精品解析：湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

湖北省随州市部分高中2024--2025学年下学期三月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围： 选择性必修一；选择性必修二第4章 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A. a＋b＋c B. a－b＋c C. a＋b－c D. －a＋b＋c 2. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知椭圆的两个焦点分别为， 为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 单位向量都相等 C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D. “若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形” 10. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为________. 13. 已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________. 14. 在数列中，，，则通项公式______. 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 16. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 17. 在数列中，，. （1）设，求证数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 18. 记数列的前n项和为，对任意，有． （1）证明：是等差数列； （2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围． 19. 在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，___________. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市部分高中2024--2025学年下学期三月联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 考试范围： 选择性必修一；选择性必修二第4章 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A. a＋b＋c B. a－b＋c C. a＋b－c D. －a＋b＋c 【答案】D 【解析】 【分析】由＝＋＝＋ (＋)＝c＋ (－＋＋)即可得解. 【详解】＝＋＝＋ (＋)＝c＋ (－＋＋)＝c－a＋ (－c)＋b＝－a＋b＋c. 答案：D． 【点睛】本题主要考查了向量的加法和减法运算，属于基础题. 2. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案. 【详解】由题意设所求方程为， 因为直线经过点， 所以，即，所以所求直线为. 故选：A. 4. 已知条件直线与直线平行，条件，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断 【详解】当直线与直线平行时， ，解得， 当时，直线与直线重合， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D 5. 已知椭圆的两个焦点分别为， 为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项化简后得出，然后求椭圆的标准方程 【详解】由题意，故，又，则 焦点在轴上，故椭圆的标准方程为 故选：D 6. 若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：. 故选：D. 7. 已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值. 【详解】解：由，得，，，，． 又，， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． 故选：B． 8. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 单位向量都相等 C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D. “若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，根据单位向量的定义判断B，根据相等向量的定义判断C，根据相等向量及平行四边形的性质判断D. 【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确； 对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误； 对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误； 对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立， 若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确. 故选：AD 10. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以， 所以和均为的最大值，所以D正确. 故选：ABD. 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l， 所以直线l的方程可设为， 因为圆M的中心到直线l的距离等于2， 所以， 因为短轴长是焦距的2倍，所以， 因此有， 所以椭圆M的方程为， 故答案为： 13. 已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解. 【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为， 连接， 所以周长为 故的周长的最大值为12， 故答案为：12. 14. 在数列中，，，则通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和. 【详解】因为，即 则， ， 所以 ， 即， 又因为，所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共75分 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，. 因为，所以. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可； （2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出. 【详解】（1）略 （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量， 所以，得，取，得平面的一个法向量. 要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 16. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】 （1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 17. 在数列中，，. （1）设，求证数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） 在数列中，，，则当时，有， 两式相减得：，而，即，则有， 整理得，即， 所以数列是等差数列. （2）. 【解析】 【分析】(1)根据给定的递推公式结合进行变形，再将代入整理即可得解. (2)利用(1)的结论求出数列的通项公式即可计算作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得：，而，则，，， 因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列， 则，即，于是得：， 所以数列的通项公式. 18. 记数列的前n项和为，对任意，有． （1）证明：是等差数列； （2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） 因为①，则② ①－②可得 ， 故为等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若当且仅当时，取得最大值， 则有,得则，， 故的取值范围为． 19. 在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，___________. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】选条件①②③均有；（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）若选①，根据已知条件考虑对应的等式，两式作差得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选②，根据已知条件考虑对应的等式，结合得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式；若选③，将点代入直线方程，然后根据得到的关系，通过条件证明是等比数列，并求解出通项公式； （2）先求解出的通项公式，然后采用错位相减法进行求和. 【详解】（1）方案一：选条件①. ∵，∴当时，， 两式相减，整理得， ∵，∴，， 所以， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. 方案二：选条件②. ∵，∴当时，， 两式相减，整理得， ∵，，∴，， 所以， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. ∴ 方案三：选条件③. ∵点在直线上， ∴，∴， 两式相减，整理得，当时，，得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. （2）由（1）可得，，则， ， 两式相减得 ∴. 【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列的前项和的求解步骤（错位相减法）： （1）先根据数列的通项公式写出数列的一般形式：； （2）将（1）中的关于等式的左右两边同时乘以等比数列的公比； （3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果； （4）利用等比数列的前项和公式以及相关计算求解出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $