精品解析：湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

宜城市2024-2025学年度上学期期末学业质量测试题 九年级数学 （本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得：． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意； D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 4. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 缘木求鱼 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断． 【详解】解：A、画饼充饥，是不可能事件，故A不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，故D不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，故C符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意； 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 6. 如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点，连接．根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， 圆心到的距离为． 故选：A． 7. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可． 【详解】解：点为反比例函数的图象上一点，过作轴于点， ． 故选：D． 8. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值． 【详解】解：∵ ∴ ∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 9. 如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．证明，得，所以，可将的长求出，进而可得的半径． 【详解】解：如图，连接，，， 切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 即， 解得， ， 故的半径为2． 故选：A． 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，①错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，②正确； 当时，， ， ， 即，④正确； 综上可得：②③④正确， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故答案为：． 12. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大是解决问题的关键．先根据反比例函数的性质判断出的符号，再写出符合条件的函数关系式即可． 【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大， 的值可以为． 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解． 【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为：． 14. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 【答案】 ①. 24 ②. 36 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36 15. 如图，在中，于H，点O是中点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，在中，由勾股定理求出，证明和相似，利用相似三角形的性质得，，则，，证明和全等得，，由此得，则是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，，，点是中点， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的难点． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】；-4 【解析】 【分析】把 代入方程计算求出 的值， 进而求出另一根即可； 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根是 ， 解得： ， 把 代入方程得： ， 设另一根为 ，可得 ， 解得：， 则 的值为 3 ，方程另一根为 -4； 【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键 17. 如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用，即可证得． 【详解】解：∵绕点D顺时针旋转至的位置， ∵四边形为正方形， ， ， 即． 在与中， ， ． 18. 有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． （1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）． （2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______． （3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ 【答案】（1）图2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方体的平面展开图等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据长方体的平面展开图特点即可得； （2）先求出底面长方形的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可得； （3）设剪去的小正方形的边长为，根据按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2， 故答案为：图2． 【小问2详解】 解：∵图1中裁去的小正方形边长为， ∴底面长方形的长为，宽为， ∴做成的纸盒的底面积是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 答：剪去的小正方形的边长为． 19. 如图，为的直径，点D在上，． （1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，交与点E，求扇形的面积． 【答案】（1）见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，利用垂径定理解答即可； （2）先根据垂径定理可得，则，最后由扇形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图1所示：点即为所求； 【小问2详解】 解：如图2， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 扇形的面积． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，直角三角形的性质，基本作图-线段垂直平分线等知识，掌握垂径定理是解题的关键． 20. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像； （2）根据函数图像，直接写出不等式的解集； 【答案】（1），， 图象如图： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ，解得，． 一次函数的表达式为：， 反比例函数的表达式为：． 图象如图： 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 根据函数图象不等式的解集为：或． 21. 如图，是的直径，与相交于点B，． （1）求证：是的切线． （2）若，求弧的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明是的切线，只需证明即可； （2）利用含有角的直角三角形性质，可求出和的关系，的度数而，，根据其值，进而求出的半径长度，根据弧长公式即可求得答案． 【小问1详解】 证明：是直径， ，即， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：设半径长度为，则， 是的切线， ， ， ，， ， ，，， ， ， 弧的长度． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理和切线的判定，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可． （2）根据利润计算公式列式即可； （3）进行配方求值即可． 【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得： ∴y=－2x+200（30≤x≤60） （2）W=（x－30）（－2x+200）－450 =－2x2+260x－6450 =－2（x－65）2 +2000） （3）W =－2（x－65）2 +2000 ∵30≤x≤60 ∴x=60时,w有最大值为1950元 ∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 考点：二次函数的应用． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ． 由有，∽， ， ， ， 如图4图5图6，连接EF． 在中，，， ， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【小问1详解】 解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； 【小问2详解】 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜城市2024-2025学年度上学期期末学业质量测试题 九年级数学 （本试题卷共8页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 缘木求鱼 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 5. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 如图，中，弦，的半径长为，则圆心O到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（ ） A. B. 10 C. D. 5 8. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，P是延长线上的一点，切于点C，，，则的半径等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______． 12. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 13. 如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为______． 14. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 15. 如图，在中，于H，点O是中点，连接，则______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 17. 如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 18. 有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． （1）做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）． （2）若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______． （3）若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ 19. 如图，为的直径，点D在上，． （1）尺规作图：作出弧的中点C（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，交与点E，求扇形的面积． 20. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像； （2）根据函数图像，直接写出不等式的解集； 21. 如图，是的直径，与相交于点B，． （1）求证：是的切线． （2）若，求弧的长度． 22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $