精品解析：安徽省淮南市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024~2025学年度九年级第五次适应性作业设计 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从颁奖台正面看所得到的图形为A． 故选A． 2. 将平面直角坐标系中某个图形各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（　　） A. 将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D. 将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 【答案】C 【解析】 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而判断即可． 【详解】解：A、将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意； B、将各点的横坐标除以2，纵坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意； C、将各点的横坐标、纵坐标都乘以2，属于位似，故此选项符合题意； D、将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2，不属于位似，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的定义是解题关键． 3. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，对应高的比为， ∴对应面积的比为， 故选：B． 4. 若为锐角，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)． A. 90° B. 75° C. 60° D. 105° 【答案】B 【解析】 【分析】利用坡度的特殊值得到坡角的度数，把它们相加即可． 【详解】解：如图所示．由题意知： tanα== ∴α=30°； tanβ==1， ∴β=45°． ∴∠α+∠β=75°． 故选B． 【点睛】本题考查坡度的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 6. 若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，先把方程整理成一般式，再利用根和系数的关系可得，，最后利用完全平方公式的变形运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵，是它的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：． 7. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosA值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的定义得到tanA==，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解． 【详解】如图， ∵tanA==， ∴设BC=x，则AC=3x， ∴AB==x， ∴cosA=== ． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理． 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．求出函数的最大值即可得求解． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是， 故选：B． 9. 如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理得，证明，可求出，再利用勾股定理求出，进而可得答案 【详解】∵点A是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明是解题的关键． 10. 如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ） A. （5，2） B. （，2） C. （，2） D. （，2） 【答案】D 【解析】 【分析】当点运动到点位置时，，则，当点运动到中点位置时，，即，证明，当在的延长线上时，且，根据相似三角形的性质求得的长，即可求得点的横坐标 【详解】解：根据函数图象可知，当点运动到点位置时，，则， 当点运动到中点位置时，，即， ∴ 四边形是矩形 的纵坐标相等，则当在的延长线上时，，，， ， 即 解得，（舍） 即点的坐标为(，2) 故选：D 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可． 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影． 12. 将，，从小到大排列为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数值大小的比较，先根据，将转化为，根据，得出答案即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理知识的应用．由是的高，，即可证得，又由E为的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得的值． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知如图，正方形的边长为4，取边上的中点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，交于点，交于点，则（1）_________________；（2）_________________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，结合边上的中点，，得到，，利用，根据正弦定义解答即可；延长交于点P，利用三角形全等，三角形相似，勾股定理，直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵边上的中点，， ∴，， ， ∴， ∴ ∴ 解得， 故答案为：； 延长交于点P， ∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解： ． 16. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． （1）画出位似中心； （2）求与的周长比和面积比． 【答案】（1）见解析 （2）周长比为，面积比为 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换． 正确掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出位似比． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求， 【小问2详解】 解：由图形得，， 与的相似比为， 与的周长比为，面积比为． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 根据要求完成下列题目． （1）图中有_____块小正方体． （2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）． （3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体． 【答案】（1）6；（2）见解析；（3）5,7 【解析】 【分析】（1）根据图形知图形的层数及各层的块数，相加即得； （2）根据三视图的画法解答； （3）最少时只能将竖列的两个的最上一个去掉，最多时在两个的最上加一个． 【详解】解：由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块， ∴图中共有1+2+3=6块小正方体， 故答案为：6； （2）如图： （3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个， 故答案为：5,7． 【点睛】此题考查画小正方体构成的立体图形的三视图，数小正方体的个数，正确掌握立体图形的三视图的画法是解题的关键． 18. 如图，为的直径，、在上． （1）写出圆心的坐标是_____________； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，锐角三角函数的定义． （1）直接利用圆的性质得出圆心位置，写出圆心坐标即可； （2）利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得的长，再利用余弦函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，为的直径， ∴圆心的坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得：， ∴． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，求点B的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点B作轴于D，先根据菱形的性质得到，，则，解求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于D， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，菱形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，在中，，锐角． