精品解析：山东省夏津第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

高二月考数学试题（2025年3月15日） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 2. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 3. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 记数列的前n项和为，若，则（ ） A. 301 B. 101 C. D. 5. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为数列前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 7. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 8. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 数列为等比数列，下列命题正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 若，，则 C. 若，则单调递增 D. 若该数列前项和，则 11. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________. 13. 曲线在点的切线方程为_________． 14. 已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是______；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列通项公式； （2）若数列满足求的前n项和 16. 设是等比数列公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列前n项和为，求并证明. 17. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据. x（个） 1 2 3 4 5 6 7 y（件） 891 888 351 220 200 138 112 （1）根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程； （2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下. 参考数据（其中，，，，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 19. 已知数列前n项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二月考数学试题（2025年3月15日） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 设函数在处存在导数为2，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的极限定义计算可得. 【详解】由导数的定义可知，. 故选：D. 2. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 3. 已知在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【详解】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 4. 记数列的前n项和为，若，则（ ） A. 301 B. 101 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得. 【详解】数列中，，则， 所以 故选：C 5. 已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将所求式子进行等价变形，再依据等差数列通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】，又 . 故选：B. 6. 已知为数列的前项和，，，那么（ ） A. -64 B. -32 C. -16 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． 【详解】时，，，可得：，化为． 时，． 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么． 故选：B． 7. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.789 A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】列出列联表，计算即可得解. 【详解】列出列联表： 男生 女生 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 150 50 200 ， 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：D 8. 如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1，3，3，4，6，5，10，…，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意数列中…，观察数列特点可知，利用累加法求得，再由裂项求和计算可得出结果. 【详解】根据题意数列中…， 观察数列特点可知， 则， 显然满足上式，则， ， . 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中不正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式可得结果. 【详解】，A错； ，B错； ，C对； ，D错； 故选：ABD 10. 数列为等比数列，下列命题正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 若，，则 C. 若，则单调递增 D. 若该数列前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误. 【详解】设等比数列的公比为， 对于A，，所以数列为等比数列，A正确； 对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确； 对于C，因为，所以；当时，由可得， 此时； 当时，由可得，此时； 所以单调递增，C正确； 对于D，因，所以，，， 因为为等比数列，所以，即，D正确. 故选：ACD. 11. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为偶数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，， 故选项A正确； 对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误； 对于C：由题意知：，所以 ，故选项C正确； 对于D：， 故选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知各项都为正数的等比数列，若，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可. 【详解】已知各项都为正数的等比数列，且， 所以，解得或（舍去）， 所以 故答案为：9. 13. 曲线在点的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 又过点， 所以切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是______；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据与之间的关系分析可知，，，结合等差数列通项公式运算求解；设，可知，结合数列单调性分析求解. 【详解】因为，且， 若，则，可得； 若，则，可得， 且，可得， 可知：数列奇数项、偶数项均成等差数列， 当为奇数，则；当为偶数，则； 综上所述：； 因为，可知， 设， 由题意可知：， 因为 ， 可知数列为递增数列，则数列的最小项为， 则，所以取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足求的前n项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为，则，即，可求出，得出答案. （2）由（1）有，然后分组利用等差数列和等比数列的前n项和公式可求和. 【详解】解：（1）设等比数列的公比为，又 则 由于是和的等差中项， 得，即，解得 所以， （2） 16. 设是等比数列的公比大于0，其前n项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，数列的前n项和为，求并证明. 【答案】（1）， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）利用裂项相消法求和，并利用数列的单调性证明不等式. 【小问1详解】 设的公比，因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 设的公差为d，因为，， 所以，， 所以， 解得， 所以． 【小问2详解】 ， 所以 ， 因为n为正整数，所以，所以， 又因为数列单调递减，所以单调递增， 所以，所以. 17. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据. x（个） 1 2 3 4 5 6 7 y（件） 891 888 351 220 200 138 112 （1）根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程； （2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下. 参考数据（其中，，，，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】（1） （2）两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下 【解析】 【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程， 再代入参考数据得到. (2) 将代入回归方程得到， 故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下. 【小问1详解】 由表中数据可得更适宜. ， 令，设y关于t的线性回归方程为， 则 则， 故y关于x的回归方程为 【小问2详解】 由回归方程可知，随x增大，y逐渐减少， 当时，， 故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下. 18. 已知数列的前项和为，满足． （1）求的通项公式； （2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前项和为，请写出的前6项，并求出和． 【答案】（1） （2）前6项为2，，，，，；； 【解析】 【分析】（1）与的关系法求数列通项公式； （2）由题写出前6项，然后分成两个子数列分别求和即可. 【小问1详解】 当时，有，解得； 当时，有，联立条件， 得， 即，即； 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， 因此，． 【小问2详解】 删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大排列依次为： ，，，，，，… 数列前6项为2，，，，． ． 注意到，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ，，，…构成以为首项，以8为公比的等比数列， ． 19. 已知数列的前n项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前n项和为； ①求； ②若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简求证即可； （2）①先根据等差数列的定义得到，进而得到，根据错位相减法计算即可； ②化简不等式为，令，结合数列的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； 【小问2详解】 ①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， ，则对任意的恒成立， 令， 为递减数列，则当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$