精品解析：上海市2024--2025学年九年级下学期数学开学考试卷

沪教版2024学年度第二学期初三数学开学考 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知、均为非零实数，下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、约分、二次根式的性质、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂乘法、约分、二次根式的性质、幂的乘方逐个判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 2. 两个下列图形必定互为相似形的是（       ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 3. 直线不经过第三象限，则的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， ． 故选：C． 4. 如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 5. 已知抛物线在对称轴右侧是下降的，且顶点在x轴正半轴上．现有如下结论：①；②；③，其中正确的有（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，理解二次函数图像的性质是解题的关键；结合题意，根据二次函数增减性和对称轴的性质，可判断、；再根据二次函数与坐标轴交点的性质分析，即可完成求解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴右侧是下降的， ∴，即①正确； ∵抛物线顶点在x轴正半轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，即②不正确； 又∵抛物线顶点在x轴正半轴上， ∴抛物线和x轴只有一个交点， ∴，即③正确； 故选：C． 6. 在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，重心的性质，根据重心的性质，菱形的性质，求出，再根据三角形法则求出即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∵、分别为、的重心， ∴点、在上，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质、代数式求值等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入变形约分即可解答． 【详解】解：由可得，则． 故答案为：． 8. 如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们对应中线之比等于． 故答案为：． 9. 已知关系式，那么向量______．（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tanA＝3，则cosB的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3， 设a=3x，b=x，则c=, ∴. 故答案是：. 【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 11. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 12. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据题意，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， 即 ∴， 故答案为： ． 13. 点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东方向，那么从B观察A，A在B的_____方向． 【答案】南偏西 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ， ，根据方向角的概念可知， 由点测点的方向为南偏西方向． 故答案为：南偏西． 14. 沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，可得出对称轴为直线，然后根据对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 【答案】y=10（x+1）2 【解析】 【详解】根据题意，把十月份的看作单位1，进而可得十二月邮件数为：y=10（x+1）2，所以y关于x的函数解析式是y=10（x+1）2． 故答案y=10（x+1）2 【点睛】本题考查了根据题意列出一次函数的解析式，关键是找准等量关系． 16. 在中，， 在中，． 如果和相似，且边是的最短边，那么__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质，过点作，解非直角三角形，求出的长，得到三边的比，根据相似的性质，得到三边的比，分为最长边，和为第二长边，两种情况进行求解即可． 【详解】解：过点作，如图： 在中，， ∴设，，则：， 在中，， ∴，， ∴， ∴的三边比：， ∵和相似， ∴中的三边比也为：， ∵且是的最短边， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 17. 如图，矩形中，，连接交于点O，分别过A、D作垂线交于点P，设，连接的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定．证出后算出的长，勾股定理求出． 【详解】在中，由，设， 则， 在矩形中，， 则， 在中，由勾股定理可得：， 即 解得：或（舍） ，， 又， ， ， 整理得： 解得：， 连接，在中，由得： 解得：， 故答案为： 18. 在直角三角形中． 点分别在边和上，连接，，．沿翻折，点落在点处． 过点作平行线，交斜边于点． 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交延长线于一点，作，垂足为，由折叠和平行线性质可得，即得，得到，，，利用得，进而解直角三角形可得，即可得，，得到，即可得，得到，即得到， ，最后解直角三角形得到即可求解． 【详解】解：延长，交延长线于一点， ∵，， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含锐角三角函数值的实数的混合运算．代入特殊角的三角函数值，求负整数指数幂，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 20. 已知一个二次函数过原点，顶点为点． （1）求抛物线解析式． （2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像． 【答案】（1）抛物线解析式为：； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将点代入解析式求解； （2）根据二次函数解析式作图即可． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 把原点，代入， 可得，， 解得，， 把，代入二次函数解析式为：， 所以抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：确定顶点，对称轴， 当时，；时，； 描绘开口向下的抛物线，经过、、等点，如图所示， ． 21. 如图，在和中，点E在线段的延长线上，的延长线和线段交于点B，，，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）延长交延长线于G，证明，得到，求得，再证明，求得，设，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵是公共角， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，交延长线于G． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， ∴． 22. 在寒冷的北极，海豹们会在格子纸上画图进行娱乐，格子纸是一种由数个全等的小图形拼出的一种纸张，一横排或竖列小图形的边都在一条直线上． 现在，豹豹有几个问题想考考你！ （1）【问题一】在下方的正方形格纸中，每个小正方形的边长为1，联结，若点A、B、C、D都在小正方形顶点上，求点D到边的距离． （2）【问题二】在下方的平行四边形格纸中，每个小平行四边形的短边为9，长边为13，锐角内角的余切值为． 若点A、B都在小平行四边形顶点上，求的长． 【答案】（1） （2）60 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质．解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形． （1）连接，作，垂足为H．延长，交于G．由勾股定理求出，进而得出，由得，根据求出即可； （2）作，垂足为H．