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过C作，垂足为D，根据三角函数的定义分别表示出，，相加即可； （2）根据三角函数的定义分别表示出，，可得，再变形即可． 【小问1详解】 解：过C作，垂足为D， 则，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， 变形得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，且，无人机沿水平线方向继续飞行至时，被河对岸处的小明测得其仰角为，无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，其中，求河流的宽度． 【答案】河流的宽度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质等知识，过点作于点，则四边形为矩形，由，得到，求出，，进一步解得，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 由题意可得，，，，，，， ，， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ， 解得： ， 河流的宽度为． 七、（本题满分12分） 22. 已知，抛物线． （1）①无论取何值，抛物线经过定点____________； ②随着的取值的变化，顶点随之变化，是的函数，记为函数，则函数的关系式为：______________； （2）如图，若抛物线与轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线的函数关系式； ②请在图中画出顶点满足的函数的大致图象，在轴上任取一点，过点作平行于轴的直线分别交、于点、，若为等腰直角三角形，求点的坐标； （3）二次函数图象与轴交于点，连接，若二次函数的图象与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①；②图见解析，点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）①把抛物线化为可得定点坐标；②利用抛物线的顶点坐标公式可得答案； （2）①由，再建立方程求解即可；②的图象如图所示：设，轴，可得，，结合为等腰直角三角形，可得，再建立方程求解即可； （3）如图， 求解，当过时，可得，当抛物线与线段只有交点时，求解直线为，可得方程有两个相等实根，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴当时，， ∴抛物线过定点； ②∵顶点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①∵抛物线与轴仅有一个公共点时， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； ②的图象如图所示： 设，轴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（舍去，） ∴或； 【小问3详解】 解：如图，∵当时，， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 当抛物线与线段只有交点时， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴方程有两个相等实根， ∴， 解得：， ∴二次函数的图象与线段有两个交点，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，画二次函数的简易图象，一元二次方程的解法与根的判别式的应用，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知：如图，正方形与正方形． （1）如图①，求证：； （2）如图②，求的值； （3）如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图①，连接，由正方形的性质得到证明，即可得到； （3）如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R，证明，得到，则，再证明，即可证明，得到，则，由三角形中位线定理得到，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵正方形与正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图①，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 理由如下：如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R， ∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点N是中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度九年级第五次适应性作业设计 数学试卷 考生注意：本卷八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（　　） A. 将各点纵坐标乘以2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D. 将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 3. 若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（ ） A. B. C. D. 4. 若为锐角，且，则为（ ） A. B. C. D. 5. 某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为(　　)． A. 90° B. 75° C. 60° D. 105° 6. 若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosA的值为（　　） A. B. C. D. 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点A是弧的中点，交于E点，的切线与的延长线交于点F，，．则（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ） A. （5，2） B. （，2） C. （，2） D. （，2） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 日晷是我国古代一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 将，，从小到大排列为_________________． 13. 是的高，为的中点，，如果，那么等于_________________． 14. 已知如图，正方形的边长为4，取边上的中点，连接，过点作于点，连接，过点作于点，交于点，交于点，则（1）_________________；（2）_________________． 三、（本题每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． （1）画出位似中心； （2）求与的周长比和面积比． 四、（本题每小题8分，满分16分） 17. 根据要求完成下列题目． （1）图中有_____块小正方体． （2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）． （3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体． 18. 如图，为直径，、在上． （1）写出圆心的坐标是_____________； （2）求的值． 五、（本题每小题10，满分20分） 19. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，求点B的坐标． 20. 如图，在中，，锐角． （1）求长． （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一架水平飞行无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，且，无人机沿水平线方向继续飞行至时，被河对岸处的小明测得其仰角为，无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，其中，求河流的宽度． 七、（本题满分12分） 22. 已知，抛物线． （1）①无论取何值，抛物线经过定点____________； ②随着的取值的变化，顶点随之变化，是的函数，记为函数，则函数的关系式为：______________； （2）如图，若抛物线与轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线的函数关系式； ②请在图中画出顶点满足的函数的大致图象，在轴上任取一点，过点作平行于轴的直线分别交、于点、，若为等腰直角三角形，求点的坐标； （3）二次函数的图象与轴交于点，连接，若二次函数的图象与线段有两个交点，直接写出的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 已知：如图，正方形与正方形． （1）如图①，求证：； （2）如图②，求的值； （3）如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$