精品解析：湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

高二2025年3月月考数学试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. －5 C. 7 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的关系式求出，的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可. 【详解】因为，，两式相加得， 解得；两式相减得，解得， 所以， 故选：B 4. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【详解】因为的顶点，， 所以线段的中点坐标为，线段所在直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：A. 5. 已知为等比数列的前n项和，，，则（ ）． A. 30 B. C. D. 30或 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解. 【详解】由得，则等比数列的公比， 则得，令，则即， 解得或（舍去），，则． 故选：A． 6. 若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出在有解，构造函数，根据函数的单调性求出的最大值即可． 【详解】由存在，使得不等式成立得： 在有解， 令，则， 故时，，此时函数是单调递减， 时，，此时函数单调递增， 故时，，时，， 又， 故函数的最大值是， ， 故选：A． 7. 数列满足，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由已知递推关系可得且，即数列的周期为4，即可求得答案. 【详解】由已知得：，，，，…，即有， ， 故选：C. 8. 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的前项和公式，利用，求出数列的通项公式，结合等差数列的定义和性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，， 当时，也满足上式，所以数列的通项公式为， 所以， 所以数列是公差为2的等差数列，所以，故B错误； 因为，所以当时，；当时，， 所以有最小值或，故C正确； 因为，所以， 所以，所以数列是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求导确定单调性即可判断；对于BC，构造函数求导，确定单调性可判断；对于D，画出得图象，由图象可判断. 【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确； 当时，，即. 设，则， 在处取得最小值，故B正确； 当时，，即. 由B选项的过程知，在时，， 在上单调递减，，故C正确； 画出的图象如图， 可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12. 设函数的导数为，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义变形求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于在正方体中，所以建立空间直角坐标系，由为锐角，可得，再结合在线段上，可求出的取值范围 【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则， 由得，则， 因为为锐角， 所以， 解得或， 又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】此题考查利用空间向量解决线线角问题，属于基础题. 14. 已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】参变分离得到，构造函数，求导确定单调性，求得最小值即可求解. 【详解】对于任意的都有恒成立， 等价于在上恒成立. 令，则，， 当时，，即在上递增， 故，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）.（2）和. 【解析】 【详解】分析：（1）根据多项式的求导法则求导即可；（2）设切点的坐标为，切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得求得或，进而得到切线方程. 详解： （1）. （2）由，设切点的坐标为， 由所求切线方程为：， 将点的坐标代入上述方程可得：， 整理为：，解得：或， 将或代入切线方程，可求得切线方程为：和. 点睛：这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式. 16. 记数列{an}的前n项积为Tn，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和Sn． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用 与 的关系可得，进而可得； （2）利用（1）的结论得，从而用“错位相减法”与等差数列求和公式，得所求. 【小问1详解】 证明：因为为数列的前项积， 所以可得， 因为，所以， 即，所以， 又，所以， 故是以4为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 解：由（1）得：，所以，则 设① ② 则①-②得： 则 所以的前n项和 17. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，点为棱上一个动点． （1）求证：； （2）若平面平面； （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，且 【解析】 【分析】（1）推导出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）（i）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （ii）设，其中，利用空间向量法可知，与平面的法向量垂直，可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 翻折前，梯形中，， 翻折后，则有，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， （i），，， 设为平面的一个法向量， 可得，令，可得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （ii）设，其中， 则， 易知平面的一个法向量为， 若平面，则，解得， 因此，棱上存在点，使平面，且. 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数和，进而可求出椭圆的方程； （2）设定点，通过几何关系和代数计算判断是否存在定点，并求出其坐标； （3）设，直线，，的斜率成等差数列，只需证，通过直线与椭圆的联立，经过代数运算之后，可得结论. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点 ∴，又，∴是等腰直角三角形 ∴ ，∴ 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 假设轴上存在定点，使得， 设，，直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：， ∴，， 由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以， 设，则，， ∴， 将，代入上式，整理得：， ∴ 将，，代入上式整理得：， 由于上式对任意实数都成立，所以， 即存在点使得. 【小问3详解】 证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列， 只需证，只需证， 只需证 只需证 只需证 只需证， 只需证，只需证 由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证 19. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）当时，求函数的单调区间及极值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得，然后研究函数的单调性并计算得到极值. （2）构造函数，求得，并按、、研究原函数的单调性，利用计算，最后可得结果. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，易知在上为增函数，令，可得. 当x变化时，的变化情况如下表： 1 0 + 极小值 由上表可知：函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 则的极小值为，无极大值. （2）令，则，且. 设，则， 在上单调递增，即在上单调递增， 当时，由（1）知，，即，符合题意； 当时，，，， 存在，使得， 当时，；当时，， ，， 因此， ，即，符合题意； 当时，，即，不符合题意. 综上所述，，故实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求函数的极值：（1）函数定义域；（2）求导；（3）根据导数判断函数单调性并得到极值点（含参数的可能要讨论参数）. 利用导数求解能恒成立问题：（1）构造函数；（2）导数；（3）判断单调性计算最值；（4）计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二2025年3月月考数学试卷 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则等于（ ） A. 5 B. －5 C. 7 D. －1 4. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前n项和，，，则（ ）． A. 30 B. C. D. 30或 6. 若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 数列满足，，则的值为（ ） A 3 B. C. 2 D. 1 8. 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 有最小值 D. 数列不是等差数列 10. 已知定义在上函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在上单调递减，则的最大值为1 B. 当时， C. 当时， D. 存在直线，使得与的图象有4个交点 三、填空题 12. 设函数的导数为，若，则______. 13. 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为锐角时，的取值范围是__________． 14. 已知函数若对于任意都有成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 记数列{an}的前n项积为Tn，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和Sn． 17. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，点为棱上一个动点． （1）求证：； （2）若平面平面； （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列. 19. 已知函数，其中e为自然对数底数. （1）当时，求函数的单调区间及极值； （2）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$