利用勾股定理和三角函数解求出和，进而求出，再利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：由题意得． 如图，连接，作，垂足为H．延长，交于G． 在中， ． ∴， 由格点知， ∴． ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为H． 由题意得，，． 设， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在平行四边形中，点E是上一点，点H是延长线上一点．连接，交于点F，于点G． 若， （1）证明：平行四边形是菱形； （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练利用上述性质是解题的关键， （1）利用，得到，得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可解答； （2）根据菱形的性质得到，可得，再通过角度的转换得到，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中，为公共角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，，为公共角， ∴． ∴， ∵， ． 24. 我们认为抛物线的“黄金抛物线”满足b是a和c的比例中项．已知的“黄金抛物线”为的顶点为P． （1）若的对称轴为直线x = 1； ①求的解析式与顶点坐标； ②若平行四边形中的点Q、R均在上，求点Q坐标． （2）和的对称轴交于H，设和的正切值分别为、若也是的一个“黄金抛物线”，求的表达式． 【答案】（1）①的解析式为顶点坐标；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义设，根据对称轴求出的值，比例中项求出的值，进而求出解析式，将一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可；②设，利用平移思想，得到，根据也在抛物线上，将代入解析式，进行求解即可； （2）设的解析式为根据题意，得到，进而得到，，作垂直于y轴，垂足为G，根据正切的定义，结合，求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 ①设的解析式为 ∵的对称轴为直线． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的解析式为 ∴顶点坐标为． ②设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴点P可由点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， ∴点是由点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， ∴Q，即：， ∴， 解得． ∴ ∴． 【小问2详解】 设的解析式为 ∵ ∴， 同理： ∴， ∴， ∵对称轴为y轴， ∴当时，， ∴， 作垂直于y轴，垂足为G． 则：，，， ∴ 解得：， ∴的解析式为或 25. 如图，在梯形中，，是该梯形中位线． （1）若求四边形的面积． （2）连接． ①若求的值． ②若的一条对称轴交梯形的底(不包括两端点)于点P，求的面积． 【答案】（1） （2）①；②或； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出梯形的高，进而求出梯形的面积即可； （2）①先根据题意算出需要的边长，进而得到对应线段成比例，可证，再根据勾股定理算斜边长，即可得到答案； ②先根据题意判断出是等腰三角形，再分情况讨论，再根据算三角形面积的公式，需要先求出高和边，一步步求出即可解答； 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为H． 由题意得：四边形是矩形， ∴． ∴． ∵为中位线． ∴． ∴． ∴． ∴ 【小问2详解】 解：①∵，是该梯形中位线． ∴，， 又 ∴，． ∴． 又 ∴． 在中， ∴， ∴， 在中 ∴， ∴． ②由题意得是等腰三角形． (i)为底边，舍去． (ii)为底边，有． 根据题意画出如图，，垂足为O．交于G，交于P，连接． 由题意易得：， ∵是该梯形中位线， ∴， ∴， 可设． ∴． 作，垂足为H． 由上可得：， ∴ ∴ 解得（舍负）． ∴ 即， 连接 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（舍负）， ∴． (iii)为底边，同上可得 综上或 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是要作出合理的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沪教版2024学年度第二学期初三数学开学考 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知、均为非零实数，下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 2. 两个下列图形必定互为相似形的是（       ） A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 等腰梯形 3. 直线不经过第三象限，则的取值范围是（       ） A. B. C. D. 4. 如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（ ） A B. C D. 5. 已知抛物线在对称轴右侧是下降的，且顶点在x轴正半轴上．现有如下结论：①；②；③，其中正确的有（ ） A ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 6. 在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么_________． 8. 如果两个相似三角形对应高之比是，那么它们的对应中线之比等于__________． 9. 已知关系式，那么向量______．（用，表示） 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tanA＝3，则cosB的值为__________． 11. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）． 12. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则________． 13. 点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东方向，那么从B观察A，A在B的_____方向． 14. 沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为________． 15. 某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是_____． 16. 在中，， 在中，． 如果和相似，且边是的最短边，那么__________． 17. 如图，矩形中，，连接交于点O，分别过A、D作垂线交于点P，设，连接的长是__________． 18. 在直角三角形中． 点分别在边和上，连接，，．沿翻折，点落在点处． 过点作平行线，交斜边于点． 若，则的值为______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 已知一个二次函数过原点，顶点为点． （1）求抛物线解析式． （2）在所给的平面直角坐标系中（如图），画出这个二次函数的图像． 21. 如图，在和中，点E在线段延长线上，的延长线和线段交于点B，，，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 22. 在寒冷北极，海豹们会在格子纸上画图进行娱乐，格子纸是一种由数个全等的小图形拼出的一种纸张，一横排或竖列小图形的边都在一条直线上． 现在，豹豹有几个问题想考考你！ （1）【问题一】在下方的正方形格纸中，每个小正方形的边长为1，联结，若点A、B、C、D都在小正方形顶点上，求点D到边的距离． （2）【问题二】在下方的平行四边形格纸中，每个小平行四边形的短边为9，长边为13，锐角内角的余切值为． 若点A、B都在小平行四边形顶点上，求的长． 23. 在平行四边形中，点E是上一点，点H是延长线上一点．连接，交于点F，于点G． 若， （1）证明：平行四边形是菱形； （2）证明：． 24. 我们认为抛物线的“黄金抛物线”满足b是a和c的比例中项．已知的“黄金抛物线”为的顶点为P． （1）若的对称轴为直线x = 1； ①求的解析式与顶点坐标； ②若平行四边形中的点Q、R均在上，求点Q坐标． （2）和的对称轴交于H，设和的正切值分别为、若也是的一个“黄金抛物线”，求的表达式． 25. 如图，在梯形中，，是该梯形中位线． （1）若求四边形的面积． （2）连接． ①若求的值． ②若的一条对称轴交梯形的底(不包括两端点)于点P，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$