （2）过点D作DH⊥AB于点H，设AB＝xm米，用含x的代数式表示出AH、DH，根据列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）过点D作DG⊥BE于点G． 由题意知i＝1：3， ∴CG＝3DG． 又，， 即DG2+10DG2＝160， ∴DG＝4米． 答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）过点D作DH⊥AB于点H， ∵DG＝4，CG＝3DG ∴CG＝3×4＝12（ m）． 设大树高为xm． ∵∠ACB＝45°， ∴CB＝AB＝xm，DH＝BG＝BC+CG＝（x+12）m，AH＝AB﹣DG＝（x﹣4）m． 又∠ADH＝30°， ∴，即，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：大树AB的高度是． 16. 【分析】（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H．求出CH，AH，利用正切函数的定义求解即可； （2）过点D作DT⊥AB于点T．解直角三角形求出DT，可得结论． 【解答】解：（1）如图2中，过点C作CH⊥AB于点H． 在Rt△BCH中，BC＝76cm，∠CBH＝60°， ∴BH＝BC•cos60°＝38cm，CH＝BH＝×38≈64.6（cm）， ∵AD＝AB＝148cm， ∴AH＝AB﹣BH＝148﹣38＝110（cm）， ∴tan∠BAC＝＝≈0.6， ∴∠BAC＝31°； （2）过点D作DT⊥AB于点T． ∴DT＝AD•sin31°≈74（cm）， ∵钢琴的高度为101cm， ∴此时大盖板上点D的高度175cm． 17. 【答案】（1）47° （2）3.3米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， 答：的度数是． 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，， ∴． 同理，在Rt△ADC中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表AC的长是3.3米． 18. 【答案】（1）点到的距离为38.1cm （2）能达到最佳舒适度 【解析】 【分析】（1）过点作，设cm，根据已知角度，解和即可求解； （2）过点作，由对顶角相等得，解求出EN，判断 是否在73cm至74cm之间即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 设cm，在中，， ∴（cm）， ∵cm， ∴cm， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴cm， ∴点到的距离为38.1cm； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得： ， 在中，cm， ∴（cm）， ∴坐垫到地面的距离为：（cm）， ∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适， ∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 学科网（北京）股份有限公司 $$