四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学模拟试卷

2025年3月 绵阳南山中学高二2025年春3月月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知是定义在R上的可导函数，若，则 A． B． C．1 D． 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比q=2,S3=7,则a4+a5+a6= A．49 B．56 C．63 D．112 3．已知数列中，，若，则 A．4 B．5 C．6 D．7 4．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则 A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 7．若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数 A．2或 B． C． D．或 8．已知为非常数数列且，，，下列命题正确的是 A．对任意的，，数列为单调递增数列 B．对任意的正数，存在，，，当时， C．存在，，使得数列的周期为2 D．存在，，使得 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若数列满足，则下列说法正确的是 A．存在数列，使得对任意正整数．都满足 B．存在数列，使得对任意正整数，都满足 C．存在数列，使得对任意正整数，都满足 D．存在数列，使得对任意正整数，都满足 10．已知，下列说法正确的是 A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程有两个不同的解 11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是 A．； B．1225既是三角形数，又是正方形数； C．； D．，总存在，，使得成立； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 . 14．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（， ），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 层住宅. （参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 16．（15分） 已知函数在处的切线为. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与最大值. 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 18．（17分） 已知数列的前 项和为，满足 ，且，数列满足 求数列，的通项公式； （2）求数列的前 项和； 若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列，，， ，，，，，，，， ，在与之间插入项中的项，中之前不包括所有项的和记为若求使得成立的最大整数的值其中表示不超过的最大整数 19．（17分） 函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收玫于，定数称为数列的极限，记为． （1）已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． （2）设数列满足，且，证明：． （3）设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B A C D D B ABD AB ABD 绵阳南山中学高二2025年春3月月考数学试卷参考答案 12．(0,1) 13．135 14．10 15． （1）由题意，得，则，则 （2）由（1），当时，则， 又满足上式，故 （3）由（2），得，记的前n项和为， 所以①， 则②， ①②得，， 则，故数列的前n项和为 16． （1）因为函数在处的切线为，所以，， 又函数的导函数，所以，所以； （2）由（1）知, 当，当且仅当时取等号， 当， 在单调递减，单调递增，又，， . 17． （1）设等差数列的公差为， 由题意知：，解方程组得， 所以，即. （2）由（1）可得， 数列的前n项和， 因为单调递增，， 又因为所以， 若使得对一切恒成立，则，解得， 所以实数m的取值范围是． 18．因为 ，所以 是以为首项， 为公差的等差数列， 所以 ，， 当 时， ， 时满足，故 ， 数列 ，当 时， ， 当 时， ， 所以 ， ； 由题可知 ，则 ， ， 得： ， 所以 ， ， 得： ， ； 依题意，数列 中 之前的所有项中包括 项中的项， 设其和为 ，则 ， 数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为 ，则， 于是， 所以， 当时，，， 当 时， ， 于是 ， 因此 ， 所以， 所以， 所以成立的最大整数的值为 ． 19． （1）设常数满足：数列， 则常数满足如下条件：， 由韦达定理知，常数为方程的两个根，令， 当时，有，即， 上式共个式子，累乘得， 将直到，按照上述递推关系式进行展开有： ， 可见是首项为，公比为，末项为的等比数列， 根据等比数列通项公式有， 将常数代入得， ， 当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． （2）数列满足，且， ，数列单调递增， 所以，即， 根据数列极限定义知，若对给定的任意正数，总存在正整数，使时有． （3）当时，， 当，且， 都有，此时不是“柯西列”． 当时，， 对任意给定的，存在，使，且， 都有，则为“柯西列”． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$