精品解析：江苏省锡东高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期3月阶段性考试 高一数学试卷 命题人：张秋实 审核人：周佳美 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【详解】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 2. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 3. 在中，则的最小内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据小边对小角确定出最小角，设出三边用余弦定理解得. 【详解】易知最小角为A，设，由余弦定理：. 故选：A. 4. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 5. 在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，求得，在三角形中，由余弦定理，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°. 又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7， 所以BC＝. 故选：C. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题. 6. 已知向量，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得. 【详解】，故， 则，故. 故选：A. 7. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则该三角形的外接圆直径为（ ） A. 14 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，借助正弦定理进行边角转化得到三边关系，代入余弦定理即可求解出，然后利用在正弦定理即可直接求解出三角形外接圆半径. 【详解】由已知，， 由正弦定理可得：，化简得：， 所以， 又因为中，，所以， 所以， 设三角形的外接圆半径为， 由正弦定理可得：， 所以该三角形的外接圆直径为. 故选：D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理，即， 即，解得或. 故选：AC 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 13. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】由题知，，，则，， 又，所以，所以，， 在中，， 根据正弦定理有， 且， 则， 在中，. 所以山高为米. 故答案为：. 14. 如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【小问1详解】 由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． 【小问2详解】 ， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 19. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期3月阶段性考试 高一数学试卷 命题人：张秋实 审核人：周佳美 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 在中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 3. 在中，则的最小内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 5. 在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知向量，且在上的投影为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则该三角形的外接圆直径为（ ） A. 14 B. 7 C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 11. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 13. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为______米. 14. 如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 19. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $