精品解析：广东省江门市新会区华侨中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

新会华侨中学2024-2025学年第二学期高一级3月月考数学科试题 命题人：利翠玲 审题人：赖萍仙 时间：2025.3.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 2. 函数的最小正周期是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得； 【详解】因为，所以函数的最小正周期； 故选：A 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，进而求得. 【详解】由于，， 所以， 所以， ， 所以 . 故选：B 4. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. π 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可. 【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为. 故选：A. 5. 一个函数的图像如图所示，则它的表达式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性及特殊点的函数值，结合题设函数图象，应用排除法即可确定解析式. 【详解】A：为奇函数，排除； B：为奇函数，排除； D：为偶函数，而，排除. 故选：C 6. 若函数（，）的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意求出和，再根据平移的原则和函数奇偶性的判断即可判定CD. 【详解】依题意：函数（，）的图象过点， 相邻两条对称轴间的距离是， 对A，所以，，，A选项正确， 对B，，，，， 由于，所以，B选项正确， 对C，所以，为偶函数，C选项正确， 对D，，定义域为，当时，，其显然不是奇函数，D选项错误， 故选：ABC． 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. [1，3] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由，且求解. 【详解】设的周期为T，因为，即，解得， 由， 解得， 即在区间上单调递减， 因为，显然k只能取0， 所以且， 解得. 故选：B. 8. 已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象和直线．根据对数函数与正弦函数性质可得的性质，从而求得相应范围． 【详解】零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图， ，区间正好是一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，， 由得，， 所以，它在时是增函数， ，， 所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知向量，皆为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 若与反向，且，则与同向 B. 若与反向，且，则与同向 C. 若与同向，则与同向 D. 若与同向，则与同向 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共线向量的定义和加法运算判断. 【详解】与反向，且，则与同向，故选项A正确，选项B错误； 与同向，则与同向，也与同向．故选项C，D正确； 故选：ACD． 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义判断即可，对于B，求出的减区间进行判断，对于C，代入验证可，对于D，利用三角函数图变换规律判断 【详解】对于A，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以A错误， 对于B，由，得，得， 所以函数在区间上是减函数，所以B正确， 对于C，因为，所以为函数的一条对称轴，所以C正确， 对于D，因为，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，所以D错误， 故选：BC 11. 一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ） A. 点P第一次到达最高点需要10秒 B. 当水轮转动35秒时，点P距离水面2米 C. 当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 【答案】AC 【解析】 【分析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证. 【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：解得： ∴. 故D错误； 对于A.令h=6，即，即 解得：t=10，故A对； 对于B令t =35，代入，解得：h=4，故B错误； 对于C. 令t =25，代入，解得：h= -2，故C对. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，结合数量积和三角形知识求模长得解. 【详解】解析 如图，延长CB至点D，使，连接AD． 在中，，，． 即，展开得到， 将代入，解得．所以． 故答案为：. 13. 在中，有，试判断的形状______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据诱导公式与余弦二倍角公式即可求解角． 【详解】因为，所以 故，所以，则的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 14. 使得成立的最小正数m的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式及同角之间的关系将已知条件转化为，利用正弦函数的性质可得到，进而可得解. 【详解】 即，， 当时， 所以使得成立的最小正数m的值为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简，涉及辅助角公式，同角之间的关系，解题的关键是将已知条件转化为，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的二倍角公式即可求解， （2）先用诱导公式化简，即可求解. 【小问1详解】 由 小问2详解】 16. 某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】（1）此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 （2）此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【解析】 【分析】（1）利用向量的加法法则和三角函数的定义求解即可； （2）利用向量的减法法则和三角函数的定义求解即可. 【小问1详解】 如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 【小问2详解】 如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 17. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： 【小问2详解】 因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 18. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】（1）选择较合适，()； （2）应安排在11时到19时训练较恰当 【解析】 【分析】（1）在坐标系中画出散点图，选择合适的函数，再由最大值与最小值求出的值，由周期可得出，代入最大值点可得出的值. （2）在指定区间内角正弦函数不等式即可得答案. 小问1详解】 把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. 【小问2详解】 令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 19. 已知函数其中．从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： 条件①：函数最小正周期为； 条件②：函数图像关于点对称； 条件③：函数图像关于对称． （1）的单调递增区间； （2）在区间的最大值和最小值． 【答案】（1）若选①②或①③时，，若②③解析式无法确定. （2）若选①②或①③时，最小值为 ，最大值为1. 【解析】 【分析】（1）由题意解得的解析式，再由同增异减求得的单调递增区间. （2）由x的范围求得的范围，进而求得的最值. 【小问1详解】 若选条件①②时，则 ，即： ， 又∵ 关于 对称， ∴ ，即： ，，解得：，， 又∵， ∴ ∴ 令， 整理得： ∴的单调递增区间为 若选条件①③时，则 ，即： ， 又∵ 关于 对称， ∴，即： ，，解得：，， 又∵， ∴ ∴ 令， 整理得： ∴的单调递增区间为 若选条件②③时，则 不能确定函数的最小正周期，无法确定 ，所以无法确定函数解析式. 【小问2详解】 若选条件①②或选条件①③时， ∵ ∴ ∴当，即时，取得最大值为1， 当，即时，取得最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新会华侨中学2024-2025学年第二学期高一级3月月考数学科试题 命题人：利翠玲 审题人：赖萍仙 时间：2025.3.11 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. π 5. 一个函数的图像如图所示，则它的表达式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数（，）的图象过点，相邻两条对称轴间的距离是，则下列四个结论中，正确的结论是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 7. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. [1，3] D. 8. 已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的的部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）已知向量，皆为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 若与反向，且，则与同向 B. 若与反向，且，则与同向 C. 若与同向，则与同向 D. 若与同向，则与同向 10. 已知函数，则（ ） A. 奇函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 11. 一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ） A. 点P第一次到达最高点需要10秒 B. 当水轮转动35秒时，点P距离水面2米 C. 当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则__________． 13. 在中，有，试判断形状______． 14. 使得成立最小正数m的值为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． （1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 17. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）若，且，求的值. 18. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 （1）从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； （2）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 19. 已知函数其中．从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作已知条件，求： 条件①：函数最小正周期为； 条件②：函数图像关于点对称； 条件③：函数图像关于对称． （1）的单调递增区间； （2）在区间的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $