1.2整式的乘法--中档题能力进阶 2024−2025学年北师大版数学七年级下册【同步必刷题】

1.2整式的乘法--中档题能力进阶★★ 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册 【原卷版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若展开合并后的含项的系数为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 2．若，则“（    ）”内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 3．若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 4．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．7 5．下列各式：①，②③④其中正确的个数为（     ） A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 8．下列式子不能成立的有（    ）个． ①  ②  ③ ④  ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 9．甲、乙两个长方形的边长如图（m为正整数），其面积分别为S1，S2，若满足条件的整数n有且只有8个，则m为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 10．长方形的一边长为，另一边长比它小，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 11．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 12．已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 13．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 14．计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 二、填空题 15．已知，则代数式的值为 ． 16．边长分别为a与b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积是 （用含a，b的式子表示）．    17．计算： ． 18．计算： ． 19．计算： ． 20．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 21．单项式与多项式相乘，就是用 乘多项式的每一项，再把所得的积 ． 22．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 23．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 24．若一个三角形的底边长为，底边上的高为，则该三角形的面积为 ． 25．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 （结果用含的代数式表示）． 26．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为 ； 27．如果，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 28．若，则 ． 三、解答题-计算题 29．计算：． 30．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 31．（多项式乘多项式、二次三项式公式）若，求． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．先化简，后求值：，已知． 34．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 35．计算： (1)； (2)． 36．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 四、解答题-问答题 37．纠错题．阅读下列运算过程，在横线上填上恰当的内容． ① ② ．③ 上述运算过程有错误，从第__________（填序号）步开始错误，原因是______________________________． 请写出正确的运算过程． 38．小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． (1)求第二张卡片的长与宽； (2)求第二张卡片的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2整式的乘法--中档题能力进阶★★ 2024−2025学年北师大新版数学七年级下册 【解析版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若展开合并后的含项的系数为，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的法则，利用多项式乘多项式法则计算，然后根据合并后的一次项系数为，得出，然后进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ∵展开合并后的一次项系数为， ∴， ∴． 故选：A． 2．若，则“（    ）”内应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴（    ）”内应填的单项式是， 故选：C． 3．若，则p、q的值是（    ） A．2， B．， C．，8 D．2，8 【答案】A 【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值． 【详解】解：∵， 而， ∴，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值． 4．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据多项式乘多项式法则把左边式子展开，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴a=-5． 故选B． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式法则，掌握整式的运算法则是解题的关键． 5．下列各式：①，②③④其中正确的个数为（     ） A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意根据单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方逐一判断可得答案． 【详解】解：①，选项计算错误； ②选项计算错误； ③，选项计算错误； ④，选项计算错误； 综上所述：中正确的个数为0. 故选：A． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．，故C正确，不符合题意； D．，故D错误，符合题意． 故选：D． 7．下列各式计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于对多项式的乘法法则的熟练掌握．利用整式乘法一一验证即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 8．下列式子不能成立的有（    ）个． ①  ②  ③ ④  ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①左边， 右边， 左边=右边，故成立； ②左边， 右边， 左边右边，故不成立； ③左边， 右边， 左边右边，故不成立； ④左边， 右边， 左边=右边，故成立； ⑤左边， 右边， 左边=右边，故成立； 综上所述，只有②，③不成立 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 9．甲、乙两个长方形的边长如图（m为正整数），其面积分别为S1，S2，若满足条件的整数n有且只有8个，则m为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用．根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】解：， ， ， 为正整数， ∴， ∵， ∴， ∵整数n有且只有8个， 为正整数， ， 故选：B． 10．长方形的一边长为，另一边长比它小，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据整式的加减求出长方形的另一边长，再利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵长方形的一边长为，另一边长比它小， ∴这个长方形的另一边长为， ∴长方形的面积为 ， 故选：D． 11．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出m的值，代入原式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：； 把代入原式得： ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 12．已知，化简的结果是（    ） A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4 【答案】C 【分析】先按照整式乘法法则运算可得，再加括号可得，最后将整体代入即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 13．已知，则代数式的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值．先根据整式的混合运算法则进行计算，化简后，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 14．计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 则计算的结果中，含的项的系数为， 故选：A． 二、填空题 15．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】直接去括号、合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，合并同类项，求代数式的值．正确将原式变形是解题关键． 16．边长分别为a与b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积是 （用含a，b的式子表示）．    【答案】 【分析】用两个正方形的面积之和减去空白部分的面积即可列式． 【详解】解：由题意可得： 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清阴影部分面积的表示方法． 17．计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算． 先根据同底数幂的除法运算法则计算除法，再根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 19．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：== 【点睛】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 20．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为，再根据整式的混合运算法则整理即可． 【详解】解：由题意得，小芳卧室的面积 ． 故答案为：． 21．单项式与多项式相乘，就是用 乘多项式的每一项，再把所得的积 ． 【答案】 单项式 相加 【解析】略 22．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【答案】相乘 【解析】略 23．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 【答案】23 【分析】本题考查多边形的乘法与图形的面积．设，，用含，的式子表示，，，根据列方程，即可解得答案． 【详解】解：设，， 三个正方形，，的边长分别为4，3，2， ，，， ，，， ， ， 化简整理得：， ，即大长方形的面积为23， 故答案为：23． 24．若一个三角形的底边长为，底边上的高为，则该三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的运用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键． 根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边长为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ， 故答案为：． 25．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】可设长方形ABCD的长为m，分别求出S1，S2，再代入S2-S1计算即可求解． 【详解】解：设长方形ABCD的长为m，则 S2-S1=（m-3a）×4a-（m-4a）×4a=4ma-12a2-4am+16a2×=4a2． 故答案为：4a2． 【点睛】本题考查了列代数式和整式的运算，关键是熟练掌握长方形的面积公式，准确的进行整式计算． 26．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为 ； 【答案】 【分析】首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的一次项(即一次项的系数为零)求出a的值即可． 【详解】解： 的展开式中不含有x的一次项， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 27．如果，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 // 【分析】（1）根据可得，即有，，将去括号，再代入计算即可； （2）变形为，将，代入计算即可求解． 【详解】（1） 即：，， ， 故答案为：； （2）根据（1）中可知：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，根据等式的恒等性得出，是解题的关键． 28．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先将等式左边利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再利用多项式相等的条件列方程求出m与n的值，即可求出的值．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为． 三、解答题-计算题 29．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查单项式乘单项式的运算．理解单项式乘单项式的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键． 30．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘． (1)求改造后的长方形池塘的面积； (2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)变小了，理由见解析 【分析】（1）将改造后池塘的长与宽分别用代数式表示出来，即可计算出长方形的面积； （2）将改造前后的面积作差，即可判断出大小． 【详解】（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m， ∴改造后的面积为：． （2）原来的面积为：， ∵＞0， ∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了． 【点睛】本题考查了列代数式、整式的乘法及平方差公式等知识，能够根据题意列出代数式并根据公式法则进行运算是解题关键． 31．（多项式乘多项式、二次三项式公式）若，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用等式的恒等性求出、是解题关键．先去括号，再根据等式的恒等性求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴，， ∴． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． （1）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （3）先根据积的乘方去括号，然后单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； （4）根据单项式乘以多项式法则进行运算，即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．先化简，后求值：，已知． 【答案】， 【分析】先计算单项式的乘方、单项式乘单项式，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式=， 当时， 原式= 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 34．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算； （2）首先计算乘方，再计算单项式的乘法，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____； （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）155；（3）9；（4）42 【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和； （2）将所求式子转化为，代入已知条件即可； （3）将式子化简为，即可确定、、的值； （4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积． 【详解】解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有； 故答案为； （2）由（1）可得， ，， ； 故答案为155； （3）， ，，， ； 故答案为9； （4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积， 即， ，， ． 【点睛】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键． 四、解答题-问答题 37．纠错题．阅读下列运算过程，在横线上填上恰当的内容． ① ② ．③ 上述运算过程有错误，从第__________（填序号）步开始错误，原因是______________________________． 请写出正确的运算过程． 【答案】①，弄错乘方运算和乘法运算的顺序，正确的运算过程见解析． 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘以单项式，根据解题过程可知第①步开始错误，应该先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，据此运算法则写出正确的运算过程即可． 【详解】解：观察解题过程可知，第①步开始错误的，原因是弄错乘方运算和乘法运算的顺序， 正确的运算过程如下： ． 38．小明设计了两张卡片，第一张的宽是，长比宽多，第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多． (1)求第二张卡片的长与宽； (2)求第二张卡片的面积． 【答案】(1)第二张卡片的长是，宽是 (2)第二张卡片的面积是 【分析】本题考查了整式的加减和多项式乘多项式，熟练掌握多项式的法则是解题的关键； （1）根据整式的加减法则，列式即可； （2）根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则计算即可解答． 【详解】（1）解：∵第一张的宽是，长比宽多， ∴第一张的长为， ∵第二张的宽是第一张的长，且第二张的长比第二张的宽多， ∴第二张的宽是，第二张的长是，即； （2）解：第二张卡片的面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$